宁夏银川一中高三数学第六次月考试题 理【会员独享】

宁夏银川一中 2012 届高三第六次月考数学(理)试题
2012.2

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选 考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ]

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高 第I卷

S ? 4? R 2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | ?5 ? 2 x ? 1 ? 3, x ? R} , B ? {x | x( x ? 8) ? 0, x ? Z} ,则 A A. ? 0, 2 ? B. ? 0, 2? C. ?0, 2? D. ?0,1, 2?

B?

y

2.若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1 ,
Z

o

x

复平面内点 Z 表示复数 z ,则复数 A. ? i C. ?i 3.曲线 y ?

z 的共轭复数是 1 ? 2i

3 5

B. i D. i

3 5

ax 在点 (?1,?a) 处的切线方程为 2 x ? y ? b ? 0 ,则 x?2
B. a ? 1, b ? 1 C. a ? ?1, b ? ?3 D. a ? ?1, b ? ?2

A. a ? 1, b ? ?1

4.设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 , S k ?2 ? S k ? 36 ,则 k ? A. 8 5.已知命题 B. 7 C. 6 D. 5

p1 : ?x ? R ,函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图像关于直线 x ? ?

?
3

对称,

p2 : ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) 的图像关于原点对称,
则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : (?p1 ) ? p2 和 q4 : p1 ? (?p2 ) 中,真命题是 A. q1 , q3 B. q2 , q3 C. q1 , q4 D. q2 , q4

6.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图是全等的矩形如图所示, 则这个几何体可以为:①三棱柱;②四棱柱;③圆柱 其中真命题的个数是 A. 0 C. 2 B. 1 D. 3 INPUT “n=” ;n
俯视图 正视图

7.运行右面的程序,如果输入的 n 是 6 , 那么输出的 p 是 A. 120 B. 720 C. 1440 D. 5040

k=1 p=1
WHILE k<=n

p=p*k
8.已知双曲线

x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线均和圆 C: x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 相切, 2 k = k +1 a b
WEND

2

2

则该双曲线离心率等于 A.

3 5 5

B.

6 2

C.

3 PRINT p 2
END

D.

5 5

9.如图,长方形的四个顶点为 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) ,曲线 y ? 一质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中 阴影区域的概率是 A.
y C

x 经过点 B .现将
B

y= x

5 12

B.

1 2
O A

2 C. 3

3 D. 4

x

10.三棱锥 S ? ABC 的顶点都在同一球面上,且 SA ? AC ? SB ? BC ? 2 2, SC ? 4 , 则该球的体积为 A.

256 ? 3

B.

32 ? 3
x

C. 16?

D. 64?

2 ? ? x ? (a ? b) x ? 2, x ? 0 11.若 a 满足 x ? lg x ? 4 , b 满足 x ? 10 ? 4 ,函数 f ( x) ? ? , ? 2 , x ? 0 ?

则关于 x 的方程 f ( x) ? x 的解的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

12.若 a, b, c 均为单位向量,且 a ? b ? ? A. 2 B.

1 , c ? xa ? yb ( x, y ? R) ,则 x ? y 的最大值是 2
D. 1

3

C. 2 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.设 S n 是等比数列 {an } 的前 n 项和,若 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 3a4 ,则 2S n ? an ? .

14.每位学生可从本年级开设的 A 类选修课 3 门, B 类选修课 4 门中选 3 门,若要求两类课程 中各至少选一门,则不同的选法共有 种. (用数字作答)

15. 设抛物线 C : y 2 ? 16x 的焦点为 F , 过点 Q(?4,0) 的直线 ? 与抛物线 C 相交于 A, B 两点, 若 | QA |? 2 | QB | ,则直线 ? 的斜率 k ? .

16.下表是某数学老师及他的爷爷、父亲和儿子的身高数据: 父亲身高 x (cm) 儿子身高 y (cm) 173 170 170 176 176 182

因为儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高 为 .

? ?bx?a , 参考公式: 回归直线的方程是: y
?

?

?

其中 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

, a ? y ? b x ;其中 yi 是与 x i 对应的回归估计值.

?

?

? x)2
3

参考数据:

? (x
i ?1

3

i

? x ) 2 ? 18 , ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? 18 .
i ?1

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,且满足 sin A ? 3 cos A ? 2 . (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ? 45? ;③ c ? 3b . 试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,写出你的选择并以此为依据求 ?ABC 的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) .

18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为矩形, PA 是四棱锥的高,
P

PB 与 DC 所成角为 45? , F 是 PB 的中点, E 是 BC 上的动点.
(Ⅰ)证明: PE ? AF ; (Ⅱ)若 BC ? 2BE ? 2 3 AB ,求直线 AP 与平面
A D C E F

PDE 所成角的大小.

