高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1系数的扩充和复数的概念第2课时复数的几何意义创新应用课件新人教_图文

第 2 课时

复数的几何意义

[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P52~P53 的内容,回答下列 问题. (1)根据复数相等的定义,复数 z=a+bi(a,b∈R)与 有序实数对(a,b)之间有什么对应关系?

提示:一一对应关系.

(2)有序实数对(a, b)与平面直角坐标系内的点有怎样 的对应关系?

提示:一一对应关系.

(3)通过以上 2 个问题,你认为复数集与平面 直角坐标系中的点集之间有什么对应关系?

提示:一一对应关系.

2.归纳总结,核心必记 (1)复平面的定义 建立了直角坐标系来 表示复数 的平面叫做复平 面. x 轴叫做 实轴 ,y 轴叫做 虚轴 .显然,实轴上的 点都表示 实数 ;除了 原点 外,虚轴上的点都表示纯 虚数.

(2)复数的几何意义 ① 复 数 z = a + bi(a , b ∈ R) 一 一 对 应 复 平 面 内 的 点 Z(a,b) ; ②复数 z=a+bi(a,b∈R)一一对应平面向量 (3)复数的模 复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为 ,则 的模 .

叫做复数 z 的模,记作|z|或|a+bi|,且|z|= a2+b2.

[问题思考] (1)复平面的虚轴的单位长度是 1, 还 是 i?

提示: 复平面的虚轴的单位长度是 1,而不是 i.

(2)原点是实轴与虚轴的公共点吗?

提示:是.

(3)若复数(a+1)+(a-1)i(a∈R)在复平面内对应的点 P 在 第四象限,则 a 满足什么条件?
? ?a+1>0, 满足? ? ?a-1<0,

提示:a

即-1<a<1.

(4)若复数 z 的实部为-1,虚部为 2,则|z|为何值?

提示:|a|= ?-1?2+22= 5.

[课前反思] (1)复平面的定义是什么?什么是实轴、虚轴? ; (2)复数的几何意义是什么? ; (3)复数模的定义是什么? .

[思考]

如何判断复数 z=a+bi(a,b∈R)在复平面

内所对应的点的位置?

名师指津:复数 z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 (a,b)对应,根据 a,b 的符号判断点(a,b)所在象限或 坐标轴即可.

讲一讲 1.实数 x 取什么值时,复平面内表示复数 z=x2+x-6 +(x2-2x-15)i 的点 Z (1)位于第三象限;(2)位于第四象限;(3)位于直线 x-y -3=0 上.
[尝试解答] 因为 x 是实数,所以 x2+x-6,x2-2x-15 也是实数. (1)当实数 x
2 ? ?x +x-6<0, 满足? 2 ? ?x -2x-15<0,

即-3<x<2 时,点 Z 位于第三象限.

(2)当实数 x

2 ? ?x +x-6>0, 满足? 2 ? ?x -2x-15<0,

即 2<x<5 时,点 Z 位于第四象限. (3)当实数 x 满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0, 即 3x+6=0,x=-2 时,点 Z 位于直线 x-y-3 =0 上.

(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复数的实 部就是该点的横坐标,虚部就是该点的纵坐标. (2) 已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数 取值范围时,可根据复数与点的对应关系,建立复数的实 部与虚部满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.

练一练 1.实数 m 取什么值时,复平面内表示复数 z=(m2 +5m+6)+(m2-2m-15)i 的点 (1)位于 x 轴上方; (2)位于直线 y=x 上.

解:(1)由 m2-2m-15>0,得 m<-3 或 m>5, 此时 z 在复平面内对应的点位于 x 轴上方. (2)由 m2+5m+6=m2-2m-15,得 m=-3, 此时 z 在复平面内对应的点位于直线 y=x 上.

[ 思考 ] 么?

与复数 z =a + bi(a, b∈ R) 对应的平面向量是什

名师指津:与复数 z=a+bi(a,b∈R)对应的平面向量 =(a,b).

