2008年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)

2008 年深圳市高三年级第一次调研考试·数学

2008 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
一、 有且只有一项是符合要求的. 1. 设全集 U ? {0 , 1 , 2 , 3 , 4} ,集合 A ? {0 , 1 , 2} ,集合 B ? {2 , 3} ,则 ( ?U A ) ? B ? ( A. ? C. {0 , 1 , 2 , 3 , 4} 2. 复数 z1 ? 3 ? i , z 2 ? 1 ? i ,则复数 A.第一象限
z1 z2

2008.3

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个备选项中,



B. {1 , 2 , 3 , 4} D. {2 , 3 , 4} 在复平面内对应的点位于 C.第三象限 ( D.第四象限 )

B.第二象限

3. 如图所示, 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直 径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 A. π
2 3





B. 2 π C. 3 π D. 4 π
主视图 左视图

俯视图

4. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 x ? 3 ,则 f ( ? 2) ? A. 1 B.
1 4


11 4



C. ? 1

D. ?

5. 已知等差数列 { a n } 的公差 d ? 0 ,它的第 1、5、17 项顺次成等比数列,则这个等比数 列的公比是 A. 4 6. 函数 f ( x ) ? ln ( x ? 1) ? A. (0 , 1) B. 3
2 x

( C. 2 D.
1 2



的零点所在的大致区间是 C. ( 2 , e ) D. (3 , 4 )





B. (1 , 2 )

7. 为调查深圳市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间 X (单位:分钟) ,按锻炼时间分 下列四种情况统计: ①0~10 分钟;②11~20 分钟; ③21~30 分钟; ④30 分钟以上. 有 10000 名中学生参加了此项活动,下图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果是 6200,则平均每天参加体育锻炼时间在 0~20 分钟内的学生的频率是 A.3800 B.6200
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C. 0 .3 8

D. 0 .6 2

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开始

S ?0

T ?1

输入 X

X ? 20 S ? S ?1

T ? T ?1

T ? 10000

输出 S

结束
B 8. 如图, 已知 A (4 , 0 ) 、 (0 , 4 ) , 从点 P (2 , 0 ) 射出的光线经直线 A B 反向后再射到直线 O B

上,最后经直线 O B 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是 A. 2 1 0 B. 6 C. 3 3 D. 2 5





二、

填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 13~15 小题是选做题,考

生只能选做两题,若三题全答,则只计算前两题得分. 9. 在 ? A B C 中, a 、 b 分别为角 A 、 B 的对边,若 B ? 6 0 ? , C ? 7 5 ? , a ? 8 ,则边 b 的 长等于 .

10. 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试, 由于其中两所学校 的考试时间相同, 因此该学生不能同时报考这两所学校. 该学生不同的报考方法种数是
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. (用数字作答) 11. 在 R t ? A B C 中,两直角边分别为 a 、 b ,设 h 为斜边上的高,则
1 h
2

?

1 a
2

?

1 b
2

,由此类

比:三棱锥 S ? A B C 中的三条侧棱 S A 、 S B 、 SC 两两垂直,且长度分别为 a 、 b 、 c , 设棱锥底面 A B C 上的高为 h ,则 .

12. 已知定义在区间 [0 , 1] 上的函数 y ? f ( x ) 的图像如图所示,对于满足 0 ? x1 ? x 2 ? 1 的任 意 x 1 、 x 2 ,给出下列结论: ①
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ? x1 ;

② x 2 f ( x1 ) ? x1 f ( x 2 ) ; ③
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? x ? x2 ? ? f ? 1 ?. 2 ? ?

