高一数学集合练习题及答案有详解 - 副本


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2016.8.13 魏老师

高一数学必修一 第一节 集合
[知识要点] 一、集合的含义及其表示 1、一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个 对象称为该集合的元素。 集合的性质: (1)确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。 班级中成绩好的同学构成一个集合吗? (2)无序性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 班级位置调换一下,这个集合发生变化了吗? (3)互异性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合。 集合中任意两个元素是不相同的。 如:已知集合 A={1,2,a},则 a 应满足什么条件? 常用数集及记法 (1)自然数集:记作 N (2)正整数集:记作 N 或N? (3)整数集:记作 Z (4)有理数集:记作 Q 例如根号 2 (5)实数集:记作 R 例:下列各种说法中,各自所表述的对象是否确定,为什么? (1)我们班的全体学生; (2)我们班的高个子学生; (3)地球上的四大洋; (4)方程 x2-1=0 的解; (5)不等式 2x-3>0 的解; (6)直角三角形; 2、集合的表示法 (1)列举法:把集合中的元素列举在一个大括号里:{…} (2)描述法:将集合的所有元素都具有的 性质(满足的条件)表示出来,写成{x| P (x)}的形式。 如:{x︱x 为中国的直辖市} (3)集合的分类:有限集与无限集 <1>有限集:含有有限个元素的集合。 <2>无限集:若一个集合不是有限集,就称此集合为无限集。 <3>空集:不含任何元素的集合。记作 Φ,如: 二、子集、全集、补集 1、子集的定义:如果集合 A 的任一个元素都在集合 B 中 则称集合 A 为集合 B 的子集, 记作:A ? B 或B ? A
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?? A 特别的: A ? A 真子集的定义:如果 A ? B 并且 A ? B ,则称集合 A 为集合 B 的真子集。 2、补集的定义:设 A 为 S 的子集,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子
集 A 的补集,记作: C S A ={x∣x ∈S 且 x ? A},如果集合 S 包含我们所要研究的各个集 合,就把 S 称为全集。 三、交集与并集的定义 1、定义:一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的 交集;记作:A∩B;由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的 并集;记作:A∪B。 性质: (1) A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B (2)若 A ? B ,则 A ? B ? A (3) A ? B ? B ? A,A ? A ? B,B ? A ? B (4)若 B ? A, 则 A? B ? A (5) A ? CU A 归纳:1)交集:两集合的公共元素构成集合。 2)并集:把两个集合合在一起,但要注意元素的互异性。 3)基本方法:抽象的集合关系可用文恩图表示,实数集中的运算可在数轴上表示。 注意点:空集是任何集合的子集;空集与任何集合的交集仍为空集。

四、基础练习: 1.已知 A={x|3-3x>0},则下列各式正确的是( A.3∈A C.0∈A B.1∈A D.-1?A ) )

2.下列四个集合中,不同于另外三个的是( A.{y|y=2} B.{x=2} C.{2} D.{x|x2-4x+4=0} 3.下列关系中,正确的个数为________. 1 ①2∈R;② 2?Q;③|-3|?N*;④|- 3|∈Q.

4.已知集合 A={1,x,x2-x},B={1,2,x},若集合 A 与集合 B 相等,求 x 的 值.

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一、选择题

1.下列命题中正确的(

)

①0 与{0}表示同一个集合;②由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};③方 程(x-1)2(x-2)=0 的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|4<x<5}可以用列举法表 示. A.只有①和④ C.只有② B.只有②和③

D.以上语句都不对

2.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( A.{1,1} B.{1} C.{x=1} D.{x2-2x+1=0}

)

3.已知集合 A={x∈N*|- 5≤x≤ 5},则必有( A.-1∈A B.0∈A C. 3∈A D.1∈A

)

4.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设 A={1,2},B={0,2},则集 合 A*B 的所有元素之和为( A.0 B.2 C.3 D.6 )

二、填空题

5.已知集合 A={1,a2},实数 a 不能取的值的集合是________.

6.已知 P={x|2<x<a, x∈N}, 已知集合 P 中恰有 3 个元素, 则整数 a=________.

三、解答题 7.选择适当的方法表示下列集合集. (1)由方程 x(x2-2x-3)=0 的所有实数根组成的集合;
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(2)大于 2 且小于 6 的有理数; (3)由直线 y=-x+4 上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.

8.设 A 表示集合{a2+2a-3,2,3},B 表示集合 {2,|a+3|},已知 5∈A 且 5?B,求 a 的值.

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9.已知集合 A={x|ax2-3x-4=0,x∈R}. (1)若 A 中有两个元素,求实数 a 的取值范围; (2)若 A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围.

