三角形各种心的性质归纳

.
三角形各种心的性质研究

一、基础知识

三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心.三角形的心是三角形的重要几何点.在数学竞赛中,有关三角形

的心的几何问题是竞赛的热点问题,因此,我们对三角形的心的几何性质做概括归纳,对有关的证明方法和解题技 巧做深入探讨.

1.重心:设 G 是 ?ABC的重心, AG 的延长线交 BC 于 D ,则, (1)BD ? DC , ( 2) AG : AD ? 2 : 3 ;

(3) AD 2

?

2 AB 2

? 2 AC 2 4

? BC 2

,(4) S?GBC

?

S ?ABC 3



2.外心:设⊙ O ( R )是 ?ABC的外接圆, OD?BC 于 D 交⊙ O 于 E ,则

(1) OA ? OB ? OC ? R;(2) ?BOC ? 2?A 或 2(180 0 ? ?A) ;

(3) BD ? DC


BE=


EC ;(4) S?ABC

?

abc 4R

?

2R sin

Asin

B sin C

(正弦定理)

3.内心:设 ?ABC的内心圆⊙ I( r) 切边 AB 于 P ,AI 的延长线交外接圆于 D ,则

(1)?BIC ? 90? ? 1 ?A ; 2

(2)

AP

?

r cot 1 ?A 2

?

b

?c? 2

a

?

1 (a 2

? b ? c)

?

a ;(3) DB

?

DI

?

DC ;(4) S?ABC

?

r(a

?b 2

?

c)

;

4.垂心:设 O,G, H 分别是 ?ABC的外心,重心,垂心, OD?BC 于 D , AH 的延长线交外接圆于 H1 ,则,(1)

AH ? 2OD;(2)H 与 H1 关于 BC 成轴对称;(3)⊙ BCH ? ⊙ ABC;(4)O,G, H, 三点共线,且 OG : GH ? 1: 2;

5.旁心:设

?ABC在 ?A 内的旁切圆⊙

I1

( r1 )



AB 的延长线切于

P1

,则,(1) ?BI1C

?

900

?

1 2

?A



(2)

AP1

?

r1ctg

?A 2

?

a?b?c 2

;(3) BP1

?

a

?

b 2

?

c

;(4)

?A

I1

B

?

?C 2

;(5) S?ABC

?

r1 (b ? c 2

? a)

6.三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系

在△ ABC中,内切圆⊙ O 分别与三边相切于点 M , K L ,BC 边上的帝切圆⊙ Oa 与 BC 边切于点 H ,且分别与 AB

边和 AC 这的延长线相切于点 Q 、点 P .设三边 BC 、 CA 、 AB 分别为 a,b, c , ?A, ?B, ?C 分别为? , ? ,? ,

p

?

1 2

(a

?

b

?

c)

,内切圆半径为

r

,旁切圆半径分别为

ra

, rb , rc

,外接圆半径为

R

,三角形面积为

S?

,则有如下

关系式:(1) AP ?

p , AK

?

p ? a , LH

? b ? c ;(2) ra

?

rp p?a

;(3)直角三角形斜边上的旁切圆的半径等

于三角形周长的一半;(4) ra

? 1 ( p ? b)( p ? c) ;(5) 1

r

ra

?

1? 1 r rb

?1 rc

;(6) ra

?

r tan ? ? tan ?

22

7.界心 如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线,

E A

那么就称这一点为三角形的周界中点.其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的

围.由于三角形的任意两边之和大于第三边,可知三角形任一边上的周界中点必介于这

边两端点之间.

O

M

三角形的顶点与其对边的周界中点的连线,叫三角形的周界中线(有时也称周界中

I

线所在直线为三角形的周界中线).三角形的周界中线交于一点.

定义:称三角形的周界中线的交点为三角形的界心.

B

C

二、例题分析

F

例 1.设△ ABC的外接圆 O 的半径为 R ,内心为 I ,?B ? 60? ,?A ? ?C ,?A 的外角平分线交圆 O 于 E ,

.

