【解析】山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学(理)


山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试

数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题
注意事项:

共 60 分)

1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再改涂 其它答案标号。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.全集 U=R,集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 ,则[UA=
2

?

?

A. ?? 2,0? C. ?? ?,?2? ? ?0,?? ? 【答案】B

B. ?? 2,0 ? D. ?0,2?

【 解析】 A ? x | x 2 ? 2 x ? 0 ? {x x ? 0或x ? ?2} ,所以 ? A ? {x ?2 ? x ? 0} ,所以选 B. U 2.已知 ? ? ? ? , ? ?, cos ? ? ?

?

?

? ?

3 ? 2 ?

? 4 , 则 tan( ? ? ) 等于 4 5
C. ?

A.7 【答案】B 【

B.

1 7

1 7

D. ? 7

解 析 】 因 为 ? ? ? ? , ? ?, cos ? ? ?

? ?

3 ? 2 ?

4 , 5

所 以 sin ? ? ?

3 3 , tan ? ? 。 所 以 5 4

3 ? 4 4 ? 1 ,选 B. tan( ? ? ) ? ? ? 3 7 4 1 ? tan tan ? 1 ? 4 4 tan ? tan ? 1?
3.如果等差数列 ?an ?中, a5 ? a6 ? a7 ? 15 ,那么 a3 ? a4 ? ... ? a9 等于 A.21 【答案】C
1

?

B.30

C.35

D.40

【 解析】由 a5 ? a6 ? a7 ? 15 得 3a6 ? 15,a6 ? 5 。所以 a3 ? a4 ? ... ? a9 ? 7 a6 ? 7 ? 5 ? 35 ,选 C. 4.要得到函数 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 3 x 的图象 A.向左平移 2 个单位 C.向左平移 【答案】D 【 解析】因为 y ? sin(3 x ? 2) ? sin 3( x ? ) ,所以只需将函数 y ? sin 3 x 的图象向右平移 得到 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,选 D. 5.“ m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 与直线 3 x ? my ? 3 ? 0 垂直”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.向右平移 2 个单位 D.向右平移

2 个单位 3 2 3

2 个单位 3 2 个单位,即可 3

1 1 时, 两直线方程为 x ? ?4 和 3 x ? y ? 3 ? 0 , 此时两直线不垂直。 m ? 0 当 2 2 1 时 , 两 直 线 方 程 为 y ? 2 和 x ? ?1 , 此 时 两 直 线 垂 直 。 当 m ? 0 且 m ? 时 , 两 直 线 方 程 为 2 m 2 3 3 m 3 和 y ?? x? ,两直线的斜率为 y? x? ,? , 要 使 两 直 线 垂 直 ,则 有 1 ? 2m 1 ? 2m m m 1 ? 2m m m 3 ? (? ) ? ?1 ,解得 m ? ?1 ,所以直线 mx ? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 与直线 3 x ? my ? 3 ? 0 垂直”则有 1 ? 2m m
【 解析】 2m ? 1 ? 0 , m ? 当 即

m ? ?1 或 m ? 0 ,所以 m ? ?1 是两直线垂直的充分而不必要条件,选 A.
6.设 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 A. m / /? , n / / ? 且? / / ? , 则m / / n C. m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? 【答案】B 【 解析】根据面面垂直的性质和判断可知 B 正确。 7.函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是 B. m ? ? , n ? ? 且? ? ? ,则 m ? n D. m ? ? , n ? ? , m / / ? , n / / ? ,则 ? / / ?

【答案】A

2



解 析 】 因 为 函 数 y ? f ( x) ? x sin x 为 偶 函 数 , 所 以 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 所 以 排 除 D.

f ( ) ? sin ? ? 0 ,排除 B. f (? ) ? ? sin ? ? 0 ,排除 C,所以选 A. 2 2 2 2
8.已知双曲线

?

?

?

?