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1.设集合 A={x|2≤x<4},B={x|3x-7≥8-2x},则 A∪B 等于( A.{x|x≥3} C.{x|2≤x<3} D.{x|x≥4} 【解析】 B={x|x≥3}.画数轴(如下图所示)可知选 B. B.{x|x≥2}

)

【答案】 B 2.已知集合 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则 A∩B=( A.{3,5} B.{3,6} C.{3,7} D.{3,9} 【解析】 A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},A 和 B 中有相同的元素 3,9,∴A∩B= {3,9}.故选 D. 【答案】 D 3.50 名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有 30 名,参加乙项的学生有 25 名,则仅参加了一项活动的学生人数为________. 【解析】 )

设 两 项 都 参 加 的 有 x 人 , 则 只 参 加 甲 项 的 有 (30-x) 人 , 只 参 加 乙 项 的 有 (25-x) 人.(30-x)+x+(25-x)=50,∴x=5. ∴只参加甲项的有 25 人,只参加乙项的有 20 人, ∴仅参加一项的有 45 人. 【答案】 45 4.已知集合 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},若 A∩B={9},求 a 的值. 【解析】 ∵A∩B={9}, ∴9∈A,∴2a-1=9 或 a2=9,∴a=5 或 a=± 3. 当 a=5 时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}. 此时 A∩B={-4,9}≠{9}.故 a=5 舍去. 当 a=3 时,B={-2,-2,9},不符合要求,舍去. 经检验可知 a=-3 符合题意.

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一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.集合 A={0,2,a},B={1,a2}.若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】 ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又 A∪B={0,1,2,4,16}, ∴{a,a2}={4,16},∴a=4,故选 D. 【答案】 D 2.设 S={x|2x+1>0},T={x|3x-5<0},则 S∩T=( 1 A.? B.{x|x<- } 2 5 1 5 C.{x|x> } D.{x|- <x< } 3 2 3 【解析】 5 <x< }.故选 D. 3 【答案】 D 3.已知集合 A={x|x>0},B={x|-1≤x≤2},则 A∪B=( A.{x|x≥-1} B.{x|x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|-1≤x≤2} 【解析】 集合 A、B 用数轴表示如图, A∪B={x|x≥-1}.故选 A. ) 1 5 1 S={x|2x+1>0}={x|x>- },T={x|3x-5<0}={x|x< },则 S∩T={x|- 2 3 2 ) )

【答案】 A 4.满足 M?{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 集合 M 必须含有元素 a1,a2,并且不能含有元素 a3,故 M={a1,a2}或 M ={a1,a2,a4}.故选 B. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. 已知集合 A={x|x≤1}, B={x|x≥a}, 且 A∪B=R, 则实数 a 的取值范围是________.
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)

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【解析】 A=(-∞,1],B=[a,+∞),要使 A∪B=R,只需 a≤1. 【答案】 a≤1 6.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合 A 的个数是________. 【解析】 由于{1,3}∪A={1,3,5},则 A?{1,3,5},且 A 中至少有一个元素为 5,从而 A 中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素,而{1,3}有 4 个子集,因此满足条件的 A 的个 数是 4.它们分别是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}. 【答案】 4 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.已知集合 A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若 A∪B={1,2,3,5},求 x 及 A∩B. 【解析】 由 A∪B={1,2,3,5},B={1,2,x2-1}得 x2-1=3 或 x2-1=5. 若 x2-1=3 则 x=± 2; 若 x2-1=5,则 x=± 6; 综上,x=± 2 或± 6.

当 x=± 2 时,B={1,2,3},此时 A∩B={1,3}; 当 x=± 6时,B={1,2,5},此时 A∩B={1,5}. 8.已知 A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5},若 A∩B=?,求 a 的取值范围. 【解析】 由 A∩B=?, (1)若 A=?, 有 2a>a+3,∴a>3. (2)若 A≠?, 如图:

∴ ,解得- ≤a≤2. 综上所述,a 的取值范围是{a|- ≤a≤2 或 a>3}.

9.(10 分)某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两 个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组 的有 6 人,同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有多少人? 【解析】 设单独参加数学的同学为 x 人,参加数学化学的为 y 人,单独参加化学的为 z 人.

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x+y+6=26, ? ? 依题意?y+4+z=13, ? ?x+y+z=21,

x=12, ? ? 解得?y=8, ? ?z=1.

∴同时参加数学化学的同学有 8 人,

答:同时参加数学和化学小组的有 8 人.