.
证明:(1) IO ? AE ;(2) 2R ? IO ? IA ? IC ? (1 ? 3)R .

【证明】(1)延长 BI 交外接圆于 M ,连结 OA,OM, Am ,易知 ?AOM ? ?B ? 60?,故△ AOM 为正三角形, ∴ OM ? OA ? AM ? CM .易证 ?MIA? ?MAI ,∴ MA ? MI . 同理, MC ? MI ,即 A,O, I,C 在以 M 为圆心, R 为半径的圆上,


设 AI 的延长线交 BC 于 F ,则 AF 、 AE 分别为 ?A 的内、外角平分线, ?EAF ? 90? ,即 EF 为⊙ O 的直

径,∴ ?OAI ? ?OFI ? 1 ?AOE. 2

又在⊙ M 中, ?OAI ? 1 ?OMI ,∴ ?AOE ? ?OMI ,但⊙ M 与⊙ O 为等圆,故 AE ? OI . 2

(2)连接 FC ,同上易证 IF ? FC ,又 ?IFC ? ?ABC ? 60?,∴△ IFC为等边三角形, IC ? IF

∵ ?AFE ? 1 ?AOE ? 1 ?OMI ? 1 (?AMI ? ?AMO) ? 1 (?C ? 60?) ,记 ?AFE为?

2

2

2

2

∴ IO ? IA? IC ? AE ? IA? AF ? AE ? AF ? 2Rsin? ? 2R cos? ? 2R(sin? ? cos? )

? 2 2R sin(? ? 45?) ? 2 2R sin(C ?15?) 2

由 ?A ? ?C 知, 60? ? ?C ? 120? ,从而有 30? ? 1 ?C ? 60? ,即 45? ? 1 ?C ?15? ? 75?

2

2

∴ 2 2R sin 45? ? IO ? IA ? IC ? 2 2R sin 75? ,又 sin 75? ? 2 ? 6 , 4

故 2R ? IO ? IA ? IC ? (1 ? 3)R .

例 2 . 锐 角 △ ABC 的 外 心 为 O , 线 段 OA, BC 的 中 点 分 别 为 M 、 N . ,

?ABC ? 4?OMN?A CB? 6?OMN.求 ?OMN .

【解】设 ?OMN ? ? ,则 ?ABC ? 4? , ?ACB ? 6? , ?BAC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180? ?10?

又 ?NOC ? 1 ?BOC ? ?BAC ? 180? ?10? ; ?MOC ? ?AOC ? 2?ABC ? 8?
2 从而 ?MON ? 8? ? (180? ?10? ) ? 180? ? 2?

A
M O

?ONM ? 180? ? (?MON ? ?OMN) ? 180? ? (180? ? 2? ?? ) ? ? ? ?OMN

B

N

C

即 ?OMN 为等腰三角形, ON ? OM ? 1 OA ? 1 OC

2

2

A

∵ ?ONC ? 90?,∴ ?NOC ? 60?,

又∵ ?NOC ?180? ?10? ,∴ ?OMN ?? ?12?

例 3.如图 O, I 分别为△ ABC的外心和内心, AD是 BC 边上的高。 I 在线段 OD

O I

求证:△ ABC的外接圆半径等于 BC 边上的旁切圆半径。

BD

C

证明(1)记 AB ? c, BC ? a,CA ? b ,设 AI 的延长线交△ ABC的外接圆 O 于 K ,则 OK

是圆 O 的半径,记为 R ,因为 OK ⊥ BC ,所以 OK ∥ AD,从而

K

.

.

AI ? c sin B ? 2sin B sin C

(1)

IK R

?ABI = ?IBC ? B , ?CBK = ?CAK ? A ,∠ AKB =∠ ACB ? ?C ,

2

2

∠ BAK ? A ,所以 AI ? S?ABI ?

1 AB ? BI ? sin B

2

2

?

