2014年福州一中自主招生数学试卷及答案


福州一中 2014 年高中招生(面向福州以外地区) 综合素质测试数学试卷
(满分 100 分,考试时间 60 分钟)
学 校 姓 名 准考证号 注意:请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上 的相应位置. ....... 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个选项是正确的. )
1. 下列等式:① 2ab ? 3ab ? 5a b ;
2 2

② (?5a3 )2 ? 25a6 ;

③ x? y ?

1 x ? y ;④ 12 ? ( )?1 ? (? ? 3.14)0 ? | 3 ? 2 |? 4 ? 3 . 3
C. 3 个 D. 4 个

其中正确的等式有(★★★) A . 1 个 B. 2 个

2.某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示:
人数 人数

年龄

年龄

则这些队员年龄的众数和中位数分别是(★★★)

31 31 31 31 A. , 15 B. 15, C. 15, 15 D. , 2 2 2 2
3.右图为一个几何体的三视图,左视图和主视图均为矩形,俯视图为 等边三角形,尺寸如图所示,则该几何体的表面积为(★★★) A.

3
4

27 3 B. 12 3 C. 24 D. 24 ? 2 3 2

4.若关于

x 的 方 程 x?

2 2 2 ? c ? 的 解 是 x1 ? c , x2 ? , 则 关 于 x 的 方 程 x c c

x?

2 2 ?a? 的解 x1, x2 的值是(★★★) x ?1 a ?1 2 2 2 1? a B. a ? 1, C. a , D. a , a ?1 a ?1 a ?1 a
?

A. a ,

5.如图,边长为 2 的菱形纸片 ABCD 中, ?A ? 60 ,将该纸片折叠, EF
D

C D 为折痕, 点 A、D 分别落在 A 、D 处.若 A D 经过点 B , 且 DF ?
' ' ' '

'


A E

F C

则 DF 的长为(★★★) A. 2 3 ? 2 B. 4 ? 2 3 C.

3? 3 2

D. 3

A'

B

D'

6.有一个数阵排列如下:

1 3 6 10

2 5 9 14

4 8 13 19 26 ?

7 12 18 25 ?

11 17 24 ?

16 23 ?

22 ? ?

15 20 21 27 28 ?

则第 20 行从左至右第 10 个数为(★★★) A. 425 B. 426 C. 427 D. 428

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. )
7.计算:

a ? 1 a 2 ? 3a ? 2 a2 a ? ? ? ? ★★★. 2 2 2 (a ? 1) a ? a ? 2 a ? 1 a ? 1
E A D

B

C

、 C E分 别 是 ?ABC 的 AC、AB 边 上 的 中 线 , 且 8.如图, BD
BD ? CE .若 BD ? 4 , CE ? 6 ,则 ?ABC 的面积等于★★★.

9.从 ?2, ?1,1,2 这四个数中,任取两个不同的数作为一次函数 y ? kx ? b 的系数 k、 b ,则 一次函数 y ? kx ? b 的图象不经过第三象限的概率是★★★. 10.有一列数 a , b , c , d , ? ,从第二个数开始,每一个数都等于 1 与它前面那个数的 倒数的差.若第一个数 a 等于 2 ,则第 2014 个数等于★★★. 11.如图,已知直线 y ? kx 与双曲线 y ?

y
A O B C D

k 相交于 A、B 两点,过点 A x 1 .过原点 O 作 AB 的垂 2

x

作 AC 垂直于 x 轴, 垂足为 C , 且 S ?A O C ?

线交 AC 的延长线于点 D ,则 ?ABD 的内切圆半径长等于★★★. 12.规定:① ? m ?表示大于 m 的最小整数,例如:

? 3 ? ? 4 , ?? 2.4 ? ? ?2 ; ② ? m ? 表示不大于 m 的最大整数,例如: ? 5 ? ? 5 , ?? 3.6 ? ? ?4 . 若实数 x 满足 2? x ? ? ? x ? ? 4 ,则实数 x 的取值范围是★★★.

三、解答题(本大题共 3 小题,满分 40 分. )
13. (本小题满分 12 分)

D 为⊙ O 中劣弧 AB 上一点, ?ABC 是⊙ O 的内接三角形,AC ? BC , 如图, 延长 DA 至点 E ,使 CE ? CD . (1) 求证: ?ACE ? ?BCD ;
(2) 若 ?ACB ? 60 ,试探究 CD 与 AD ? BD 长度的
?

C

大小关系,并证明你的结论.
E A D O B

14. (本小题满分 12 分) 如图,小明站在看台上的 A 处,测得旗杆顶端 D 的仰角为 15 ,当旗杆顶端 D 的影子 刚好落在看台底部 B 处时,太阳光与地面成 60 角.
D
?

?

已知 ?ABC ? 60 ,AB ? 4 米, 求旗杆的高度. (点
?

A

A 与旗杆 DE 及其影子在同一平面内,C、B、E 三
点共线且旗杆与地面垂直,不考虑小明的身高)
C B E

15. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系中, A、B 为 x 轴上两点(点 A 在点 B 的左边) , C、D 为 y 轴上两点,经过 A、C、B 的抛物线的一部分 C1 与经过 A、D、 B 的抛物线的一部分

C2 组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线” . 已知点 D 的坐标为

(0 , ? 2) ,抛物线 C1 的解析式为 y ? mx2 ? 2mx ? 3m (m ? 0) .
(1) 求 A、B 两点的坐标; (2) 若四边形 ACBD 是梯形,求 m 的值; (3) 若点 D 关于 x 轴的对称点为 D1 ,试判断直线 AD1 与该蛋线的公共点的个数,并证 明你的结论 y .
C D1 A O B A C D1 B O

y

x

x

D

D

备用图

福州一中 2014 年高中招生(面向市区以外) 综合素质测试数学参考答案
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 答案 A C D D A 6 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 7. 10.

