浙江省温州市龙湾中学2011-2012学年高一下学期期中考试试题(数学)

浙江省温州市龙湾中学 2011-2012 学年高一下学期期中 考试试题(数学)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.-2012°角所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设角 ? 的终边过点 P (4a, ?3a) ( a ? 0) ,则 sin ? 的值是 A. ?
3 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

3.一个扇形的弧长与面积的数值都是 5,则这个扇形中心角的弧度数是 A. 1.5? B. 2.5 C. 3 ?
??? ?

D.5

4.如右图所示,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量 CD 等于
? 1 ??? BA 2 ??? 1 ??? ? ? C. ? BC ? BA 2

A. BC ?

??? ?

B. ? BC ?

? 1 ??? BA 2 ??? 1 ??? ? ? D. BC ? BA 2

??? ?

5.已知 a ? (2, 4) , b ? ? x,1? ,当 a ? b 与 a ? b 共线时, x 值为 A.3 D.
1 2

?

?

?

?

?

?

B.2

C.

1 3

6.在下列函数中,图象的一部分如图所示的是 A. y ? 2 sin ? 4 x ?
? ?

??
? 6?

B. y ? ?2 sin ? 2 x ?
?

?

??
? 3?

C. y ? 2 cos? 2 x ?
?

?

??
? 6?

D. y ? ?2 cos? 2 x ?
?

?

??
? 3?

7.下列命题中:①若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;②若 a ? b ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ; ③若 a ? b = a ? c ,则 b = c ;④若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;其中正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 18.已知点 O 是△ABC 所在平面内的一定点,P 是平面 ABC 内一动点,若
??? ??? ? ? ??? 1 ??? ? ? OP ? OA ? ? ( AB ? BC), ? ? (0, ?? ) ,则点 P 的轨迹一定经过△ABC 的 2

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

A.垂心

B.重心

C.内心

D.外心

9.设a ? b ? 4 ,若a 在b 方向上的投影为2,且b 在a 方向上的投影为1,则a 与b 的夹角等于
?
6

? ?

?

?

?

?

?

?

A.

B.

?
3

C.

2? 3

D.

?
3



2? 3

10.已知函数 f ? x ? 是 R 上的偶函数,且在区间 ?0,?? ? 上是减函数,设
2? ? 3? ? 3? ? ? ? ? a ? f ? sin ? , b ? f ? cos ? , c ? f ? tan ? ,则 5 ? 5 ? 5 ? ? ? ?

A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. b ? c ? a

D. b ? a ? c

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.函数 y ? sin x ? 12.若 tan(? ? ? ) ? ▲ .
? ?
3 5

1 2

? cos x 的定义域是
?
4 1 4


?
4

.

, tan( ? ?

)?

,则 tan(? ?
?

)?

13. 已知平面向量 a, b , 且满足 a ? 1, a ? b ? 2 , b 的 则 取值范围为 ▲ .
?? ? cos ? ? ? ? 4? ?
sin 2?

?

?

?

14.若 cos ? ? sin ? ?

1 2

,则

的值为



.

15.下列说法: ①第二象限角比第一象限角大; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③函数 y ? sin | x | 是最小正周期为 ? 的周期函数; ④在锐角三角形 ABC 中, sin A ? cos B . 其中正确的是 ▲ . (写出所有正确说法的序号) 16.如上图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,AB=2,BC=3, P 是 BC 上的一个动 点,
*u

当 PD ? PA 取最小值时, tan ?DPA 的值是

??? ??? ? ?



.

*

17.已知 O 是 ?ABC 的外心, AB ? 2, AC ? 1, ?BAC ? 120 ,若 AO ? ?1 AB ? ?2 AC ,则
0

??? ?

??? ?

??? ?

?1 ? ?2 的

值为



.

三.解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分)

已知角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P ( ? , ) .
5 5

3 4

cos(? ?

(1)求

) ? sin(? ? ? ) 2 的值; tan( ?? )
2 sin( x ? ? ?

?

(2)若 f ( x) ?

?
4

)( x ? R ) 图象的对称中心为 ( x0 , 0) ,求 tan x0 的值.

19. (本小题满分 14 分) 如图所示,四边形 ABCD 为矩形,点 M 是 BC 的中点,CN=
1 3

CA,用向量法证明:

(1)D、N、M 三点共线; (2)若四边形 ABCD 为正方形,则 DN=BN.

20. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 1 ( ?? ? ? ? 0 )过点 (
? ?

?
8

, 0) .

(1)求函数 y ? f ( x) 在 ? 0, (2)令 g ( x) ? f ( x ?
?
8

??
2? ?

的值域;

) ,画出函数 y ? g ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的图象.

21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ( (1)求 ? 的值; (2)若不等式 | f ( x) ? m |? 2 在 x ? [ , ] 上恒成立,求实数 m 的取值范围.
6 2

?
4

? ? x) ?

3 cos 2? x ? 1 (? >0) 的最小正周期为

2? 3

? ?