AB

?

sin

B 2

?

sin C

sin B ?2

2sin B sin C

?

22

2

IK S?KBI 1 ? BK ? BI ? sin A ? B BK cos C sin A cos C

sin A

2

2

2

22

2

由(1)、(2)得 2sin

B sin C

?

2 s in

B sin 2

C 2

,所以 4sin

A cos B cosC

?1

sin A

222

2

设△

ABC



BC

边上的旁切圆半径为

ra

,则

1 2

bc

sin

A

?

S ?ABC

?

1 2

ra

(b

?

c

?

a)



(2)

所以 ra

?

bcsin A b?c?a

?

2R ? sin Asin B sin C sin B ? sin C ? sin

A

?

2 sin

B?C

2R sin Asin B sin C cos B ? C ? 2 sin B ? C

cos B ? C

2

2

2

2

? R sin Asin B sin C ? 4R sin A cos B cos C ? R ,

sin B ? C ? 2 sin B sin C

222

2

22

即△ ABC的外接半径等于 BC 边上的旁切圆半径。

证明(2)记 AB ? c, BC ? a,CA ? b ,△ ABC的 BC 边上的旁切圆半径为 ra ,△ ABC的 BC 边上的高为 ha ,设

AI 交 BC 于 P ,交外接圆于 K ,连 BK ,OK ⊥ BC ,OK ? R ,PC ? ab , BK ? IK ,△ AKB ∽△ ACP , b?c

又由 AD⊥ BC ,知 OK ∥ AD,有 AD ? AI ,即 AD ? OK ? AK ? AK ,但△ AKB ∽△ ACP ,有

OK IK

OK

IK BK

AK ? AC ? BK PC

b ab

?

b

? a

c

,代入上式,得

ha

? R

R

?

b

? a

c



R

?

b

aha ?c?

a

?

2S ?ABC b?c?a

?

ra

b?c 即△ ABC的外接半径等于 BC 边上的旁切圆半径。

证明(3) AB ? c, BC ? a,CA ? b ,△ ABC的 BC 边上的旁切圆半径为 ra ,△ ABC的外 A

接半径 R ,作 II1 ⊥ BC 于 I1 , OO1 ⊥ BC 于 O1 。 ∵∠ OAC = 180 ? ?∠ AOC ? 90 0 ?∠ ABC ?∠BAD
2 ∴∠DAI ? ∠OAI ,∴ AD ? DI ? DI1 。
AO IO I1O1

O

I

B

C

D I1 O1

DI1

?

BI1

? BD ?

a?c?b 2

? c ? cosB

?

a?c?b 2

?

a2

? b2 ? c2 2a

?

(b ? c)(b ? c ? a) 2a

I1O1

?

BO1

?

BI1

?

a 2

?

a

?c 2

?

b

?

b

? 2

c



∴ AD ? b ? c ? a , R ? AO ? AD ? a ? 2S?ABC

AO a

b?c?a b?c?a

又 S?ABC

?

1 2

ra (b

?

c

? a) ,∴ R

?

ra (b ? c ? a) b?c?a

?

ra



证明(4)记 AB ? c, BC ? a,CA ? b ,设 AI 的延长线交△ ABC 的外接圆 O 于 K ,连 OK 交 BC 于 O1 ,则 OK ⊥ BC ,作 II1 ⊥ BC 于 I1 ,则 AD∥ II1 ∥ OK ,由 D, I , O 三点共线,

.

.

∴ DI 1 I1O1

?

DI IO

?

AD OK

,∵ DI1

?

BI1

? BD ?

a?c?b 2

? c ? cosB

?

a?c?b 2

?

a2

? b2 ? c2 2a

?

(b ? c)(b ? c ? a) 2a

I1O1

?

BO1

? BI1

?

a 2

?

a?c?b 2

?

b?c 2

,∴ b ? c ? a a

?

AD , R

A

故R

?

AD? a b?c?a

?