B

19. (本小题满分 12 分) 城市的空气质量以其空气质量指数 API(为整数)衡量,指数越大,级别越高,说明污 染越严重,对人体健康的影响也越明显.根据空气质量指数 API 的不同,可将空气质量分 级如下表: API 状况 0~50 优 51~100 良 101~150 轻微污染 151~200 轻度污染 201~250 中度污染 251~300 中度重污染 >300 重度污染

为了了解某城市 2011 年的空气质量情况, 现从该城市一年空气质量指数 API 的监测数据库中, 用简单随机抽样方法抽取 30 个空气质量指数 API 进行分析,得到如下数据:

API 分 组 频数

[41,51)
2 1

[51,61)

[61,71)

[71,81)

[81,91)

[91,101 )
5

[101 ,111 ]
2

4

6

10

(Ⅰ)完成下面频率分布直方图,并求质量指数 API 的中位数大小;
频率 10 300
9 300 8 300 7 300 6 300

组距

5 300
4 300 3 300 2 300 1 300

O

41

51

61

71

81

91 101 111 API

(Ⅱ)估计该城市一年中空气质量为优良的概率; (Ⅲ)请你依据所给数据和上述分级标准,对该城市的空气质量给出一个简短评价.

20. (本小题满分 12 分) 平面内与两定点 A1 (?2,0), A2 (2,0) 连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹,加 上 A1 , A2 两点,所成的曲线 C 可以是圆,椭圆或双曲线. (I)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值的关系. (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 C1 ;对给定的 m ? (??,?1) ,对应的曲线为 C2 ,若曲 线 C1 的斜率为 1 的切线与曲线 C2 相交于 A, B 两点, 且 OA ? OB ? 2 ( O 为坐标原点) , 求曲线 C2 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (1 ? a) x ? a ln x ,其中 a ? 0 . 2

(Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的极小值点; (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x ) 在点 A( m , f ( m )), B( n, f ( n)) 处的切线都与 y 轴垂直,问是否存在常 数 a ,使函数 y ? f ( x ) 在区间 [ m , n] 上存在零点?如果存在,求 a 的值:如果不存在,请说明 理由. 请考生在 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时 用 2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ABCD 是圆的内接四边形, AB // CD , 过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点, 证明: (Ⅰ) ?DBC ? ?AEC ; (Ⅱ) BC 2 ? BE ? CD . 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程.

1 ? x ? 1 ? t, ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C : ? x ? cos ? , ( ? 为参数). 已知直线 ? : ? 1 ? ? y ? sin ? , ? y ? 3 t. ? 2 ? (Ⅰ)设 ? 与 C1 相交于 A, B 两点,求 | AB | ;
(Ⅱ) 若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲 2 2

线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 ? 的距离的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 设函数 f ( x) ?| x ? 1 |, g ( x) ?| x ? 2 | . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? g ( x) ? 2 ; (Ⅱ)对于实数 x, y ,若 f ( x) ? 1, g ( y) ? 1 ,求证 | x ? 2 y ? 1 |? 5 .

参考答案 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 号 0 1 2 答 D C B A A D B A C B C A 案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 2 2 13. 1 . 14. 30 . 15. ? . 3

16. 185 cm

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(Ⅰ)依题意得 2 sin( A ? ∵0 ? A ?? , ∴

?
3 ?

) ? 2 ,即 sin( A ? 4? , 3
∴ A?

?
3

) ?1

?
3

? A?

?
3

?

3

?

?
2

,

∴A?

?
6

. ----6 分

(Ⅱ)方案一:选择①② 由正弦定理

a b a ? sin B ? 2 2 , ,得 b ? sin A sin B sin A

A ? B ? C ? ? ,? sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ?S ?

2? 6 4 .

1 1 2? 6 ab sin C ? ? 2 ? 2 2 ? ? 3 ? 1 . ---------12 分 2 2 4

方案二:选择①③
2 2 2 2 2 2 由余弦定理 b ? c ? 2bc cos A ? a ,有 b ? 3b ? 3b ? 4 ,则 b ? 2 , c ? 2 3 ,

所以 S ?

1 1 1 bc sin A ? ? 2 ? 2 3 ? ? 3 . 2 2 2

说明:若选择②③,由 c ? 3b 得, sin C ? 3 sin B ?

