2013高中新课程数学必修四课件1.3.2.4《正切函数的性质与图象》_图文

? 第4课时 正切函数的性质与图象
【课标要求】 1.会用正切线画正切函数图象. 2.掌握正切函数的图象,理解并掌握它们的周期性. 3.奇偶性、单调性、值域等相关性质. 【核心扫描】 1.正切函数的图象.(重点) 2.正切函数的性质及应用.(难点)

自学导引

正切函数 y=tan x 的性质

(1)定义域是

?????x???x≠π2+kπ,k∈Z

?? ? ??

.

(2)值域是 (-∞,+∞) .

(3)正切函数是 周期 函数,其最小正周期为 π .

(4)正切函数是 奇函数 ,它的图象关于 原点 对称.

(5)在每一个开区间???-π2+kπ,π2+kπ???,k∈Z,上都是 增函数 .

试一试:结合正切函数的图象,判断正切函数有怎样的对称 性?
提示 正切函数的图象是中心对称图形,对称中心是???k2π,0???, 不是轴对称图形.

想一想:能否说正切函数在其定义域内是单调增函数? 提示 不能,函数的单调性是相对于某一区间而言的,虽然 y =tan x,x≠π2+kπ,k∈Z 在每一个区间???-π2+kπ,π2+kπ???,k∈Z 上是单调增函数,但并不能说在整个定义域上是单调递增函数, 如虽然34π>π4,但 tan 34π=-1<tan π4=1.

名师点睛 1.正切函数的图象 如果画函数 y=tan x,x∈???-π2,π2???上的简图时,可采用三点两 线法,即可以先描三点???-π4,-1???,(0,0),???π4,1???,再画两条平行 线 x=-π2,x=π2,然后连线,这两条线实质是正切函数图象的两 条渐近线.正切曲线是被互相平行的直线 x=kπ+π2(k∈Z)所隔开 的无穷多支曲线组成的.

2.正切函数的性质 (1)值域为 R,tan x 可以取任何实数值,但没有最大值和最小 值.称直线 x=kπ+π2,k∈Z 为正切函数的渐近线. (2)单调性:由正切函数的图象可知,正切函数在开区间 ???-π2+kπ,π2+kπ???,k∈Z 内都是增函数,也可以从单位圆上的正切 线来考虑.但是我们不能说正切函数在整个定义域上是增函数.

题型一 求定义域 【例 1】 求下列函数的定义域: (1)y=1+1tan x;(2)y=lg( 3-tan x). [思路探索] 属于求使式子有意义的 x 的值.



(1)要使函数

y=1+1tan

有意义, x

只需?????1x≠+ktaπn+x≠π2?k0∈Z?. ∴函数的定义域为

?????x???x∈R且x≠kπ-π4,x≠kπ+π2,k∈Z

??
?.
??

(2)∵ 3-tan x>0,∴tan x< 3, 又∵tan x= 3时,x=π3+kπ(k∈Z), 根据正切函数图象,得 kπ-2π<x<kπ+π3(k∈Z), ∴定义域是???x|kπ-π2<x<kπ+π3,k∈Z???. 规律方法 求与三角函数有关的函数的定义域,对于自变量 x 需满足①使三角函数有意义;②使函数式有意义,可利用三角函 数的图象或三角函数线得解集.

【变式 1】

求函数

y=

tan x-1 tan???x+π6???

的定义域.

解 由题意得

?tan x≥1 ???tan???x+π6???≠0 ??x+π6≠kπ+π2 ???x≠kπ+π2

???kπ+π4≤x<kπ+π2 ??????xx+ ≠π6kx≠+kπ3π
???x≠kπ+π2

???kx+4π≤x<kπ+π2, ????x≠kπ-π6,
???x≠kπ+π3,

所以定义域为

???kπ+4π,kπ+π3???∪???kπ+π3,kπ+π2??? (k∈Z).

题型二 正切函数的性质 【例 2】 求函数 y=tan???π4-2x???的定义域、周期和单调区间. [思路探索] 将 x 前的系数化为正数,利用正切函数的性质求 解.

解 将 y=tan???π4-2x???化为 y=-tan???2x-π4???,于是由 2x-4π≠kπ

+π2(k∈Z)得 x≠k2π+38π(k∈Z),

即所求定义域为?????x???x≠k2π+38π,k∈Z

??
?.
??