2S ?ABC b?c?a

,又 S?ABC

?

1 2

ra (b

?

c

? a) ,∴ R

?

ra (b ? c ? a) b?c?a

?

ra



证明(5)连 AI 并延长交△ ABC的外接圆 O 于 K ,设 O? 旁切圆圆心,则 O? 在 AK 的 延长线上,连 OK ,过 O? 作 O?M ⊥ BC 于 M 。连 OM ,MK ,BI ,CI ,O?B ,O?C , 则 OK , O?M 分 别 为 外 接 圆 半 径 及 旁 切 圆 半 径 。 又 B, I ,C,O? 四 点 共 圆 。 B BK ? IK ? CK ,设 K 为 BICO? 的外接圆的圆心,即 IK ? O?K 。

O
I C

又 AP? PK ? BP? PC ? IP? O?P ,∴ PK ? O?P ,又 AD∥ O?M ,

K

IP AP

∴ PK ? O?P ? MP ,∴ MK ∥ ID,∠ PMK =∠ IDP,而 D, I ,O 共线,OK ⊥ BC ,O?M ⊥ BC ,∴ OK ∥ O?M , IP AP DP

故∠ IOK =∠ KMO? ,∠ OKI =∠ MO?K , IK ? O?K ,∴ ?OIK ? ?MKO?,故 OK = O?M ,即 R ? ra

例 4.设 M 是△ ABC的 AB 边上作一内点, r1, r2 , r 分别是△ AMC 、△ BMC、

C

△ ABC的内切圆半径; q1, q2 , q 分别是这些三角形在 ?ACM 、 ?BCM 、 ?ACB 内

的旁切圆半径.试证: r1 ? r2 ? r . q1 q2 q
【证明】设 ?CAB ? ?,?ABC ? ? ,?BCA ? ? ,?AMC ? ?

AM

R

P

B

又设△ ABC的内切圆的圆心为 R ,且与 AB 切于 P (如图),于是

?APR ? ?BPR ? ? 从而有: AB ? r cot? ? r cot ? ? r(cot? ? cot ? )

2,

2

2

2

2

由于三角形的角的内、外平分线互相垂直,因而类似地有:

AB ? q tan ? ? q tan ? ? q(tan? ? tan ? )

2

2

2

2

进而有: r q

?

tan ? ? tan ?

2

2

cot? ? cot ?

? tan ? tan ? ;类似的结论对于△ 22

AMC 和△

BMC 也成立,故有

2

2

r1 ? tan ? tan ? 和 r2 ? tan ? tan ? ? ? ,以上式子相乘即可得结论: r1 ? r2 ? r .

q1

2 2 q2

2

2

q1 q2 q

例 5.设 I 为△ ABC的内心,其△ ABC内切圆切三边 BC 、CA 和 AB 于 点 K 、 L 、 M ,过点 B 平行于 MK 的直线分别交直线 LM 和 IK 于点 R 和 S .求证: ?RIS 为锐角.
【 证 明 】 为 了 证 ?RIS 为 锐 角 . 由 余 弦 定 理 , 只 要 证 R

A

M

L

RI 2 ? SI 2 ? RS2 ? 2RI ? SI c o?sR I ?S 0 . 为 此 我 们 来 计 算

I

RI 2 ? SI 2 ? RS 2 。 由 MK ∥ RS , 考 虑 △ BMR 及 △ BSK , 于 是

B

K

C

.
S

.

?MRB ? ?LMK ? 1 (? ? ?C) .同理: ?RMB ? ?AML ? 1 (? ? ?A) ,

2

2

而 ?MBR ? ? ? ?MRB? ?RMB ? 1 (?C ? ?A) ? 1 (? ? ?B) ,同理: ?KSB ? ?LKM ? 1 (? ? ?A)

2

2

2

?SKB ? ?LKC ? 1 (? ? ?C) , ?KSB ? 1 (? ? ?B)

2

2

由正弦定理,有,

BR

?