1.集合{a,b}的子集有( A.1 个 C.3 个

) B.2 个 D.4 个

【解析】 集合{a,b}的子集有 ?,{a},{b},{a,b}共 4 个,故选 D. 【答案】 D 2.下列各式中,正确的是( )

A.2 3∈{x|x≤3} B.2 3?{x|x≤3} C.2 3?{x|x≤3} D.{2 3}?{x|x≤3} 【解析】 2 3表示一个元素,{x|x≤3}表示一个集合,但 2 3不在集合中,故 2 3 ?{x|x≤3},A、C 不正确,又集合{2 3}?{x|x≤3},故 D 不正确. 【答案】 B 3.集合 B={a,b,c},C={a,b,d},集合 A 满足 A?B,A?C.则集合 A 的个数 是________. 【解析】 若 A=?,则满足 A?B,A?C;若 A≠?,由 A?B,A?C 知 A 是由属 于 B 且属于 C 的元素构成,此时集合 A 可能为{a},{b},{a,b}. 【答案】 4 4.已知集合 A={x|1≤x<4},B={x|x<a},若 A?B,求实数 a 的取值集合. 【解析】
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将数集 A 表示在数轴上(如图所示), 要满足 A?B, 表示数 a 的点必须在表示 4 的点 处或在表示 4 的点的右边,所以所求 a 的集合为{a|a≥4}.

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.集合 A={x|0≤x<3 且 x∈Z}的真子集的个数是( A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】 由题意知 A={0,1,2},其真子集的个数为 23-1=7 个,故选 C. 【答案】 C 2.在下列各式中错误的个数是( ) )

①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}?{0,1,2}; ④{0,1,2}={2,0,1} A.1 B.2
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C.3 D.4

【解析】 ①正确;②错.因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系;③正确; ④正确.两个集合的元素完全一样.故选 A. 【答案】 A 3.已知集合 A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则( A.A>B B.A?B C.B?A D.A?B 【解析】 如图所示, )

,由图可知,B?A.故选 C. 【答案】 C 4.下列说法: ①空集没有子集;②任何集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若 ??A,则 A≠?. 其中正确的有( )
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A.0 个 C.2 个

B.1 个 D.3 个

【解析】 ①空集是它自身的子集;②当集合为空集时说法错误;③空集不是它自 身的真子集;④空集是任何非空集合的真子集.因此,①②③错,④正确.故选 B. 【答案】 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知 ??{x|x2-x+a=0},则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 ∵??{x|x2-x+a=0}, ∴方程 x2-x+a=0 有实根, 1 ∴Δ=(-1)2-4a≥0,a≤4. 1 【答案】 a≤4 6. 已知集合 A={-1,3,2m-1}, 集合 B={3, m2}, 若 B?A, 则实数 m=________. 【解析】 ∵B?A, ∴m2=2m-1, 即(m-1)2=0∴m=1, 当 m=1 时, A={-1,3,1}, B={3,1}满足 B?A. 【答案】 1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.设集合 A={x,y},B={0,x2},若 A=B,求实数 x,y. 【解析】 从集合相等的概念入手,寻找元素的关系,必须注意集合中元素的互异 性.因为 A=B,则 x=0 或 y=0. (1)当 x=0 时,x2=0,则 B={0,0},不满足集合中元素的互异性,故舍去. (2)当 y=0 时,x=x2,解得 x=0 或 x=1.由(1)知 x=0 应舍去. 综上知:x=1,y=0. 8.若集合 M={x|x2+x-6=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},且 N?M,求实数 a 的 值. 【解析】 由 x2+x-6=0,得 x=2 或 x=-3. 因此,M={2,-3}. 若 a=2,则 N={2},此时 N?M; 若 a=-3,则 N={2,-3},此时 N=M; 若 a≠2 且 a≠-3,则 N={2,a}, 此时 N 不是 M 的子集, 故所求实数 a 的值为 2 或-3.

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1 n 1 p 9.(10 分)已知集合 M={x|x=m+6,m∈Z},N={x|x=2-3,n∈Z},P={x|x=2 1 + ,p∈Z},请探求集合 M、N、P 之间的关系. 6 1 【解析】 M={x|x=m+6,m∈Z} ={x|x= 6m+1 6 ,m∈Z}.

n 1 N={x|x=2-3,n∈Z} =?x|x=
? ? ? 3n-2 ? , n ∈ Z 6 ?

p 1 P={x|x=2+6,p∈Z} 3p+1 ={x|x= 6 ,p∈Z}. ∵3n-2=3(n-1)+1,n∈Z. ∴3n-2,3p+1 都是 3 的整数倍加 1, 从而 N=P. 而 6m+1=3×2m+1 是 3 的偶数倍加 1, ∴M?N=P.

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