新高考与数学教学习题:人教A版选修2-2课本例题习题改编


人教 A 版选修 2-2 课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@qq.com 1.原题(选修 2-2 第十一页习题 1.1B 组第一题)改编 在高台跳水中,t s 时运动员相对水面 的高度(单位:m)是 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10则 t=2 s 时的速度是_______. 解 : h?(t ) ? ?9.8t ? 6.5 由 导 数 的 概 念 知 : t=2 s 时 的 速 度 为

h?(2) ? ?9.8 ? 2 ? 6.5 ? ?13.1(m / s)
2. 原 题 ( 选 修 2-2 第 十 九 页 习 题 1.2B 组 第 一 题 ) 改 编 记

1 3 3 1 A ? cos , B ? cos , c ? sin ? sin ,则 A,B,C 的大小关系是( ) 2 2 2 2 A. A ? B ? C B. A ? C ? B
C. B ? A ? C 解: cos D. C ? B ? A

1 3 1 3 1 1 3 3 , cos 分别表示 sin x在x ? , 时的导数值, sin ) , N( , sin ) 记 M( , 2 2 2 2 2 2 2 2

根据导数的几何意义 A 表示 sinx 在点 M 处的切线的斜率, B 表示 sinx 在点 N 处的切线的斜率, C 表示直线 MN 的斜率, 根据正弦的图像可知 A>C>B 故选 B
3

f(x) = sin(x)
2.5

2

1.5

1

N M
1 2 3 4 5

0.5

5

4

3

2

1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.原题(选修 2-2 第二十九页练习第一题)改编 如图是导函数 y ? f ( x) 的图象,那么函数
/

y ? f ( x)























A. ( x1 , x3 )

B. ( x2 , x4 )

C. ( x4 , x6 )

D. ( x5 , x6 )

解:函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间,故选 B 4. 原 题 ( 选 修 2-2 第 三 十 二 页 习 题 1.3B 组 第 1 题 ( 4 ) )改编
in x a ? ln si nx b , ? si n x c ,? se 试比较 a,b,c 的大小关系为(

设0? x?

?
2

,记



A a?b?c

B b?a?c
x

C c?b?a x>0

D b?c?a

解:先证明不等式 ln x ? x ? e 设 f ( x) ? ln x ? x, x ? 0

1 ? 1, 1 x ? 0f , ( x) 单 调 递 增 , 因为 所 以 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ?( x )? ? 1 x 1 f ( x) ? ln x ? x ? f (1) ? ?1 ? 0 ; 当 x ? 1 时 f ?( x) ? ? 1 ? 0, f ( x) 单 调 递 减 , x f ?( x )?

f ( x) ? ln x ? x ? f (1) ? ?1 ? 0 ;当 x=1 时,显然 ln1 ? 1 ,因此 ln x ? x
设 g ( x) ? x ? e x , x ? 0

g?( x) ? 1 ? ex 当 x ? 0时g?( x) ? 0 ? g ( x)在(0, +?)单调递减 ? g ( x) ? g (0) ? 0
即x?e
x

综上:有 ln x ? x ? e ,x>0 成立
x

0? x?

?
2

? 0 ? sin x ? 1

sin x ? ln sin x ? sin x ? e

故选 A

5.原题(选修 2-2 第三十七页习题 1.4A 组第 1 题)改编 用长为 18 m 的钢条围成一个长方 体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其 体积最大?最大体积是_________. 18 ? 12x 3? ? ? 4.5 ? 3x(m) 解:设长方体的宽为 xm,则长为 2xm,高 h ? ? 0<x< ? . 4 2? ? 故长方体的体积为 V ( x) ? 2 x (4.5 ? 3 x) ? 9 x ? 6 x (m )( 0<x< ).
2 2 3 3

3 2

从而 V ?( x) ? 18x ?18x ? 18x(1 ? x).
2

令 V?(X) ? 0 ,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时, V?(X) >0;当 1<x<

