安徽省六校教育研究会2014届高三2月联考数学(理)试题Word版含解析

第Ⅰ卷(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 z ? 2i ? 2 ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为( ) 1? i

(A) 2

(B) 2 2

(C) 3

(D) 2

2.已知命题

p

:“ a

?1是

x

?

0,x+

a x

?

2

”的充分必要条件”;命题 q :“存在

x0

?

R

,使得

x02 ? x0 ? 2 ? 0 ”,下列命题正确的是( )

(A)命题“ p ? q ”是真命题

(B)命题“ ??p? ? q ”是真命题

(C)命题“ p ? ??q? ”是真命题

(D)命题“ ??p? ? ??q? ”是真命题

3.执行如图所示的程序框图.若输出 S ?15 , 则框图中① 处可以填入( )

(A) n ? 4 ?

(B) n ? 8 ? (C) n ?16 ? (D) n ?16 ?

4.在极坐标系中,点 (2, π ) 和圆 ? ? 2cos? 的圆心的距离为( ) 3

(A) 3

(B) 2

(C) 1? π2 9

(D)

π2 4?

9

【答案】A

5.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD

交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( )

(A) 1 a ? 1 b 42

(B) 1 a ? 1 b 24

(C) 2 a ? 1 b 33

(D) 1 a ? 2 b 33

6.数列?an? 的首项为 3,?bn? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N?) ,

若 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? ( )

(A) 0

(B) 3

(C) 8

(D) 11

【答案】B

7.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中, 最大的是( )

(A) 4 3

(B) 8

(C) 8 3

(D) 4 7

8.有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中随机取出 4 个,则取出球的编

号互不相同的概率为( )

(A) 5 21

(B) 2 7

(C) 1 3

(D) 8 21

9.设 F1 , F2 分别为双曲线 C



x2 a2

?

y2 b2

?1

(a

? 0,b ? 0) 的左、右焦点,

A 为双曲线的左顶

点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、 N 两点,且满足 ?MAN ? 120? ,则该

双曲线的离心率为( )

21
(A)
3

19
(B)
3

(C) 7 3

73
(D)
3

10.10.若实数 a,b, c, d 满足 (b + a2 - 3ln a)2 + (c - d + 2)2 = 0 ,则 (a - c)2 + (b - d )2 的
最小值为( )

(A) 2

(B) 2

(C) 2 2

(D) 8

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)

? 11..已知 a ?

? 0

sin

xdx,

则二项式

???1

?

a x

?5 ??

的展开式中

x?3

的系数为



二项式 ???1?

a x

5
? ??

的展开式中

x?3

的系数为 C53

? ?a ?3

? 10 ? ? ?2?3

?

?80

考点:1、定积分的求法;2、二项式定理.

12.如图所示,第 n 个图形是由正 n ? 2 边形拓展而来( n ? 1, 2, ),则第 n ? 2 个图形共有____

个顶点.

?x ? y ? 5 ? 0,

13.若不等式组

? ?

y

?

kx

?

5,

表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数 k 的取值范

??0 ? x ? 2



.

14.抛物线 y ? x2 (?3 ? x ? 3) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水

平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长





15.对于函数 f (x) ,若存在区间 M ? ?a,b? ,使得?y | y ? f (x), x ? M? ? M ,则称区间 M

为函数 f (x) 的一个“好区间”.给出下列 4 个函数:

① f (x) ? sin x ;② f (x) ? 2x ?1 ;③ f (x) ? x3 ? 3x ;④ f (x) ? lg x ?1 .

其中存在“好区间”的函数是

. (填入所有满足条件函数的序号)

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.)
16.(本小题满分 12 分)
已知向量 m ? (sin x, cos x), n ? ( 3 , 3 ) , x ? R ,函数 f (x) ? m ? n, 22
(Ⅰ)求 f (x) 的最大值;

(Ⅱ)在

?ABC

中,设角

A



B

的对边分别为

a, b

,若

B

?

2A

,且

b

?

2af

? ??

A

?

? 6

? ??



求角 C 的大小.

17.(本小题满分 12 分)

等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 3, 点 D 、 E 分 别 是 边 AB 、 AC 上 的 点 , 且 满 足

AD DB

?

CE EA

?

1 (如图 2

1).将△ ADE

沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B

为直二面角,连结 A1B 、 A1C (如图 2).

(Ⅰ)求证: A1D ? 平面 BCED ;

(Ⅱ)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60 ?若存在,求出 PB 的长,若不存在,请说明理由.

直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角 ?PA1H ,设 PB 的长为 x ,用 x 表示 A1D, A1H , DH ,在直 角 ? A1DH 中,

Rt



A1DH

中,

A1D ? 1 ,

DH ? 2 ? 1 x 2

, 由 A1D2 ? DH 2 ? A1H 2 ,



12

?

? ??

2

?

1 2

x

?2 ??

?

? ??

1 2

x

?2 ??

,





18.(本小题满分 12 分)

? ? 设各项均为正数的数列

an

的前 n

项和为

Sn

,满足

a2 n?1

?

4Sn

?

4n

? 1, n

?

N?,

且 a2 , a5 , a14

恰好是等比数列?bn? 的前三项.

(Ⅰ)求数列?an? 、?bn? 的通项公式;

(Ⅱ)记数列?bn? 的前 n 项和为Tn ,若对任意的 n ? N* ,

(Tn

?

3)k 2

?

3n

?

6

恒成立,求实

数 k 的取值范围.

考点:1、等差数列;等比数列的通项公式和前 n 项和.2、参变量范围的求法.
19.(本小题满分 12 分) 生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为 次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 ?70,76? ?76,82? ?82,88? ?88,94? ?94,100?

元件 A

8

12

40

32

8

元件 B

7

18

40

29

6

(Ⅰ)试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率;

(Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件 B,

若是正品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(Ⅰ)的前提下;

(i)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元的概率;

(ii)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学

期望.

20.(本小题满分 13 分)
已知 P? x, y? 为函数 y ? 1? ln x 图象上一点, O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ?x? .

(Ⅰ)若函数

f

?

x

?

在区间

? ??

a,

a

?

1 3

? ??

?a

?

0? 上存在极值,求实数 a

的取值范围;

? (Ⅱ)如果对任意的 x1 , x2 ? ??e2,? ?

,有

f (x1) ?

f (x2 )

?m

1?1 x1 x2

,求实数 m 的取值

范围.

递减,故 f ? x? 在 x ? 1 处取得极大值. ……………………3 分

21.(本小题满分14分)

在平面直角坐标系

xoy

中,已知

F1 ,

F2

分别是椭圆 G

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,

椭圆 G 与抛物线 y2 ? ?4x 有一个公共的焦点,且过点 (?

6 ,1) .

2

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程;

(Ⅱ) 设点 P 是椭圆 G 在第一象限上的任一点,连接 PF1 , PF2 ,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使

11 得 l 与椭圆 G 有且只有一个公共点,设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,试证明 kk1 ? kk2
为定值,并求出这个定值;

(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作 F2Q ? F2 P ,设 F2Q 交 l 于点 Q ,

证明:当点 P 在椭圆上移动时,点 Q 在某定直线上.


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