人教版高中数学指数函数及其性质教案

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指数函数及其性质教案 教学目标:1、了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念和意义. 2、根据函数的图像理解并掌握指数函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、
特殊点).

3、能运用指数函数的性质解决简单的问题. 教学重难点: 重点:指数函数的概念、性质及其简单应用 难点:指数函数的图像与性质 教学过程: 一、复习引入 问题 1:某种细胞分裂时,每次每个细胞分裂为 2 个,则 1 个这样的细胞第 1 次分裂后 变为 2 个细胞,第 2 次分裂后就得到 4 个细胞,第 3 次分裂后就得到 8 个细胞……设第 x 次 分裂后得到 y 个细胞,求 y 关于 x 的关系式。 问题 2:质量为 1 的一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是 原来的 50%,求这种物质的剩留量 y 关于时间 x (单位:年)的关系式。 (1) y ? 2 x 思考:① y ? 2 x

(x ? N *)

(2)

1 y ? ( )x 2

(x ? N *)

( x ? N * ) 和 y ? ( ) x ( x ? N * ) 这两个解析式有什么共同特征?

1 2

(均是幂的形式;底数是常数;指数是自变量) ②它们能构成函数吗? ③是我们学过的函数吗?如果不是, 你能根据该函数的特征给它起个恰当的名字吗? ④你能根据上面两个函数关系给出一个一般性的定义吗? (师:如果用字母 a 代替其中的底数,那么上述两式就可以表示成 y ? a 的形式)
x

二、新知探究 1、 指数函数的概念
x 一般地,函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R

思考:在定义中,为什么要求 a ? 0 且 a ? 1 ? (引导学生讨论: a ? 0 且 a ? 1 的理由) 注:规定底数 a ? 0 且 a ? 1 的理由 ①若 a ? 1, 则y ? 1 ? 1 是一个常数函数,没有研究的必要性
x
x x ②若 a ? 0 当 x ? 0 时, a 恒等于 0 ;当 x ? 0 时, a 无意义;

③若 a ? 0 ,此如 a ? ?2 ,当 x ?

1 1 , 等时,在实数范围内函数值不存在。 4 2 因此为了避免上述情况,规定 a ? 0 且 a ? 1 .

2、指数函数概念的强化 练习:下列函数中,哪些是指数函数? ⑴ y ?3
x

⑵ y ? 2?3
x ?1

x

⑶ y ? 4x
x

2

(4) y ? 2

(5) y ? (2b ? 1) ( b ? 1 )
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解:根据指数函数的定义可知:⑴、 (5)是指数函数,其余不是指数函数 注:判断一个函数是否为指数函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 的依据: ① 底数 a :大于 0 且不等于 1 的常数.②指数必须是 x 的形式(化简后是 x 的形 式).③ a 前面的系数是 1. 3、指数函数的性质 思考: (1)在研究函数时,一般要研究函数的哪些性质?(定义域、值域、单调性、奇偶性、最值) (2)用什么方法研究函数的这些性质?(图象法:从图象的变化情况来看函数的性质;代数
证明法)

(3)怎样才能得到指数函数的图象?(列表、描点、连线) (4)在同一坐标系下,作出函数 y ? 2x , y ? 3x 、 y ? ( ) , y ? ( ) 的图像。
x x

1 2

1 3

(5)观察上述几个函数的图象,你能得到什么结论?能推广到一般情形吗?
图 像 特 征 向 x 轴正负方向无限延伸 函数图象都在 x 轴上方 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图像都经过(0,1)点 从左向右看,当 a ? 1 时图象逐渐上升; 当 0 ? a ? 1 时图象逐渐下降 图象分为两类: ①在第一象限内,图象的纵坐标都大于 1; 在第二象限内,图象的纵坐标都小于 1 ②在第一象限内,图象的纵坐标都小于 1; 在第二象限内,图象的纵坐标都大于 1 函 数 性 质 函数的定义域为 R 函数的值域为(0,+∞) 非奇非偶函数
a0 ? 1

当 a ? 1 时, y ? a x 是增函数 当 0 ? a ? 1 时, y ? a x 是减函数
x ? ?若x ? 0, 则a ? 1 当 a ? 1 时, ? x ? ?若x ? 0, 则0 ? a ? 1 x ? ?若x ? 0, 则0 ? a ? 1 当 a ? 1 时, ? x ? ?若x ? 0, 则a ? 1

x 指数函数的性质:一般,指数函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 图像与性质如下表所示:

a


a ?1
y

0 ? a ?1
y

1


1

o
性 质

x

o

a ? 0. 0.7,8 b ? 0. 0.9,8 c ?1.20.8

定义域是 R,值域是(0,+∞)
非奇非偶函数 过点 (0,1) 即 x
当x ? 0, 则a x ? 1 当x ? 0, 则0 ? a
x

? 0时 y ?1
当x ? 0, 则0 ? a x ? 1 当x ? 0, 则a x ? 1

?1

在 R 上是增函数 三、知识的应用

在 R 上是减函数

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例 1:函数 y ? (a2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,求 a 的值 例 2:已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0,且a ? 1) 的图象经过点 (3, ? ) .求 f (0) 、 f (1) 、

f (?3) 的值
例 3:比较下列各题中的两个值的大小 ①

1.7 2.5 与 1.7 3 ② 0.8?0.1 与 0.8?0.2 ③ 1.7 0.3 与 0.93.1

小结:①构造函数法:要点是利用函数的单调性,数的特征是同底不同指(包括可以化为同 底的),若底数是参变量要注意分类讨论。②中间量比较法:用别的数如 0 或 1 做中间量。 数的特征是不同底不同指。 变式训练:1、已知 a ? 0.8
1 1
0.7

b ? 0.80.9 c ? 1.20.8 ,则 a、b、c 的大小关系是________

2、比较 a 2 和a 3 的大小关系,其中 a ? 0, 且a ? 1 例 4:求下列函数的定义域
1

①y?2

2 x ?1

② y ?8

2 x ?1

③y?( )

1 2

x?2

思考:这几个函数的值域是什么呢? 四、课堂小结 1、指数函数的定义 2、指数函数的图象与性质 五、作业 教材 P59 习题 2.1 A 组 5、7

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