BM

, BK

?

BS

,因此

BR

?

cos ?A 2

?

BK 。

sin ?RMB sin ?MRB sin ?KSB sin ?BKS

BM cos ?C BS

2

又 BI ? MK ,所以 BI ? RS .又 MI ? AB,所以考虑直角△ IRB,△ ISB ,△ BIM 有

RI 2 ? SI 2 ? RS 2 ? (BI 2 ? RB 2 ) ? (IB 2 ? BS 2 ) ? (BR ? BS )2 ? 2(BI )2 ? 2BR ? BS

注意到 BK ? BM ,因此 BR ? BS ? BM 2 .所以, RI 2 ? SI 2 ? RS 2 ? 2[(BI )2 ? (BM )2 ] ? 2(IM )2 ? 0
下面讨论界心的两个性质.
例 6.设 D, E, F 分别为△ ABC的 BC,CA, AB 边上的周界中点,R 、r 分别为△ ABC的外接圆和内切圆半径,则

(1) S ?DEF S ?ABC

?

r 2R

;(2)

S ?DEF

?

1 4

S?ABC .

?BD ? AE ? p ? c 【证明】设 BC ? a , CA ? b , AB ? c , 2 p ? a ? b ? c ,则由题设条件易知, ??CD ? AF ? p ? b
??CE ? BF ? p ? a

由三角形面积比的性质,有, S?AEF ? AE ? AF ? ( p ? b)( p ? c)

S ?ABC AC ? AB

bc

同理有: S?BFD ? ( p ? c)( p ? a) ; S?CDE ? ( p ? a)( p ? b)

S ?ABC

ca

S ?ABC

ab

从而: S?DEF ? 1 ? ( S?AEF ? S?BFD ? S?CDE ) ? 1 ? [( p ? b)( p ? c) ? ( p ? c)( p ? a) ? ( p ? a)( p ? b)]

S ?ABC

S S S ?ABC

?ABC

?ABC

bc

ca

ab

? ? 2 p 2 ? 2(ab ? bc ? ca) p ? 2abc abc

把三角形恒等式 ab ? bc ? ca ? p 2 ? 4Rr ? r 2 和 abc ? 2 pRr 代入并整理,得, S?DEF ? r . S ?ABC 2R

由欧拉不等式 R ? 2r ,得, S?DEF

?

1 4

S

?ABC



三、训练题

1.已知 H 是 ?ABC的垂心,且 AH ? BC ,试求 ?A 的度数.

2. D, E, F 分别为 ?ABC的边 BC,CA, AB 上的点,且 ?FDE ? ?A , ?DEF ? ?B ,又设△ AEF 、△ BDF 、

.

