高中数学必修5人教A教案1.1.1正弦定理
1．1．1 正弦定理
（一）教学目标 1． 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方 法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关 系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用 的实践操作。 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情 推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间 的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 （二）教学重、难点 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 （三）学法与教学用具 ，接着就一般斜 ? ? sin A sin B sinC 三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导， 让学生发现向量知识的简捷，新颖。 教学用具：直尺、投影仪、计算器 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： （四）教学设想 [创设情景] 如图 1．1-1，固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 思考： ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C
a
b
c
A
B
[探索研究] (图 1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等 式关系。如图 1．1-2，在 Rt ? ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数
a b c ? sin A ， ? sin B ，又 sin C ? 1 ? , c c c a b c 则 ? ? ?c sin A sin B sinC a b c 从而在直角三角形 ABC 中， ? ? sin A sin B sin C
的定义，有
A b C a (图 1．1-2) c B
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
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如图 1．1-3，当 ? ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的 定义，有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得 从而
a
sin A
?
b
sin B
， b A
C a c B
c
sinC ?
?
b
sin B ?
，
a
sin A
b
sin B
c
sin C
(图 1．1-3) 思考： 是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题， 从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 ? ??? ? ? （证法二） ：过点 A 作 j ? AC ， C 由向量的加法可得 则
AB ? AC ? CB
? ??? ?
???
??? ??? ?
? ??? ??? ? ?
j ? AB ? j ?(AC ? CB )
? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB
A
B
? ? j
? ??? ? ? ??? ? j AB cos? 900 ? A ? ? 0 ? j CB cos? 900 ? C ?
∴ csin A? asinC ，即
a c ? sin A sin C
? ??? ? 同理，过点 C 作 j ? BC ，可得
从而
b c ? sin B sin C
a
sin A sin B sin C 类似可推出，当 ? ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
?
b
?
c
a
sin A sin B sin C [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a ? k sin A ， b ? k sin B ， c ? k sinC ；
（2）
?
b
?
c
a
sin A sin B sin C 从而知正弦定理的基本作用为：
?
b
?
c
等价于
a
sin A
?
b
sin B
，
c
sinC
?
b
sin B
，
a
sin A
?
c
sin C
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a ?
b sin A ； sin B
a b
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A ? sin B 。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
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[例题分析] 例 1．在 ?ABC 中，已知 A ? 32.00 ， B ?81.80 ， a ? 42.9 cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，
C ?1800 ? ( A ? B) ?1800 ? (32.00 ? 81.80 )
? 66.20 ； 根据正弦定理，
asin B 42.9sin81.80 ? ?80.1(cm) ； sin A sin32.00 根据正弦定理， b? asin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2．在 ?ABC 中，已知 a ? 20 cm， b ? 28 cm， A? 400 ，解三角形（角度精确到 10 ，边 长精确到 1cm） 。 解：根据正弦定理， c?
bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20 因为 00 ＜ B ＜ 1800 ，所以 B ? 640 ，或 B ?1160. ⑴ 当 B ? 640 时， sin B ?
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ，
c?
asin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400
⑵ 当 B ?1160 时，
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ?1160 ) ? 240 ，
asin C 20sin240 ? ?13(cm). sin A sin400 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 [随堂练习]第 5 页练习第 1（1） 、2（1）题。 c?
例 3．已知 ? ABC 中， ? A ? 600 ， a ? 3 ,求 分析：可通过设一参数 k(k>0)使 证明出
a ? b ?c sin A ? sin B ? sin C
?
a
sin A
?
b
sin B
c
sin C
?k ,
a
sin A
?
b
sin B ?
?
c
sinC ?
?
a ? b ?c sin A ? sin B ? sin C
? k(k >o) sin A sin B sinC 则有 a ? k sin A ， b ? k sin B ， c ? k sinC
解：设 从而
a
b
c
a ? b ?c k sin A ? k sin B ? k sinC = =k sin A ? sin B ? sin C sin A ? sin B ? sinC
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又
a
sin A
?
a ? b ?c 3 =2 ? 2 ? k ，所以 0 sin A ? sin B ? sin C sin 60
评述：在 ? ABC 中，等式
a
sin A
?
b
sin B
?
c
sinC
?
a ? b ?c ? k ? k ? 0? sin A ? sin B ? sinC
恒成立。 [补充练习]已知 ? ABC 中， sin A :sin B :sinC ? 1:2:3 ，求 a :b :c （答案：1：2：3） [课堂小结]（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式：
a
sin A sin B sinC 或 a ? k sin A ， b ? k sin B ， c ? k sinC (k ? 0)
（2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 （五）评价设计 ①课后思考题： （见例 3）在 ? ABC 中，
?
b
?
c
?
a ? b ?c ? k ? k ? 0? ； sin A ? sin B ? sinC
a
sin A
?
b
sin B
?
c
sinC
? k(k >o)，这个 k 与 ? ABC 有
什么关系？ ②课时作业：第 10 页[习题 1.1]A 组第 1（1） 、2（1）题。
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