3 时, V?(X) <0, 2

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值. 3 从而最大体积 V=3(m ) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 3 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m . 6.原题(选修 2-2 第四十五页练习第二题)改编 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽 2 车在时刻 t 的速度为 v(t)=-t +4,( 0 ? t ? 3 t) (t 的单位:h, v 的单位:km/h)则这辆车 行驶的最大位移是______km

解:当汽车行驶位移最大时,v(t)=0.又 v(t)=-t +4=0 且 0 ? t ? 3 ,则 t=2
2

2 1 16 16 2 ? s max ? ? (?t 2 ? 4)dt ? ( - t 3 ? 4t) ,故填 0 ? 0 3 3 3

7.原题(选修 2-2 第五十页习题 1.5A 组第四题)改编 解: (e
-1

?(e
-1

1

x

? 1 ? x 2)dx ? ________ ? ? 1 ? x 2 dx) ,而
0
1

?

1

x

? 1 ? x 2)dx ? 2? (e x ? 1 ? x 2)dx ? 2(e x
0

1

1 0

1

?

1

0

1 ? x 2 dx 表示单位圆 x2+y2=1 在第一象限内的部分面积,? ? 1 ? x 2 dx ?
0

?

? ? x (e ? 1 ? x 2)dx ? 2(e-1- )= 2e ? 2 ? ?? -1 2 4
1

故填 2e ? 2 ?

?
2

4

.

8.原题(选修 2-2 第五十三页例 2)改编 闭图形的面积为( )A. 3 解: 由 sin x ?
5? 6

曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 与直线 y= C. 2 -

B. 2 - 3

1 ? 5? 1 (0 ? x ? ? ) 得 x ? 或 与 , 所以曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 与直线 y= 2 6 6 2
5? 6 6

? 3

1 围成的封 2

D. 3 -

?

3

围成的封闭图形的面积

s ? ??
选D

6

1 5? ? sin xdx ? ? ( ? ) ? ? cos x 2 6 6

?

?

?
3

= ? cos

5? ? ? ? ? (? cos ) ? ? 3 ? 故 6 6 3 3
2

9.原题(选修 2-2 第五十六页例 1)改编 的面积为____________ 解:联立 ∴s ?

2 由曲线 y ? 1 ? 1 ? x , y ? ? x ? 2x 所围成图形

?

y ?1? 1? x 2 y ?? x2 ?2 x

得焦点坐标(0,0) , (1,1)
1

?
2

1

0

(? x2 ? 2 x)dx ? ? (1 ? 1 ? x2 )dx
0
1 0

? (? x
0

1

1 ? 2 x)dx ? (? x3 ? x 2 ) 3
1 0

?

2 3
1 0

? (1 ?
0

1

1 ? x2 )dx ? x 1 1 ? x 2 dx ? 1 ? ? 1 ? x 2 dx 0 ??
2 2 1 ? x 2 dx 表示单位圆 x ? y ? 1在第一象限内的部分



?
?

1

0



1

0

? 1 ? x dx = 4
2

s?


2 ? ? 1 ?1? ? ? 3 4 4 3

?
故填 4

?

1 3

f(x) = 1

1

x?x

1.4

g(x) = x?x + 2?x

1.2

1

0.8

g(x)
0.6 0.4

f(x)

0.2

2

1.5

1

0.5 0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

10.原题(选修 2-2 第七十八页练习 3)改编

设 P 是 ?ABC 内一点, ?ABC 三边上的高分别

la lb lc ? ? ? ______________; hA hB hC 类比到空间,设 P 是四面体 ABCD 内一点,四顶点到对面的距离分别是 hA 、 hB 、 hC 、 hD ,P
为 hA 、 hB 、 hC ,P 到三边的距离依次为 la 、 lb 、 lc ,则有 到这四个面的距离依次是 la 、 lb 、 lc 、 ld ,则有_________________。 解:用等面积法可得,

la S l S l S ? ?PBC ,同理 b ? ?PAC , c ? ?PAB 所以 hA S ?ABC hB S ?ABC hC S ?ABC

S S S la lb lc l l l l ? ? ? ?PBC ? ?PAC ? ?PAB ? 1,类比到空间有 a ? b ? c ? d ? 1 hA hB hC hD hA hB hC S ?ABC S ?ABC S ?ABC