6 ? 1 不成立,这样的三角形不存. 2

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 建立如图所示空间直角坐标系.设 AP ? AB ? 2 , BE ? a 0, 0) 2, 0),P(0, 0, 2),F(0, 1, 1 ) 2, 0) 则 A(0, , B(0, , E( a , 于是, PE ? (a,2,?2) , AF ? (0,1,1) , 则 PE ? AF ? 0 , 所以 AF ? PE .………………6 分 (Ⅱ)若 BC ? 2BE ? 2 3 AB ,则 D(4 3,0,0) ,
z P

F

A D x C E

B

PD ? (4 3,0,?2), PE ? (2 3,2,?2) ,
设平面 PDE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 由?

y

? n ? PD ? 0 ? 4 3x ? 2 z ? 0 ,得: ? ,令 x ? 1 ,则 z ? 2 3, y ? 3 , ? n ? PE ? 0 2 3 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ?
| n ? AP | | n || AP | 3 , 2

于是 n ? (1, 3,2 3) ,而 AP ? (0,0,2) 设 AP 与平面 PDE 所成角为 ? ,所以 sin ? ?
?

?

所以 AP 与平面 PDE 所成角 ? 为 60 .-----------------12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)频率分布直方图如下:

频率 10 300
9 300 8 300 7 300 6 300

组距

5 300
4 300 3 300 2 300 1 300

O

41 51

61

71

81 91 101 111 API

--------------3 分

2 1 4 6 10 1 ? ? ? ? ? ( x ? 81) ? ,得 x ? 83 . 设 API 的中位数为 x ,则 30 30 30 30 300 2
-------------6 分 (Ⅱ)由统计图表知,样本 API 数据在 0~100 间的有 28 个,样本容量为 30,所以样本中 API 数据在 0~100 之间的频率 f ?

P ? 0.933 .---------9 分 (Ⅲ)(答对下面的一条即可) ①由样本数据估计该市一年中空气质量优良的概率 P ? 0.933 .也就是一年中处于优或良的天 数大约有 341 天,说明该城市空气质量基本良好. ②由样本数据该市样本 API 在 80 以上的接近轻微污染的样本数有 15 个,加上处于轻微污染的样
本数有 17 个,占样本数的

28 ? 0.933 ,故由频率估计该城市一年空气质量优良的概率 30

17 ,超过 50%,说明该市一年有超过 50%的天数空气质量接近轻微污 30

染或处于轻微污染,因此该市的空气质量有待进一步改善.----------------12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x, y ) , 当 x ? ?2 时,由条件可得 k MA1 ? k MA2 ? 即 mx ? y ? 4m( x ? ?2) ,
2 2

y y y2 ? ? 2 ? m, x?2 x?2 x ?4
2

又 A1 (?2,0), A2 (2,0) 的坐标满足 mx ? y ? 4m ,
2

故依题意,曲线 C 的方程为 mx ? y ? 4m .--------------3 分
2 2

x2 y2 当 m ? ?1 时, 曲线 C 的方程为 ? ? 1 , C 是焦点在 y 轴上的椭圆; 4 (?4m) 2 2 当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x ? y ? 4 , C 是圆心在原点,半径为 2 的圆;
当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 , C 是焦点在 x 轴上的椭圆; 4 (?4m)

当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为 --------6 分

x2 y2 ? ? 1 , C 是焦点在 x 轴上的双曲线. 4 4m

(Ⅱ)曲线 C1 ; x 2 ? y 2 ? 4 , C2 :

x2 y2 ? ? 1(?? ? m ? ?1) , 4 (?4m) 设圆 C1 的斜率为 1 的切线 AB 和椭圆 C2 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,

令直线 AB 的方程为 y ? x ? b ,① 将其代入椭圆 C2 的方程并整理得

(1 ? m) x 2 ? 2bx ? b 2 ? 4m ? 0.
由韦达定理得

2b b 2 ? 4m , x1 x2 ? . 1? m 1? m 因为 OA ? OB ? 2 , 所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 2. x1 ? x2 ? ?
将①代入③并整理得





2x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b 2 ? 2
联立②得

b2 ?

2 ? 10 m 1? m



因为直线 AB 和圆 C1 相切, 因此 2 ?

|b| 2

,b ? 8 ,
2

由④得 m ? ?3, 所以曲线 C2 的方程 3x ? y ? 12 ,即
2 2

y2 x2 ? ? 1 .-------12 分 12 4

21. (本小题满分 12 分)

a x 2 ? (1 ? a) x ? a ( x ? 1)(x ? a) ? 解:(Ⅰ) f ( x) ? x ? (1 ? a) ? ? x x x f '( x ) ? 0, 令 得到 x1 ? 1, x2 ? a . a ? 1 (1) 当 时, f ( x) 在定义域单调递增,没有极小值点. (2)当 a ? 1 时,当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表: (1, a) (a,??) (0,1) x a 1
'

0 0 极大 极小 f ( x) 值 值 x ? 1 所以 是函数的极大值点. x ? a 是函数的极小值点. (3) 当 0 ? a ? 1 时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

f '( x )

?

