【创新设计】(江西专用)高考数学二轮复习 补偿练3 函数与导数二 理

补偿练3
一、选择题

函数与导数



(建议用时:40 分钟)

1.下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的是 A.y=x
2

(

).

B.y=2

|x|

1 C.y=log2 |x|
2

D.y=sin x
|x|

解析 函数 y=x 在(-∞,0)上是减函数;函数 y=2 在(-∞,0)上是减函数;函数

y=log2

1 =-log2|x|是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数;函数 y=sin x 不是偶函 |x|

数,综上所述,选 C. 答案 C 2.曲线 f(x)=x (x-2)+1 在点(1,f(1))处的切线方程为 A.x+2y-1=0 C.x-y+1=0 解析 ∵f(x)=x -2x +1, ∴f′(x)=3x -4x, ∴f′(1)=-1, 又 f(1)=1-2+1=0, ∴所求切线方程为 y=-(x-1), 即 x+y-1=0. 答案 D 3.已知幂函数 f(x)的图象经过(9,3),则 f(2)-f(1)= A.3 C. 2-1 B.1- 2 D.1 ( ).
2 3 2 2

(

).

B.2x+y-1=0 D.x+y-1=0

1 α α 2α 解析 设幂函数为 f(x)=x , 则 f(9)=9 =3, 即 3 =3, 所以 2α =1, α = , 即 f(x) 2 =x = x,所以 f(2)-f(1)= 2-1. 答案 C 4.设 a=log32,b=log23,c=log15,则
2

(

).

A.c<b<a C.c<a<b

B.a<c<b D.b<c<a

1 -2 解析 ∵0<log32<1,1<log23<log24=2,c=log15<log14=log1( ) =-2<0,∴c 2 2 2 2

<a<b. 答案 C 1 5.已知函数 f(x)=sin x+1,则 f(lg2)+f(lg )= 2 A.-1 C.1 B.0 D.2 ( ).

解析

f = +1, ? ? 因 为 ? ? 1? ? 1? f?lg ?=sin?lg ?+1, ? ? 2? ? ? 2?

? 1? 所 以 f(lg2) + f ?lg ? = sin(lg2) + ? 2?

? 1? sin?lg ?+2, ? 2?
1 而 y=sinx 是奇函数,lg =-lg 2, 2

? 1? 所以 f(lg2)+f?lg ?=2. ? 2?
答案 D 6.函数 f(x)=ax -(a-1)x-3 在区间[-1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ( 1? ? A.?-∞, ? 3? ? ).
2

B.(-∞,0]

? 1? C.?0, ? ? 3?

? 1? D.?0, ? ? 3?
解得 0

a>0, ? ? 解析 当 a=0 时,f(x)=x-3 符合题意;当 a≠0 时,由题意?a-1 ≤-1, ? ? 2a
1 ? 1? <a≤ ,综上 a∈?0, ?. 3 ? 3? 答案 D 7.若函数 f(x)= x +ax+1的定义域为实数集 R,则实数 a 的取值范围为 ( A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,2] 解析 依题意 x +ax+1≥0 对 x∈R 恒成立, ∴Δ =a -4≤0,∴-2≤a≤2. 答案 D
2 2 2

).

8.已知函数 f(x)=x -ax+3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)=x -alnx 在(1,2)上为增函 数,则 a 的值等于 A.1 C.0
2

2

2

( B.2 D. 2

).

解析 ∵函数 f(x)=x -ax+3 在(0,1)上为减函数, ∴ ≥1, 得 a≥2.又∵g′(x)=2x- , 依题意 g′(x)≥0 在 x∈(1,2)上恒成立, 得 2x ≥a 2 x 在 x∈(1,2)上恒成立,有 a≤2,∴a=2. 答案 B 1 3 2 2 9.下列四个图象中,有一个是函数 f(x)= x +ax +(a -4)x+1(a∈R,a≠0)的导函数 y 3 =f′(x)的图象,则 f(1)= ( ).

a

a

2

A.