A hA P la C B

11.原题(选修 2-2 第八十二页阅读与思考)改编 如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 侧棱 BB1 上一点, PM ? BB1 交 AA1 于点 M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N . (1) 求证: CC1 ? MN ; (2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理:

DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos?DFE .
拓展到空间,类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明. 解:(1) 证明:

? CC1 // BB1 ? CC1 ? PM , CC1 ? PN , ? CC1 ? 平面PMN ? CC1 ? MN ;

2 2 2 (2) 在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 S ABB ? S BCC ? S ACC ? 2S BCC1B1 ? S ACC1A1 cos? , 1A 1 1B1 1A 1

其中 ? 为平面 CC1B1B 与平面 CC1 A1 A 所成的二面角.
? CC1 ? 平面PMN , ? 上述的二面角为 ?MNP ,在 ?PMN 中,

PM 2 ? PN 2 ? MN 2 ? 2PN ? MN cos?MNP ? PM 2CC12 ? PN2CC12 ? MN 2CC12 ? 2(PN ? CC1 ) ? (MN ? CC1 ) cos?MNP ,
由于 S BCC B ? PN ? CC , S ACC A ? MN ? CC , S ABB A ? PM ? BB1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 ∴有 S ABB ? S BCC ? S ACC ? 2S BCC1B1 ? S ACC1 A1 cos? . 1A 1 1B1 1A 1

12. 原 题 ( 选 修 2-2 第 九 十 六 页 习 题 2.3A 组 第 一 题 ) 改 编

在 数 列 {an } 中 ,

1 3an ,则数列 {an } 的通项公式为____________ a1 ? , an ?1 ? 2 an ? 3
解 : 本 题 有 多 种 求 法 ,“ 归 纳 — — 猜 想 — — 证 明 ” 是 其 中 之 一

3 3 1 3 3 3 ? , a2 ? , a3 ? , a4 ? , 猜想 an ? n?5 2 6 7 8 9 3 1 ? ,猜想成立 下面用数学归纳法证明: (1)当 n=1 时, a1 ? 1? 5 2 a1 ?

ak ?1
(2)假设当 n=k 时猜想成立,则

3 3a k 3 k ?5 ? ? ? 3 ak ? 3 (k ? 1) ? 5 ?3 k ?5 3?
an ? 3 n?5
复数

当 n=k+1 时猜想也成立,综合(1) (2) ,对 n ? N 猜想都成立.故应填

?

13. 原 题 ( 选 修 2-2 第 页 习 题 一 百 一 十 二 页 习 题 3.2A 组 第 4 题 ( 4 ) )改编

1 3 2012 ( ? i) 的 共 轭 复 数 是 2 2 ( 1 3 ? ? i 2 2 A. ?
B.

)

1 3 ? i 2 2

1 3 ? i 2 C. 2

D.

1 3 ? i 2 2

1 3 2 1 3 3 3 1 ( ? i) ? ? i? ? i? 2 2 4 2 4 2 2 解:
1 3 3 1 3 3 1 3 1 ? ( ? i) ? ( ? i) ? ( i ? ) ? ? ? ? ?1 2 2 2 2 2 2 4 4 1 3 2012 1 3 3 670 1 3 2 3 1 1 3 670 ? ( ? i) ?( ( ? i)) ? ( ? i) ? (- 1 ) ( i? ) ?? ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 3 ? i 2 ,故选 B 其共轭复数为 2 ?


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