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的斜率为 2 ,且右焦点与抛物线 y 2 ? 4 3 x 的焦点 2 a b

重合,则该双曲线的离心率等于 A. 2 【答案】B 【 解析】抛物线的焦点坐标为 ( 3, 0) 。双曲线的右焦点为 (c, 0) ,则 c ? 一条渐近线的斜率为 B. 3 C.2 D.2 3

3 。渐近线为 y ? ?

b x ,因为 a

2 ,所以

b ? 2 , 即 b ? 2a , 所 以 b 2 ? 2a 2 ? c 2 ? a 2 , 即 c 2 ? 3a 2 , 即 a

e 2 ? 3, e ? 3 ,选 B.
9.一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形,若该几

何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 A. 12? 【答案】D 【 解析】 由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 4 的正方形, 高为 4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为 3 ? 4 ? 4 3 ,即球的半径为 2 3 ,所以该球 的表面积是 4? (2 3) 2 ? 48? 。选 D. B. 24? C. 32? D. 48?

10.若 x ? 1 ? x ? 3? ? a0 ? a1 ? x ? 2 ? ? a2 ? x ? 2 ? ? a3 ? x ? 2 ? ? ??? ? a11 ? x ? 2 ? ,则
2 9 2 3 11

?

?

a1 ? a2 ? ??? ? a11 的值为
A.0 【答案】C
3

B. ?5

C.5

D.255



解 析 】 令 x ? 2 , 则 a0 ? (22 ? 1)(2 ? 3)9 ? ?5 。 令 x ? 3 , 则 a0 ? a1 ? ??? ? a11 ? 0 , 所 以

a1 ? ??? ? a11 ? ?a0 ? ?( ?5) ? 5 ,选 C.
11.某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、 “环保宣传”五个项目的社会实践活动,每天只安排一项活动,并要求在周一至周五内完成.其中“参 观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天,“民俗调查”活动不能安排在周一.则不同 安排方法的种数是 A.48 【答案】C
4 2 【 解析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体,共有 A4 A2 ? 48 种,把“民俗调查”安排在周一, 3 2 有 A3 A2 ? 12 ,所以满足条件的不同安排方法的种数为 48 ? 12 ? 36 ,选 C.

B.24

C.36

D.64

12.已知函数 f ( x) ? ? A. k ? 2 【答案】D

?kx ? 2, x ? 0 ? k ? R ? ,若函数 y ? f ? x ? ? k 有三个零点,则实数 k 的取值范围是 ?1nx, x ? 0
B. ?1 ? k ? 0 C. ?2 ? k ? ?1 D. k ? ?2

【 解 析 】 由 y ? f ? x ? ? k ? 0 得 f ? x ? ? ?k ? 0 , 所 以 k ? 0 , 做 出 函 数 y ? f ? x ? 的 图 象 ,

,要使 y ? ? k 与函数 y ? f ? x ? 有三个交点,则有 ? k ? 2 ,即

k ? ?2 ,选 D.

第 II 卷(非选择题
注意事项:

共 90 分)

1.将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.已知向量 a ? (1,1), b ? (2, 0) ,则 2a ? b 等于

?

?

? ?



4

【答案】 2 5 【 解析】 2a ? b ? 2(1,1) ? (2, 0) ? (4, 2) ,所以 2a ? b ?

?

?

? ?

42 ? 22 ? 20 ? 2 5 。


14.已知三角形的一边长为 4,所对角为 60°,则另两边长之积的最大值等于 【答案】16

【 解析】 设三角形的边长为 a, b, c 其中 b ? 4,B ? 60? ,则 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos 60? , 16 ? a 2 ? c 2 ? ac , 即 所以 16 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ,即 ac ? 16 ,当且仅当 a ? c ? 4 时取等号,所以两边长之积的最大 值等于 16.

?x ? y ? 1 ? 0 ? 15.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
【答案】2



【 解析】设 z ? 2 x ? y ,则 y ? 2 x ? z ,做出不等式对应的平面区域如图 BCD,平移直线 y ? 2 x ? z ,由图 象可知当直线 y ? 2 x ? z 经过点 C (1, 0) 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最小,此时 z 最大,把 C (1, 0) 代入直线

z ? 2 x ? y 得 z ? 2 ,所以 2 x ? y 的最大值为为 2.
16.若函数 f (x) 满足 ?m ? R, m ? 0 ,对定义域内的任意 x, f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 恒成立,则称 f (x) 为 m 函数,现给出下列函数: ①y?

