第二章 推理与证明 综合素质检测(人教A版选修1-2)

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第二章 推理与证明 综合素质检测
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.有如下一段演绎推理:“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”, 这个推理的结论显然是错误的,是因为( A.大前提错误 C.推理形式错误 [答案] C [解析] 推理形式不完全符合三段论推理的要求,故推出的结论是错误的. 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2·n(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2、a3、a4,猜想 an a =( ) 2 A. (n+1)2 2 C. n 2 -1 [答案] B [解析] 考查归纳推理. 1 a2=S2-S1=22a2-1∴a2= 3 1 a3=S3-S2=32·3-22·2=9a3-4× a a 3 1 ∴a3= 6 1 a4=S4-S3=42·4-32a3=16a4-9× a 6 1 ∴a4= 10 2 由此猜想 an= n(n+1) 3.观察数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,?的特点,问第 100 项为( A.10 C.13 [答案] B [解析] 设 n∈N*,则数字 n 共有 n 个 B.14 D.100 ) 2 B. n(n+1) 2 D. 2n-1 )

B.小前提错误 D.非以上错误

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n(n+1) 所以 ≤100 即 n(n+1)≤200, 2 13×14 又因为 n∈N*,所以 n=13,到第 13 个 13 时共有 =91 项,从第 92 项开始为 14, 2 故第 100 项为 14. 4.如果 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点,那么( A.F=0,D≠0,E≠0 C.D=0,F=0,E≠0 [答案] C [解析] ∵圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切于原点, ∴圆过原点,F=0,又圆心在 y 轴上,∴D=0,E≠0. 5.已知 a<b<0,下列不等式中成立的是( A.a2<b2 C.a<4-b [答案] C [解析] ∵a<b<0,∴-b>0,4-b>4,∴a<4-b. 6.已知 f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),f4(x)=f3′(x),?,fn(x)=fn-1′(x), 则 f2011(x)等于( A.sinx C.cosx [答案] D [解析] 由已知, f1(x)=cosx,2(x)=-sinx,3(x)=-cosx,4(x)=sinx,5(x)=cosx, 有 f f f f ?, 可以归纳出: f4n(x)=sinx, 4n+1(x)=cosx, 4n+2(x)=-sinx, 4n+3(x)=-cosx(n∈N*). f f f 所以 f2011(x)=f3(x) =-cosx. 7.已知数列{an}满足 a1=0,an+1= A.0 C. 3 [答案] B 0- 3 - 3- 3 [解析] a2= =- 3,a3= = 3,a4=0,所以此数列具有周期性,0, 0+1 - 3· 3+1 - 3, 3依次重复出现.
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)

B.E=0,F=0,D≠0 D.D=0,E=0,F≠0

)

a B. <1 b 1 1 D. < a b

) B.-sinx D.-cosx

an- 3 (n∈N*),则 a20 等于( 3an+1

)

B.- 3 D. 3 2

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因为 20=3×6+2,所以 a20=- 3. 8.已知 1+2×3+3×32+4×32+?+n×3n 1=3n(na-b)+c 对一切 n∈N*都成立,那 么 a,b,c 的值为( 1 1 A.a= ,b=c= 2 4 1 B.a=b=c= 4 1 C.a=0,b=c= 4 D.不存在这样的 a,b,c [答案] A )


?3(a-b)+c=1, ? [解析] 令 n=1,2,3,得?9(2a-b)+c=7, ?27(3a-b)+c=34. ?
1 1 所以 a= ,b=c= . 2 4 9.已知 f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且 a+b>0,a+c>0,b+c>0,则 f(a)+f(b)+f(c)的 值( ) A.一定大于零 C.一定小于零 [答案] A [解析] f(x)=x3+x 是奇函数,且在 R 上是增函数, 由 a+b>0 得 a>-b, 所以 f(a)>f(-b),即 f(a)+f(b)>0, 同理 f(a)+f(c)>0,f(b)+f(c)>0,所以 f(a)+f(b)+f(c)>0. 10.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那 么 a、b、c 中至少有一个是偶数”,下列各假设中正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 中至多有一个是偶数 D.假设 a,b,c 中至多有两个偶数 [答案] B [解析] 对命题的结论“a,b,c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设 a,b, c 都不是偶数”.因为“至少有一个”即有一个、两个或三个,因此它的否定应是“都不 是”. ) B.一定等于零 D.正负都有可能

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1 11.已知数列{an}的通项公式 an= (n∈N*),记 f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)?(1- (n+1)2 an),通过计算 f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值,由此猜想 f(n)=( n+2 A. 2(n+1) 2n-1 C. (n+1)2 [答案] A sinA cosB cosC 12.若 = = ,则△ABC 是( a b c A.等边三角形 B.有一个内角是 30° 的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一个内角是 30° 的等腰三角形 [答案] C sinA cosB cosC [解析] ∵ = = ,由正弦定理得, a b c sinA sinB sinC sinB cosB cosC sinC = = ,∴ = = = , a b c b b c c ∴sinB=cosB,sinC=cosC,∴∠B=∠C=45° , ∴△ABC 是等腰直角三角形. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13.对于“求证函数 f(x)=-x3 在 R 上是减函数”,用“三段论”可表示为:大前提是 “对于定义域为 D 的函数 f(x),若对任意 x1,x2∈D 且 x2-x1>0,有 f(x2)-f(x1)<0,则函数 f(x)在 D 上是减函数”,小前提是“ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________”, 结论是“f(x)=-x3 在 R 上是减函数”. [答案] 对于任意 x1,x2∈R 且 x2-x1>0,有 f(x2)-f(x1)=-x3+x3=-(x2-x1)(x2+x1x2 2 1 2 x1 3 2 ? +x1)=-(x2-x1)·?x2+ 2 ?2+4x2?<0 1 ? ? ) n+2 B. 4n n+1 D. n(n+1) )

?