.
△ CED 均为锐角三角形,其垂心依次为 H1, H 2 , H 3 ,求证:(1)?H 2 DH 3 ? ?FH1E ;(2)?H1H 2 H 3 ? ?DEF .
3.已知⊙ O 内切于 ?ABC的外接圆⊙ O? ,并且与 AB, AC 分别相切于 P,Q .证明 ?ABC的内心 I 平分 PQ .
4.已知 ?ABC中,高 AD在其内部,过△ ABD、△ ACD 的内心 I1, I 2 引直线分别交 AB, AC 于 E, F . (1)若 ?BAC ? 90? ,则 AE ? AF ; (2)若 AE ? AF ,则 ?BAC ? 90? 也成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由,并指出不成立的情形. 5.已知 ?ABC的内切圆⊙ I 与 BC 边切于 D , DE 是⊙ I 的直径, AE 的延长线交 BC 于 F ,求证: BD ? CF . 6.在等腰 ?ABC中, AC ? BC , O 是它的外心, I 是它的内心,点 D 在 BC 边上,使得 OD 与 BI 垂直,证明: 直线 ID与 AC 平行.
――――――――――――――――――――
三角形五心定理
三角形的重心,外心,垂心,内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理, 外心定理,垂心定理,内心定理,旁心定理的总称。
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分 简 单 。( 重 心 原 是 一 个 物 理 概 念 , 对 于 等 厚 度 的 质 量 均 匀 的 三 角 形 薄 片 , 其 重 心 恰 为 此 三 角 形 三 条 中 线 的 交 点,重心因而得名) 。 重心的性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的 3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边长成反比。 3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 4、 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 重 心 的 坐 标 是 顶 点 坐 标 的 算 术 平 均 数 , 即 ( (X1+ X2+X3)/3,( Y 1+Y2+Y3 )/3 。 燕尾定理:因此图类似燕尾而得名,是一个关于三角形的定理(如图△ ABC,D、E、F 为 BC、CA、AB 上的中点,满足 AD、BE、CF 交于同一点 O)。 S△ ABC 中,S△ AOB:S△ AOC=S△ BDO:S△ CDO=BD:CD; 同理,S△ AOC:S△ BOC=S△ AFO:S△ BFO=AF:BF; S△ BOC:S△ BOA=S△ CEO:S△ AEO=EC: AE。
二、三角形外心定理:三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。 外心的性质有:
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点,该点即为该三角形外心。 2、若 O 是△ ABC 的外心,则∠BOC=2∠A(∠A 为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A 为钝角)。 3、当三角形为锐角三角形时,外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部;当 三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d1,d2,d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量 的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。外心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等 外心公式:
.

.
三、三角形垂心定理:三角形的三条高(所在直线)交于一点,该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质:
1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。 2、三角形外心 O、重心 G 和垂心 H 三点共线,且 OG:GH=1:2。(此线称为三角形的欧拉线(Euler line)) 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明: 已知:ΔABC 中,AD、BE 是两条高,AD、BE 交于点 O,连接 CO 并延长交 AB 于点 F ,求证: CF⊥AB 证明: 连接 DE ∵∠ADB=∠AEB=90 度 ∴A、B、D、E 四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90 度 ∴∠ACF+∠BAC=90 度 ∴CF⊥AB , 因此,垂心定理成立! 垂心坐标公式:
四、三角形内心定理: 三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心。 内心的性质:
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 3、P 为 ΔABC 所在空间中任意一点,点 0 是 ΔABC 内心的充要条件是:向量 P0=(a×向量 PA+b×向量 PB+c× 向量 PC)/(a+b+c). 4 、 O 为 三 角 形 的 内 心 , A 、 B 、 C 分 别 为 三 角 形 的 三 个 顶 点 , 延 长 AO 交 BC 边 于 N , 则 有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 5、点 O 是平面 ABC 上任意一点,点 I 是△ ABC 内心的充要条件是:a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)= 向量 0. 6、、(欧拉定理)⊿ABC 中,R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径,O 和 I 分别为其外心和内心,则 OI^2=R^2-2Rr. 7、(内角平分线分三边长度关系):△ ABC 中,0 为内心,∠A 、∠B、 ∠C 的内角平分线分别交 BC、AC、 AB 于 Q、P、R, 则 BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 8、内心到三角形三边距离相等。
.

.
三角形内心坐标公式:
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆(与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆)的圆心,叫做三角形的旁心。 旁心的性质: 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。 如图,点 M 就是△ ABC 的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一 个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。 附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。
有关三角形五心的诗歌
三角形五心歌(重外垂内旁) 三角形有五颗心,重外垂内和旁心, 五心性质很重要,认真掌握莫记混. 重心 三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”,重心性质要明了, 重心分割中线段,数段之比听分晓; 长短之比二比一,灵活运用掌握好. 外心 三角形有六元素,三个内角有三边. 作三边的中垂线,三线相交共一点. 此点定义为外心,用它可作外接圆. 内心外心莫记混,内切外接是关键. 垂心 三角形上作三高,三高必于垂心交. 高线分割三角形,出现直角三对整, 直角三角形有十二,构成六对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清. 内心 三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源; 点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”,如此定义理当然. 五心性质别记混,做起题来真是好。
.