1 ; x

② y ? 2x ;

③ y ? sin x ;

④ y ? 1nx

其中为 m 函数的序号是 【答案】②③ 【 解析】 ①若 f ( x) ?

。(把你认为所有正确的序号都填上)

1 1 1 ?m 1 1 1 1 , 则由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 即 ? , ? ? ? ? , x x?m x m m x ? m x x ( x ? m)

所 以 不 存 在 常 数 m 使 f ( x ? m) ? f ( x ) ? f ( m) 成 立 , 所 以 ① 不 是 m 函 数 。 ② 若 f ( x ) ? 2 x , 由

5

f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) 得 , 2( x ? m) ? 2 x ? 2m , 此 时 恒 成 立 , 所 以 ② y ? 2 x 是 m 函 数 。 ③ 若 f ( x) ? sin x , 由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f ( m) 得 sin( x ? m) ? sin x ? sin m , 所 以 当 m ? ? 时 ,
所以③ y ? sin x 是 m 函数。 ④若 f ( x) ? 1nx , 则由 f ( x ? m) ? f ( x) ? f (m) f ( x ? m) ? f ( x) ? f ( m) 成立, 得 ln( x ? m) ? ln x ? ln m ,即 ln( x ? m) ? ln mx ,所以 x ? m ? mx ,要使 x ? m ? mx 成立则有 ? 所以方程无解,所以④ y ? 1nx 不是 m 函数。所以为 m 函数的序号是②③。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(?x ?

?m ? 1 , ?m ? 0

?

) ? cos(?x ? ) ? sin ?x(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 2? 。 6 6

?

(I)求函数 f (x) 的对称轴方程; (II)若 f (? ) ?

6 ? ,求 sin( ? 2? ) 的值。 3 3

18.(本小题满分 12 分) 设数列 ?an ?为等差数列,且 a3 ? 5, a5 ? 9 ;数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ? bn ? 2 。 (I)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (II)若 cn ?

an ?n ? N ? ? , Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和,求 Tn 。 bn

19.(本小题满分 12 分) 如图,五面体中,四边形 ABCD 是矩形,DA ? 面 ABEF,且 DA=1, AB//EF, AB ? EF 的中点。 (I)求证:PQ//平面 BCE; (II)求证:AM ? 平面 ADF; (III)求二面角,A—DF—E 的余弦值。 20.(本小题满分 12 分) M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成 绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙 部门”工作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担任“助理工作”.
6

1 EF ? 2 2 , AF ? BE ? 2 ,P、Q、M 分别为 AE、 2

BD、

(I)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取 8 人,再从这 8 人中选 3 人, 那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (II)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出 X 的分布列,并求出 X 的数学期望.

21.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? x1nx ? ax ? x?a ? R ? 。
2

(I)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (II)若函数 f (x) 的图象在直线 y ? ? x 图象的下方,求 a 的取值范围; (III)求证: 20132012 ? 20122013 .

21.(本小题满分 12 分)

? ? ? ???? ? ???? ? 点 M 满足 PM ? ? 2 ? 1? MQ ,点 M 的轨迹为 C.
已知两定点 E ? 2, 0 , F (I)求曲线 C 的方程;

?

??? ??? ? ? 2, 0 ,动点 P 满足 PE ? PF ? 0 ,由点 P 向 x 轴作垂线 PQ,垂足为 Q,

(II)若线段 AB 是曲线 C 的一条动弦,且 AB ? 2 ,求坐标原点 O 到动弦 AB 距离的最大值.

7

8

9

10

11


相关文档

山东省淄博市2013届高三上学期期末考试理科数学试题
山东省淄博一中2013届高三上学期期末考试数学理试题
山东省淄博市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷
山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学理试题(WORD解析版)
山东省淄博市2014届高三上学期期末考试数学理试题
山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题
山东省淄博一中2013届高三上学期期末考试 数学理
山东省淄博市2013届高三上学期期末考试数学(理)试卷
山东省淄博一中2013届高三上学期期末考试 数学文
山东省淄博市2010届高三上学期期末考试(数学理)
电脑版