讲一讲 2.(1)已知平面直角坐标系中 O 是原点,向量 , 对 应的复数分别为 2- 3i, - 3+ 2i, 那么向量 对应的复数是 ( ) A.- 5+ 5i C. 5+ 5i B. 5- 5i D.- 5- 5i

(2)在复平面内,A,B,C 三点对应的复数分别为 1,2 + i,- 1+ 2i. ①求向量 , , 对应的复数;

②若 ABCD 为平行四边形,求 D 对应的复数.

[尝试解答 ]

(1)向量



对应的复数分别为 2- 3i, = (2,- 3),

- 3+ 2i,根据复数的几何意义,可得向量 = (- 3,2). 由向量减法的坐标运算可得向量 =



= (2 +

3,- 3- 2)= (5,- 5),根据复数与复平面内的点一一对应, 可得向量 对应的复数是 5- 5i.

(2)①设 O 为坐标原点,由复数的几何意义知: =(1,0), 所以 (-2,2), 所以 = = , =(2,1), - - , =(-1,2), = - =

=(1,1), =(-3,1),

对应的复数分别为 1+i,-2

+2i,-3+i.

②因为 ABCD 为平行四边形, 所以 = = + =(-3,1), =(1,0)+(-3,1)=(-2,1).所

以 D 对应的复数为-2+i.
[答案] (1)B

(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量 的起点在原点时, 向量的终点对应的复数即为向量对应的复 数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有 向线段,即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复 数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的 点、向量之间的转化.

练一练 2.在复平面内,O 是原点,若向量 z 的实部为 3,且| 为点 B,求向量 对应的复数

|=3,如果点 A 关于原点的对称点 对应的复数.

解:根据题意设复数 z=3+bi(b∈R), 由复数与复平面内的点、 向量的对应关系 得 =(3,b), 已知| |=3,即 32+b2=3,

解得 b=0,故 z=3,点 A 的坐标为(3,0). 因此, 点 A 关于原点的对称点为 B(-3,0), 所以向量 对应的复数为 z′=-3.

[思考]

复数 z=a+bi(a,b∈R)的模是什么?其模的几

何意义是什么?
名师指津:复数 z=a+bi 的模|z|= a2+b2,其几何意义 是点(a,b)到坐标原点的距离.

讲一讲 1 3 3.已知复数 z1= 3+i,z2=- + i. 2 2 (1)求|z1|及|z2|并比较大小; (2)设 z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数 z 对应的点 Z 的轨迹是什么图形?

[ 尝试解答 ]
? ? 1? 2 ?- ? +? ? ? 2? ?

(1)|z1| = | 3 + i| = ? 3?2+12 = 2 , |z2| =

3? ?2 =1,所以|z1|>|z2|. ? 2?

(2)法一:设 z=x+yi(x,y∈R), 则点 Z 的坐标为(x,y). 由|z|=|z1|=2 得 x2+y2=2,即 x2+y2=4.

所以点 Z 的轨迹是以原点为圆心,2 为半径的圆. 法二:由|z|=|z1|=2 知|OZ―→|=2(O 为坐标原点), 所以 Z 到原点的距离为 2. 所以 Z 的轨迹是以原点为圆心,2 为半径的圆.

(1)复数的模是非负实数,因此复数的模可以比较 大小. (2) 根据复数模的计算公式 |a + bi| = a2+b2 可把 复数模的问题转化为实数问题解决. (3)根据复数模的定义 |z|=|OZ―→|,可把复数模 的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决.

练一练 3.已知复数 z=3+ai,且|z|<4,求实 数 a 的取值范围.
解:因为 z=3+ai(a∈R), 所以|z|= 32+a2, 由已知得 32+a2<42, 所以 a2<7, 所以 a∈(- 7, 7).

——————[课堂归纳· 感悟提升]——————

1.本节课的重点是复数的几何意义及复数模的 计算,难点是复数几何意义的应用. 2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)复数与复平面内点的对应关系,见讲 1; (2)复数与平面向量的对应关系,见讲 2; (3)复数模的计算及应用,见讲 3.


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