?

0 0 ? 极大 极小 f ( x) 值 值 所以 x ? a 是函数的极大值点. x ? 1 是函数的极小值点.

x f '( x )

(0, a )

a

(a,1)

1

(1,??)

?

综合上述.当 0 ? a ? 1 时, x ? 1 是函数的极小值点. 当 a ? 1 时, x ? a 是函数的极小值 点.-------6 分 (Ⅱ)若曲线 y ? f ?x ? 上有两点 A?m , f ?m?? , B?n , f ?n ?? 处的切线都与 y 轴垂直,则

f ' (m) ? 0, f ' (n) ? 0 ,由(Ⅰ)的讨论知, m ? 1, n ? a 或 m ? a, n ? 1 ,
1 a2 f (1) ? ? ? a, , f (a) ? ? ? a ? a ln a . 2 2 若函数 y ? f ?x ? 在区间 ?m , n? 上存在零点,且单调,所以 f (1) ? f (a) ? 0 .

1 a2 a2 ? a)(? ? a ? a ln a) ? 0 .所以 ( ? a ? a ln a) ? 0 . 2 2 2 a 故 ln a ? ? 1 . 2
即 (? 下面证明此不等式不成立.

a 1 1 2?a ? 1 ,则 g ' (a) ? ? ? , 2 a 2 2a 于是当 a ? (0,2), g ' (a) ? 0, a ? (2,??), g ' (a) ? 0 ,所以, g (a ) 在 (0,2) 单调递增,在 a [2,??) 单调递减,所以函数 g (a) ? ln a ? ? 1 在 a ? 2 取得最大值 g (2) ? ln 2 ? 2 ? 0 . 2 a a 所以 g (a ) ? ln a ? ? 1 ? g (2) ? 0 ,所以 ln a ? ? 1 .故不存在满足要求的常数 a . 2 2
令 g (a ) ? ln a ? -------12 分 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记 分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲. 解(I)因为 ABCD 是圆的内接四边形, 所以 ?CAE ? ?BDC , 又因为 EC 与圆相切于点 C , 所以 ?ACE ? ?ABC . 因为 AB // CD ,所以 ?DCB ? ?ABC , 所以 ?ACE ? ?DCB , 故 ?DBC ? ?AEC ----------5 分 ( II ) 因 为

?B

所以 ?BCE ? ?BDC . 又因为 ?EBC ? ?BCD,

? ?C B

? ?A E C

? ?C B A

? ?A E C

? ?B C A

C A

E

所以 ?BDC ∽ ?ECB , 故
2

BC CD ? , BE BC

即 BC ? BE ? CD. --------10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 解.(I) ? 的普通方程为 y ? 3( x ? 1),C1 的普通方程为 x ? y ? 1.
2 2

联立方程组

? 1 3 ? y ? 3 ( x ? 1), 解得 ? 与 C1 的交点为 A(1,0) , B( ,? ), ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1 , ?

则 | AB |? 1 .----------5 分

? ?x? ? (II) C2 的参数方程为 ? ?y ? ? ?
从而点 P 到直线 ? 的距离是

1 cos? , 1 3 2 (? 为参数).故点 P 的坐标是 ( cos? , sin ? ) , 3 2 2 sin ? . 2

3 3 cos? ? sin ? ? 3 | 3 ? 2 2 d? ? [ 2 sin(? ? ) ? 2] , 2 4 4 ? 6 由此当 sin(? ? ) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 ( 2 ? 1) .---------10 分 4 4 24.解: (Ⅰ)令 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ,则 |
8 6 4

? 3 ? 2 x, x ? 1 ? y ? ?1, 1 ? x ? 2 ?2 x ? 3, x ? 2 ?
-5

2

1

1

2

作出函数 y ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | 的图象,它与直线 y ? 2
-2

1 的交点为 ( ,2) 和 2

5

10

15

5 ( ,2) . 2 1 5 2 2

-4

所以 f ( x) ? g ( x) ? 2 的解集为 ( , ) .------------5 分
-6

(Ⅱ)因为

| x ? 2 y ? 1 |?| ( x ? 1) ? 2( y ? 1) | ?| x ? 1 | ?2 | ( y ? 2) ? 1 | ?| x ? 1 | ?2(| y ? 2 | ?1) ? f ( x) ? 2 g ( y ) ? 2 ?5 所以 | x ? 2 y ? 1 |? 5 .--------10 分

-8


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