函数的周期为 T=π2.

由 kπ-2π<2x-π4<kπ+π2(k∈Z)得

k2π-8π<x<k2π+38π(k∈Z),

所以函数的单调递减区间为???k2π-8π,k2π+38π???(k∈Z).

规律方法 对于函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),当 x 前面的系 数 ω 为负数时,应通过诱导公式将 x 前面的系数化为正数;求函 数 f(x)=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的定义域就是求不等式 ωx+φ≠kπ+π2 的解集;求函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的周期,只要利用公式 T =|ωπ |就可以了;当 A>0,ω>0 时,解不等式 kπ-π2<ωx+φ<kπ+π2 (k∈Z)可得函数 f(x)=Atan(ωx+φ)的单调递增区间,当 A<0,ω<0 时,解不等式 kπ-2π<ωπ+φ<kπ+2π(k∈Z)可得函数 f(x)=Atan(ωx +φ)的单调递减区间.

【变式 2】 求函数 y=tan???x2-π3???的定义域与单调区间. 解 2x-π3≠π2+kπ,解得 x≠53π+2kπ(k∈Z),所以定义域为

??
?x
??

|x≠53π+2kπ,k∈Z

???.由
??

kπ-π2<2x-π3<kπ+π2,得:2kπ-π3<x<2kπ

+53π,k∈Z 所以函数的单调递增区间为???2kπ-3π,2kπ+53π???,k∈Z.

题型三 正切函数性质的应用 【例 3】(1)利用正切函数的单调性比较 tan???-75π???与 tan???-127π??? 的大小; (2)已知 f(x)=asin x+b tan x+1 满足 f???π5???=7,求 f???995π???的值. 审题指导 综合考查正切函数的单调性,奇偶性,以及诱导公 式. 【解题流程】

[规范解答] (1)因为 tan???-75π???=tan???-π-25π??? =tan???-25π???,tan???-127π???=tan???-2π+27π???=tan27π. 显然-π2<-25π<27π<π2, 由于函数 y=tan x 在???-π2,π2???上是增函数,(4 分) 所以 tan???-25π???<tan27π,即 tan???-75π???<tan ???-127π???(7 分)

(2)由已知得,f???π5???=asin π5+btan 5π+1=7, 即 asin 5π+btan π5=6.(10 分) 于是 f???995π???=asin995π+btan995π+1 =asin???20π-π5???+btan???20π-π5???+1 =-asin5π-btan π5+1=-6+1=-5.(14 分)

【题后反思】 比较两个正切函数值的大小,只需将这两个角 的三角函数通过诱导公式转化到同一个单调区间内,再利用单调 性即可.解答第(2)小题,巧妙利用了正弦函数和正切函数的奇偶 性.

【变式 3】 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大 小:
(1)tan???-65π???与 tan???-173π???; (2)tan 2 与 tan 9.

解 (1)∵tan???-65π???=tan???-π-π5???=tan???-π5???, tan???-173π???=tan???-2π+π7???=tan π7, 又函数 y=tan x 在???-π2,π2???上是增函数, 而-π2<-π5<7π<π2. ∴tan???-π5???<tanπ7,即 tan???-65π???<tan???-173π???.

(2)∵tan 9=tan(9-2π),而π2<2<9-2π<π. 由于函数 y=tan x 在???π2,π???上是增函数, ∴tan 2<tan(9-2π),即 tan 2<tan 9.

误区警示 忽视正切函数自身的定义域而出错

【示例】

求函数

y=1-1tan

的定义域. x

[错解]

要使函数

y=1-1tan

有意义,只需 x

1-tanx≠0,即

tan

x≠1,∴x≠kπ+π4,k∈Z.

∴函数的定义域为???x
??

|x≠kπ+π4,k∈Z

??
?.
??

求定义域时未注意正切函数自身的限制条件.

[正解]

要使函数

y=1-1tan

有意义 x

则需?????1x≠-ktaπn+x≠π2,0k∈Z ∴函数的定义域为

?????x???x∈R,x≠kπ+π2,且x≠kπ+π4,k∈Z

??
?.
??

在与正切函数有关的函数的定义域问题中,除函数

的限制条件外,还要注意正切函数自身的限制条件即

?????x???x≠kπ+π2,k∈Z

??
?.
??

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