10 3

4 B. 3 D.1

2 C.- 3

1 3 2 2 解析 f(x)= x +ax +(a -4)x+1(a∈R, a≠0), f′(x)=x2+2ax+(a2-4), 由 a≠0, 3 结合导函数 y=f′(x),知导函数图象为③,从而可知 a -4=0,解得 a=-2 或 a=2, 1 3 2 2 再结合-a>0 知 a=-2,代入可得函数 f(x)= x +(-2)x +1,可得 f(1)=- . 3 3 答案 C 10.某公司在甲乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15x 和 L2 =2x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大 利润为 A.45.606 C.45.56 解析
2 2 2

( B.45.6 D.45.51

).

设在甲地销售 x 辆车,则在乙地销售(15-x)辆车,获得的利润为 y=5.06x-
2

0.15x +2(15-x)=-0.15x +3.06x+30.当 x=-

3.06 -

=10.2 时,y 最大,

但 x∈N,所以当 x=10 时,ymax=-15+30.6+30=45.6. 答案 B

11.f(x)=2sin π x-x+1 的零点个数为 A.4 C.6 B.5 D.7

(

).

解析 令 2sin π x-x+1=0, 则 2sin π x=x-1, 令 h(x)=2sin π x, g(x)=x-1, 则 f(x)=2sin π x-x+1 的零点个数问题转化为两个函数 h(x)与 g(x)图象的交点个 2π 数问题.h(x)=2sin π x 的最小正周期为 T= =2,画出两个函数的图象,如图所 π

?5? ?5? 示,∵h(1)=g(1),h? ?>g? ?,g(4)=3>2,g(-1)=-2,∴两个函数图象的交点一 ?2? ?2?
共有 5 个,∴f(x)=2sin π x-x+1 的零点个数为 5.

答案 B 12.已知函数 y=f(x)是 R 上的可导函数,当 x≠0 时,有 f′(x)+ 1 =xf(x)+ 的零点个数是

f x >0,则函数 F(x) x
( ).

x

A.0 C.2

B.1 D.3

解析 依题意, 记 g(x)=xf(x), 则 g′(x)=xf′(x)+f(x), g(0)=0, 当 x>0 时, g′(x) =x?f +

? ?

f x ? x + >0,g(x)是增函数,g(x)>0;当 x<0 时,g′(x)=x[f′(x) x ? ?

f x 1 ]<0,g(x)是减函数,g(x)>0.在同一坐标系内画出函数 y=g(x)与 y=- 的 x x x

1 大致图象,结合图象可知,它们共有 1 个公共点,因此函数 F(x)=xf(x)+ 的零点个数 是 1. 答案 B 二、填空题 13.函数 f(x)= 1-

x-

的定义域为__________. (x-2)≤1,∴0<x-2≤10,∴2<x≤12,∴f(x)

解析 ∵1-lg (x-2)≥0,∴lg

= 1- 答案 (2,12]

x-

的定义域为(2,12].

14.若 loga2=m,loga3=n,则 a
m n

2m+n

=__________.
2m+n

解析 由题意 a =2,a =3,所以 a 答案 12

=(a ) ·a =2 ×3=12.

m 2

n

2

15.若函数 f(x)=x -6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是_____. 解析 f′(x)=3x -6b,若 f(x)在(0,1)内有极小值,只需 f′(0)·f′(1)<0,即- 1 6b·(3-6b)<0,解得 0<b< . 2 1 答案 (0, ) 2
? ?log2x,x>0, 16.设函数 f(x)=? x ?4 ,x≤0, ?
2

3

则 f[f(-1)]=________;若函数 g(x)=f(x)-k 存

在两个零点,则实数 k 的取值范围是________. 1 1 -1 解析 f[f(-1)]=f(4 )=f( )=log2 =-2.令 f(x)-k=0, 即 f(x)=k, 设 y=f(x), 4 4

y=k,画出图象,如图所示,函数 g(x)=f(x)-k 存在两个零点,即 y=f(x)与 y=k
的图象有两个交点,由图象可得实数 k 的取值范围为(0,1].

答案 -2 (0,1]


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