22. (本小题满分 15 分) 已 知 平 面 向 量 a =( ? 3 ,1) , b =(
? ? ? f ( x) ? c ? d , x ? R .

?

?

1 2

,

3 2

) , c ? a ? m b , d ? cos xa ? sin xb ,
2

?

1? 4

?

? ?

?

?

(1)当 m ? 2 时,求 y ? f ( x) 的取值范围; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? m ? 2m ? 5 ,是否存在实数 m ,使得 y ? g ( x ) 有最大值 2,若存在,
2

求出所有满足条件的 m 值,若不存在,说明理由.

龙湾中学 2011 学年第二学期高一数学期中检测试卷
参考答案

二、填空题 11. [2k? ? 17.
13 6

?
3

, 2k? ? ? ]( k ? Z

12.

7 23

13. ?1, 3?

*u

14. ?

2 3

15.④

16.

8 15

*

三、解答题

(2) ∵ x0 ? ? ?

?
4

? k? , k ? Z , k ? Z ∴ tan x0 ? tan( k? ? ? ?

∴ x0 ? k? ? ? ?
??? ?

?
4

?
4

) = tan(? ?

?
4

)=

1 ? tan x 1 ? tan x

=?

1 7

19. 解: (1)设 AB ? a, AD ? b
???? ??? ???? ? ? 2 ??? ? ? 2 ? ? 2? 1? ∵ DN ? DA ? AN ? ?b ? AC ? ?b ? (a ? b) ? a ? b 3 3 3 3 ???? ? ???? ???? ? 1 ? ? DM ? DC ? CM ? a ? b ………3 分 2 ???? 2 ???? ? ∴ DN ? DM ,且 DM 与 DN 有公共点 D 3
D C

? ??? ?

?

M

A

B

∴D、N、M 三点共线

∵ BN ? BA ? AN ? ? a ?

??? ?

??? ?

????

?

? ? 2 ? ? 2 ??? 1? 2? AC ? ? a ? (a ? b) ? ? a ? b 3 3 3 3

∴ BN ?

??? ?

(?

1? 2? 2 a ? b) ? 3 3

1 ?2 4 ?2 5 ? a ? b ? a 9 9 3
??? ? ???? 4 ?2 1 ?2 5 ? a ? b ? a ∴ BN ? DN ,即 DN=BN 9 9 3

同理可得 DN ?

????

2? 1? 2 ( a ? b) ? 3 3

备注:利用坐标来运算的相应得分。

∵0 ? x ?

?
2

∴?

3? 4

? 2x ?

3? 4

?

?
4

∴ ?1 ? sin(2 x ?

3? 4

)?

2 2

∴ 0 ? sin(2 x ?

?
4

) ?1 ? 1?

2 2

∴ y ? f ( x), x ? ?0,
?

?

??
2?

的值域为 ? 0,1 ? ?
?

?

2? ? 2 ?

y 2 1 O x

(2) g ( x) ? f ( x ?
?
2

?

? ?? ? ) ? sin 2( x ? ) ? ?1 ? 8 8 4? ? ?

? sin(2 x ?

) ?1

? ? cos 2 x ? 1
y ? g ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的图象如右图

21. 解: (Ⅰ)

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? 2sin(3 x ? 当 x ? [ , ] 时,有 3 x ?
6 2

?
3

), ] , 则 f ( x) ? [ ?1, 2]

? ?

?
3

?[

? 7?
, 6 6

? 若不等式 | f ( x ) ? m |? 2 在 x ? [

? ?

, ] 上恒成立, 6 2

则有 ?2 ? f ( x) ? m ? 2 , 即 f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 在 x ? [ , ] 上恒成立,
6 2
? ( f ( x ) ? 2)max ? m ? ( f ( x ) ? 2)min , f ( x ) max ? 2 ? m ? f ( x ) min ? 2

? ?

? 0 ? m ?1

一、 22.解:∵ a =( ? 3 ,1), b =(

?

?

1 2

,

3 2

)∴ a ? b ? 0 ,

? ?

f ( x ) ? cos x ? 2 sin x ? 1 ? sin x ? 2 sin x ? ?(sin x ? 1) ? 2
2 2 2

∵ ?1 ? sin x ? 1 ,∴ sin x ? ?1 时, ymin ? ?2 , sin x ? 1 时, ymax ? 2 ∴ y ? f ( x) 的取值范围是 ? ?2, 2? (2) g ( x) ? f ( x) ? m ? 2m ? 5 ? cos x ? m sin x ? m ? 2m ? 5
2 2 2

? 1 ? sin x ? m sin x ? m ? 2m ? 5 m 2 3 2 ? ?(sin x ? ) ? m ? 2m ? 6 2 4
2 2

20、当

m 2

? ?1 ,即 m ? ?2 时, g ( x ) max ? ? m ? m ? 5 ,由 ? m ? m ? 5 ? 2 ,
2
2

得m ?

1 ? 13 2

(舍去)


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