?

→ 1 → → 14.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,则AD= (AB+AC).将上述命题类比到四面体中 2 去,得到一个类比命题: ________________________________________________________________________. → 1 → → → [答案] 在四面体 A-BCD 中,G 为△BCD 的重心,则AG= (AB+AC+AD) 3
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1 3an 15.已知数列{an},a1= ,an+1= ,则 a2、a3、a4、a5 分别为________,猜想 an 2 an+3 =________. [答案] 3 3 3 3 3 , , , , . 7 8 9 10 n+5

π π 16.已知函数 f(x)=x2-cosx,对于?-2,2?上的任意 x1,x2,有如下条件: ? ? ①x1>x2;②x2>x2;③|x1|>x2. 1 2 其中能使 f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是______. [答案] ② π [解析] 易知函数 f(x)是偶函数,且在?0,2?上是增函数,故能使 f(x1)>f(x2)恒成立的条 ? ? 件只有②x2>x2. 1 2 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)已知:a、b、c∈R,且 a+b+c=1. 1 求证:a2+b2+c2≥ . 3 [解析] 证明:由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. 三式相加得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. ∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2. 由 a+b+c=1,得 3(a2+b2+c2)≥1, 1 即 a2+b2+c2≥ . 3 18.(本题满分 12 分)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,若 cn=an+bn,请证 明数列{cn}不是等比数列. [证明] 假设数列{cn}是等比数列,则 (an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).① 因为{an},{bn}是等比数列,设公比分别为 p,q,则有
2 a2=an-1·n+1,bn=bn-1·n+1.② a b n

整理①式,并将②代入得 2anbn=an+1bn-1+an-1bn+1. bn an p q 所以 2anbn=anp· + ·nq,即 2= + . b q p q p p q 因为 p≠q,所以 + ≠2,得出矛盾,所以假设不成立. q p 故数列{cn}不是等比数列. 1 1 19.(本题满分 12 分)若 x>0,y>0,用分析法证明:(x2+y2) >(x3+y3) . 2 3
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1 1 [证明] 要证(x2+y2) >(x3+y3) , 2 3 只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2,

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即证 x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6, 即证 3x4y2+3y4x2>2x3y3. 又因为 x>0,y>0,所以 x2y2>0, 故只需证 3x2+3y2>2xy. 而 3x2+3y2>x2+y2≥2xy 成立, 1 1 所以(x2+y2) >(x3+y3) 成立. 2 3 20.(本题满分 12 分)证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论. π 2cos = 2, 4 π 2cos = 2+ 2, 8 π 2cos = 2+ 2+ 2, 16 ?? π 2 [证明] 2cos =2· = 2 4 2 π 2cos =2 8 1+ =2· 2 π 1+cos 4 2 2 2

= 2+ 2

π 2cos =2 16

π 1+cos 8 2

=2

1 1+ 2+ 2 2 2

= 2+ 2+ 2 ? π 2cos n+1= 2 2+ 2+ 2+? 个根号
n

21.(本题满分 12 分)已知数列{an}满足 a1=3,an·n-1=2·n-1-1. a a (1)求 a2,a3,a4;
? 1 ? (2)求证:数列?a -1?是等差数列,并求出数列{an}的通项公式. ? n ? 第 6 页 共 7 页

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[解析] (1)由 an·n-1=2·n-1-1 得 a a an=2- 1 , an-1

代入 a1=3,n 依次取值 2,3,4,得 1 5 3 7 5 9 a2=2- = ,a3=2- = ,a4=2- = . 3 3 5 5 7 7 (2)证明:由 an·n-1=2·n-1-1 变形,得 a a (an-1)· n-1-1)=-(an-1)+(an-1-1), (a 即 1 1 - =1, an-1 an-1-1

1 所以{ }是等差数列. an-1 由 1 1 1 1 2 = ,所以 = +n-1,变形得 an-1= , a1-1 2 an-1 2 2n-1

2n+1 所以 an= 为数列{an}的通项公式. 2n-1 22.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)对任意实数 a、b 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数. (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3. [解析] (1)证明:设任意 x1,x2∈R,且 x2>x1, 则有 x2-x1>0,利用已知条件“当 x>0 时,f(x)>1”得 f(x2-x1)>1, 而 f(x2)-f(x1) =f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0, 即 f(x2)>f(x1), 所以 f(x)是 R 上的增函数. (2)由于 f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以 f(2)=3. 由 f(3m2-m-2)<3 得 f(3m2-m-2)<f(2). 由 f(x)是 R 上的增函数,得 3m2-m-2<2, 4 解得-1<m< . 3

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