2011-2012学年度第二学期高二文科数学综合测试卷


2011-2012 学年度第二学期高二文科数学综合测试卷(13) 命题人:张胜潮 审核人:文科备课组 第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B= ?x | x ? 0,x ? R? ,则 A ? B = A.

?x | ?1 ? x ? 1?

B.

?x | x ? 0?

C.

?x | 0 ? x ? 1?

D. ?

2.已知复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? 1 ? ai , a ? R ,若 z = z1 ? z2 在复平面上对应的点在虚轴上,则 a 的值是 A.-

1 2

B.

1 2
n

C.2

D.-2

3.已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ? ?1? A. ?55 B. ?5

? n ? 1? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a10 ?
C.5 D.55

? 2 x ? y ? 10 ? 4.若 x, y 满足约束条件 ? 0 ? x ? 4 ,则 z ? 4 x ? 3 y 的最小值为 ? 0? y?8 ?
A.20 C.24 B.22 D.28

5.在回归分析中,残差图中纵坐标为 A.残差
_

B.样本编号

C. x

? D. yi

6.已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x
2

?

?

m2 ? 6

在区间 ? 0,??? 上单调递增,则实数 m 的值为 C.2 或 3 D. ?2 或 ?3

A.3

B.2

7.函数 y ? A sin(? x ? ?) 的部分图像如图所示,则其解析式可以是 A. y ? 3sin(2 x ? C. y ? 3sin( x ?

?
3

) )

B. y ? ?3sin(2 x ? D. y ? ?3sin( x ?

?

1 2

?

12

1 2

?

3

) )

12

数列 {an } 是等差数列, S n 是它的前 n 项和,若 S3 ? 12, S5 ? 30, 那么 S 7 = A.43 B.54 C.48 D.56

3, 2 9. A, B, C , D 四位同学分别拿着 5, 4, 个暖瓶去打开水,热水龙头只有一个。要使他们打完水所花的总
时间(含排队、打水的时间)最少,他们打水的顺序应该为
1

A. D,B,C,A

B. A, B, C , D

C. A, C , B, D

D. 任意顺序

10.对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 是常数,等式右边的运算是通常的加法 和乘法运算。已知 1? 2 ? 3 , 2 ? 3 ? 4 ,并且有一个非零常数 m ,使得对任意实数 x ,都有 x ? m ? x , 则 m 的值是 A. 4 B. ?4 C. ?5 D. 6

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只 需选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分. ) (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题都必须做答。
11.若 f ( x) ?

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x



12.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的 等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体 的体积是 .
2 2

正视图

侧视图

13.已知直线 l : x ? 2 y ? k ? 1 ? 0 被圆 C : x ? y ? 4 所截 得的弦长为 2,则 OA ? OB 的值为

??? ??? ? ?



俯视图
C D O B

(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图,圆 O 是 ?ABC 的
外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D ,

CD ? 2 7 , AB ? BC ? 3 ,则 AC ?



A

15.(坐标系与参数方程选做题)已知在极坐标系下,点 A(1 , 面积等于 .

?
3

) , B (3 ,

2? ) , O 是极点,则 ?AOB 的 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c(其中 a ? b ? c ) ,设向量 m ? (cosB, sin B) ,

? ? n ? (0, 3) ,且向量 m ? n 为单位向量.
(1)求∠B 的大小。 (本小题 6 分) (2)若 b ? 3, a ? 1 ,求△ABC 的面积. (本小题 6 分)

2

17. (本小题满分 14 分)
? 如图, 平行四边形 ABCD 中,CD ? 1 ,?BCD ? 60 , BD ? CD , 且 正方形 ADEF 和平面 ABCD

垂直, G, H 是 DF, BE 的中点. (1)求证: BD ? 平面CDE ; (本小题 4 分) (2)求证: GH // 平面 CDE ; (本小题 4 分) (3)求三棱锥 D ? CEF 的体积. (本小题 6 分)
B

F

E G

A

H

D

C

18. (本题满分 12 分) 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率 分布表如下左图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图; (本 小题 5 分) (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学 生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(本小题 3 分) (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试,求第 4 组 至少有一名学生被考官 A 面试的概率?(本小题 4 分)

频率分布表 组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 频数 5 ① 30 20 10 100 频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.000

?160,165? ?165,170?
?170,175?

?175,180?
[180,185]

3

19. (本题满分 14 分) 如图,直角三角形 ABC 的顶点坐标 A(?2,0) ,直角顶点 B(0,?2 2 ) ,顶点 C 在 x 轴上,点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (本小题 4 分) (2) M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (本小题 4 分) (3)若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程. (本小题 6 分)

20. (本题满分 14 分) 已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 (??,?1) , (2,??) 上单调递增,在 (?1,2) 上单调递减.
3 2

(1)求 a , b 的值; (本小题 6 分)
2 (2)若当且仅当 x ? 4 时, f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ,求 f (x) 的解析式. (本小题 8 分)

21.(本小题满分 14 分) 桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑 基鱼塘项目,该项目准备购置一块占地 1800 平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的 泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,鱼塘周围的基围宽均为 2 米,如图所示,池塘 所占面积为 S 平方米,其中 a : b ? 1: 2 . (Ⅰ) 试用 x, y 表示 S ; (本小题 6 分) (Ⅱ) 若要使 S 最大,则 x, y 的值各为多少?(本小题 8 分)

4

2011-2012 学年度第二学期高二文科数学综合测试卷(13) 参考答案
一、选择题
题号 答案 二、填空题 11. 1 C 2 D 3 C 4 B 5 A 6 A 7 B 8 D 9 B 10 A

1 2

12.