?1 2
11.

8.

16 2? 2

9. 12.

1 3

2? x?3

三、解答题(本大题共 3 小题,满分 40 分)
13.(1)证明: ?ABC 中, AC ? BC ??CAB ? CBA
C

??ACB ? 180 ? 2?CBA
? ? 同理 ?CED 中, ?ECD ? 180 ? 2?CDA ??2 分

E A D

O B

? O 中, ? AC ? ? AC
??CBA ? ?CDA ?????????????3 分 ??ACB ? ?ECD ?????????????4 分 ??ACB ? ?ACD ? ?ECD ? ?ACD 即 ?ACE ? ?BCD .???????????5 分
(2)解: CD ? AD ? BD, 证明如下:????????6 分 在 ?ACE 和 ?BCD 中,

? AC ? BC ? ??ACE ? ?BCD ?CE ? CD ?
? ?ACE ≌ ?BCD(SAS ) ??????????8 分

? AE ? BD ???????????????9 分
若 ?ACB ? 60 ,则 ?ECD ? 60 、
? ?

又∵ CE ? CD ? ?ECD 是等边三角形 ? DE ? DC ???????????????10 分

? DE ? AD ? AE

AE ? BD
∴ DE ? AD ? BD 又∵ DE ? DC ∴ CD ? AD ? BD .????????????12 分 14.解:过点 A 作 AF ? BD 于点 F ,????????1 分 由题意知, ?DAH ? 15? , ?DBE ? 60?.

? 点 C , B, E 在一条直线上

??ABD ? 180? ? ?ABC ? ?DBE ? 60? ???2 分
?ABF 中, ?AFB ? 90? , AB ? 4
A D
?

? BF ? AB ? cos ?ABD ? 4 ? cos60 ? 2,

H F

AF ? AB ? sin ?ABD ? 4 ? sin 60? ? 2 3 ??6 分
? AH ∥ BE
C B

E

??HAB ? ?ABC ? 60? ??BAD ? ?HAB ? ?DAH ? 75?
?DAB 中, ?ADB ? 180? ? ?ABD ? ?DAB ? 45?
? Rt ?DAF 中, DF ? AF ? tan ?ADB ? 2 3

? BD ? BF ? FD ? 2 ? 2 3 ????????10 分
在 Rt ?BDE 中, ?DBE ? 60
?

? DE ? BD ? sin ?DBE ? 2 ? 2 3 ?

?

?

3 ? 3? 3 2

? 旗杆的高度为 (3 ? 3) 米.?????????12 分

2 15.解:(1)在函数 y ? mx ? 2mx ? 3m 中,令 y ? 0 ,则

mx2 ? 2mx ? 3m ? 0
∵m ? 0 ∴ x ? 2x ? 3 ? 0
2

解得 x1 ? 3, x2 ? ?1

∴ A(?1,0), B(3,0) ???????????2 分 (2) ∵ A(?1,0), B(3,0), D(0, ?2) ∴ AO ? 1, BO ? 3, DO ? 2 . 在函数 y ? mx2 ? 2mx ? 3m (m ? 0) 中,令 x ? 0 ,则 y ? ?3m ∴ C (0, ?3m) 则 OC ? ?3m ??????????????3 分 ①若 AC ∥ BD 则 ?AOC ∽ ?BOD ∴
C D1 A O B

y

AO BO ? CO DO

x



1 3 ? ?3m 2
解得 m ? ?

D

2 9

此时 AC ? BD ,四边形 ACBD 是梯形.??6 分 ②若 BC ∥ AD 则 ?AOD ∽ ?BOC ∴

AO BO ? DO CO



1 3 ? 2 ?3m
解得 m ? ?2 此时 AD ? BC ,四边形 ACBD 是梯形. 综上所述, m ? ?

2 或 ? 2 .??????????????????9 分 9

(3)∵点 D1 与点 D 关于 x 轴对称 ∴ D1 (0, 2) 则直线 AD1 的方程为: y ? 2 x ? 2 ???????????????11 分 易知直线 AD1 与抛物线 C2 只有一个公共点 A ,

下面只要考虑直线 AD1 与抛物线 C1 的公共点个数. 联立直线 AD1 和抛物线 C1 的方程

? y ? 2x ? 2 ? 2 ? y ? mx ? 2mx ? 3m
得 mx2 ? (2m ? 2) x ? 3m ? 2 ? 0 解得 x1 ? 3 ? ∵m ? 0 ∴3?

2 , x2 ? ?1 ???????????????????13 分 m

2 ?3 m 2 1 ? ?1 ,即 m ? ? 时, m 2

①当 3 ?

直线 AD1 与该蛋线有两个公共点; ②当 3 ?

2 1 ≤ ?1 ,即 ? ≤ m ? 0 时, m 2

直线 AD1 与该蛋线只有一个公共点 A . 综上所述,当 m ? ?

1 时,直线 AD1 与该蛋线有两个公共点; 2

当?

1 ≤ m ? 0 时,直线 AD1 与该蛋线有一个公共点.????16 分 2


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