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五心的性质
三角形的五心有许多重要性质,它们之间也有很密切的联系,如: (1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等; (2)三角形的外心到三顶点的距离相等; (3)三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成的三角形的垂心; (4)三角形的内心、旁心到三边距离相等; (5)三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心; (6)三角形的外心是它的中点三角形的垂心; (7)三角形的重心也是它的中点三角形的重心; (8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心. (9)三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍. 下面是更为详细的性质:
1、垂心
三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。三角形垂心有下列有趣的性质:设△ABC 的三条高为 AD、 BE、CF,其中 D、E、F 为垂足,垂心为 H。
性质 1 垂心 H 关于三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上。 性质 2 △ABC 中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且 AH·HD=BH·HE=CH·HF。 性质 3 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。 性质 4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆。 性 质 5 在 非 直 角 三 角 形 中 , 过 H 的 直 线 交 AB 、 AC 所 在 直 线 分 别 于 P 、 Q , 则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。 性质 6 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的 2 倍。 性质 7 设 O,H 分别为△ABC 的外心和垂心,则∠BAO=∠HAC,∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA。 性质 8 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的 2 倍。 性质 9 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形 (顶点在原三角形的边上)中, 以垂足三角形的周长最短。
2、内心
三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心,即三角形三个角平分线的交点。内心有下列优美的性质: 性质 1 设 I 为△ABC 的内心,则 I 为其内心的充要条件是:到△ABC 三边的距离相等。 性质 2 设 I 为△ABC 的内心,则∠BIC=90°+12∠A,类似地还有两式;反之亦然。 性质 3 设 I 为△ABC 内一点,AI 所在直线交△ABC 的外接圆于 D。I 为△ABC 内心的充要条件是 ID=DB=DC。 性质 4 设 I 为△ABC 的内心,BC=a,AC=b,AB=c,I 在 BC、AC、AB 上的射影分别为 D、E、F;内切圆 半 径 为 r , 令 p= (1/2)(a+b+c) , 则 (1)S △ ABC=pr ; (2)r=2S △ ABC/a+b+c ; (3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c;(4)abcr=p·AI·BI·CI。 性质 5 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等;反之,若 I 为 △ABC 的∠A 平分线 AD(D 在△ABC 的外接圆上)上的点,且 DI=DB,则 I 为△ABC 的内心。 性质 6 设 I 为△ABC 的内心,BC=a,AC=b,AB=c,∠A 的平分线交 BC 于 K,交△ABC 的外接圆于 D,则 AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a。
3、外心
三角形的外接圆的圆心简称三角形的外心.即三角形三边中垂线的交点。外心有如下一系列优美性质: 性质 1 三角形的外心到三顶点的距离相等,反之亦然。 性质 2 设 O 为△ABC 的外心,则∠BOC=2∠A,或∠BOC=360°-2∠A(还有两式)。 性质 3 设三角形的三条边长,外接圆的半径、面积分别为 a、b、c,R、S△,则 R=abc/4S△。 性质 4 过△ABC 的外心 O 任作一直线与边 AB、AC(或延长线)分别相交于 P、Q 两点,则 AB/AP ·sin2B+ AC/AQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C。
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性质 5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。
4、重心
性质 1 设 G 为△ABC 的重心,△ABC 内的点 Q 在边 BC、CA、AB 边上的射影分别为 D、E、F,则当 Q 与 G 重合时 QD·QE·QF 最大;反之亦然。
性质 2 设 G 为△ABC 的重心,AG、BG、CG 的延长线交△ABC 的三边于 D、E、F,则 S△AGF=S△BGD=S△ CGE;反之亦然。
性质 3 设 G 为△ABC 的重心,则 S△ABG=S△BCG=S△ACG= (1/3)S△ABC;反之亦然。
5、旁心
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。 2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三边的距离相等。
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