3 ? 6

13. 2

14.

3 7 2

15.

3 3 4

三、解答题
16. (本题满分 12 分) 解: (1)?m ? n ? (cos B, sin B ? 3), | m ? n |? 1 ∴ cos 2 B ? (sin B ? 3)2 ? 1, sin B ?

?? ?

?? ?

--------------------2 分

3 2

--------------------4 分

又 B 为三角形的内角,由 a ? b ? c ,故 B ?

?
3

--------------------6 分

(2)根据正弦定理,知

a b 1 3 ? ,即 , ? sinA sin B sinA sin ? 3
--------------------9 分

∴ sin A ?

1 ? ,又 a ? b ? c ,∴ A ? 2 6

故 C=

? 1 3 ,△ABC 的面积= ab ? ----------------------12 分 2 2 2

17. (本题满分 14 分) (1)证明:平面 ADEF ? 平面 ABCD ,交线为 AD

F

E G

? ED ? AD
∴ ED ? 平面ABCD ∴ ED ? BD 又? BD ? CD ∴ BD ? 平面CDE (2)证明:连结 EA ,则 G 是 AE 的中点
5 B

----------2 分

A

H

D

C

--------4 分

∴ ?EAB 中, GH // AB 又? AB // CD ∴ GH // CD ∴ GH // 平面 CDE (3)解:设 Rt?BCD 中 BC 边上的高为 h 依题意:

---------------6 分

-------------8 分

1 1 ? 2 ? h ? ?1? 3 2 2

∴h ?

3 2 3 ---------------10 分 2
-----------------14 分

即:点 C 到平面 DEF 的距离为

∴ VD ?CEF ? VC ? DEF ?

1 1 3 3 ? ?2?2? ? 3 2 2 3

18. (本题满分 12 分) 解: (1)由题可知,第 2 组的频数为 0.35 ?100 ? 35 人, 第 3 组的频率为 频率分布直方图如下: ……………… 1 分 ……………… 2 分 ……………… 5 分

30 ? 0.300 , 100

(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别为:
6

30 ? 6 ? 3 人, ……… 6 分 60 20 ? 6 ? 2 人, 第 4 组: ……… 7 分 60 10 ? 6 ? 1 人, 第 5 组: ……… 8 分 60
第 3 组: 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人。 (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位同学为 C1 , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ),
第 4 组至少有一位同学入选的有: …………… 10 分

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), 9 种可能。 所
以其中第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的概率为

9 3 ? ………… 12 分 15 5

19. (本题满分 14 分) 解:解:(1)∵kAB=- 2,AB⊥BC,∴kCB= (2)在上式中,令 y=0, 得 C(4,0),∴圆心 M(1,0). 又∵|AM|=3,∴外接圆的方程为(x-1)2+y2=9. (3)∵P(-1,0),M(1,0),圆 N 过点 P(-1,0), ∴PN 是该圆的半径. 又∵动圆 N 与圆 M 内切, ∴|MN|=3-|PN|, 即|MN|+|PN|=3,∴点 N 的轨迹是以 M、P 为焦点,长轴长为 3 的椭圆, 3 ∴a= ,c=1,b= a2-c2= 2 5 , 4 ……………8 分 2 2 ,∴BC 边所在直线方程为 y= x-2 2.…………4 分 2 2

x2 y2 ∴圆心 N 的轨迹方程为 + =1. 9 5 4 4

?mmin ? 3

…………14 分

7

20. (本题满分 14 分) 解:解:(1)∵f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减, ∴f′(x)=3x2+2ax+b=0 有两根-1,2, …………2 分

?-1+2=- 3 , ∴? b ?-1×2=3,
2a 则 H′(x)=3x2-5x-2.

?a=-3, ? 2 ∴? ? ?b=-6.

…………6 分

5 (2)令 H(x)=f(x)-(x2-4x+5)=x3- x2-2x+c-5, 2

因为 H′(x)在[4,+∞)上恒大于 0,所以 H(x)在[4,+∞)上单调递增,故 H(4)=0,∴c=-11, 3 ∴f(x)=x3- x2-6x-11. 2 ………………14 分

21.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)由题可得: xy ? 1800, b ? 2a ,则 y ? a ? b ? 6 ? 3a ? 6 ………………………………2 分

y?6 16 ? 1832 ? 6 x ? y ………6 分 3 3 16 16 y ? 1832 ? 2 6 x ? y ? 1832 ? 480 ? 1352 …………11 分 (Ⅱ)方法一: S ? 1832 ? 6 x ? 3 3 16 y ,即 x ? 40, y ? 45 时, S 取得最大值 1352 . …………………………14 分 当且仅当 6 x ? 3 16 1800 9600 ? 32 ? 1832 ? (6 x ? ) 方法二: S ? 1800 ? 6 x ? ? 3 x x 9600 ? 1832 ? 2 6 x ? ? 1832 ? 480 ? 1352 ………………………………11 分 x 9600 1800 ? 45 . ………14 分 当且仅当 6x ? ,即 x ? 40 时取等号, S 取得最大值.此时 y ? x x 9600 ) ( x ? 0) ………………………………………8 分 方法三:设 S ? f ( x) ? 1832 ? (6 x ? x 9600 6(40 ? x)(40 ? x) f ?( x) ? 2 ? 6 ? ………………………………………………9 分 x x2 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 40 当 0 ? x ? 40 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 40 时, f ?( x) ? 0 . ∴当 x ? 40 时, S 取得最大值.此时 y ? 45 . …………………………………………14 分 S ? ( x ? 4)a ? ( x ? 6) ? b ? (3x ? 16)a ? (3x ? 16)

8


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