其中正确结论的序号是

. (把所有正确结论的序号都填上) ,

13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos ? 的圆心的极坐标是 它与方程 ? ?
π 4

( ? ? 0 )所表示的图形的交点的极坐标是



14. (不等式选讲选做题)已知点 P 是边长为 2 3 的等边三角形内一点,它到三边的距离 分别为 x 、 y 、 z ,则 x 、 y 、 z 所满足的关系式为 值是 . , x 2 ? y 2 ? z 2 的最小

15. (几何证明选讲选做题)如图, P T 是 ? O 的切线,切点为 T ,直线 P A 与 ? O 交于 A 、
B 两点, ? T P A 的平分线分别交直线 T A 、T B 于 D 、 E 两点,已知 PT ? 2 , P B ?

3 ,

则 PA ?



TE AD

?


T

D E P A B

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三、

解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1 ? sin 2 x , sin x ? co s x ) , b ? (1 , sin x ? co s x ) ,函数 f ( x ) ? a ? b . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (? ) ?
8 5
? ?

? ?

,求 co s 2 ?



? ? 2? ? 的值. ?4 ?

17. (本小题满分 12 分) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球将自由下落. 小球在 下落的过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色 障碍物时,向左、右两边下落的概率都是
1 2



(Ⅰ)求小球落入 A 袋中的概率 P ( A ) ; (Ⅱ)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 ? 为落入 A 袋中的小球个数,试求 ? ? 3 的 概率和 ? 的数学期望 E ? .

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18. (本小题满分 14 分) 如图所示的几何体 A B C D E 中, D A ? 平面 E A B , C B ∥ D A , E A ? D A ? A B ? 2 C B ,
E A ? A B , M 是 E C 的中点.

(Ⅰ)求证: D M ? E B ; (Ⅱ)求二面角 M ? B D ? A 的余弦值.
D

C

M A B

E

19. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,已知点 A (2 , 0 ) 、 B ( ? 2 , 0) , P 是平面内一动点,直线 P A 、
P B 的斜率之积为 ?

3 4



(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 ?
?1 ? , 0 ? 作直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,线段 E F 的中点为 M ,求 ?2 ?

直线 M A 的斜率 k 的取值范围.

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20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ?
1 2 x ? mx ?
2

7 2

(m ? 0 ) ,直线 l 与函数 f ( x ) 、 g ( x ) 的图像都

相切,且与函数 f ( x ) 的图像的切点的横坐标为 1. (Ⅰ)求直线 l 的方程及 m 的值; (Ⅱ)若 h ( x ) ? f ( x ? 1) ? g ? ( x ) (其中 g ? ( x ) 是 g ( x ) 的导函数) ,求函数 h ( x ) 的最大值; (Ⅲ)当 0 ? b ? a 时,求证: f ( a ? b ) ? f ( 2 a ) ?
b?a 2a



21. (本小题满分 14 分) 如图,P1 ( x1 , y1 ) 、P2 ( x 2 , y 2 ) 、 ?、Pn ( x n , y n )( 0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是曲线 C :y 2 ? 3 x ( y ? 0 )上的 n 个点,点 Ai ( a i , 0 ) ( i ? 1 , 2 , 3 , ? , n )在 x 轴的正半轴上,且 ? Ai ?1 Ai Pi 是 正三角形( A0 是坐标原点) . (Ⅰ)写出 a 1 、 a 2 、 a 3 ; (Ⅱ)求出点 An ( a n , 0 ) ( n ? N ? )的横坐标 a n 关于 n 的表达式; (Ⅲ)设 b n ?
1 6

1 a n ?1

?

1 an?2

?

1 an?3

?? ?

1 a2n

,若对任意的正整数 n ,当 m ? [ ? 1 , 1] 时,不

等式 t 2 ? 2 m t ?

? b n 恒成立,求实数 t 的取值范围.

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2008 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)参考答案
一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个备选项中, 有且只有一项是符合要求的. 题号 答案 二、 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 B 7 C 8 A

填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 13~15 小题是选做题,考

生只能选做两题,若三题全答,则只计算前两题得分. 9. 4 6 10. 16 11.
1 h
2

?

1 a
2

?

1 b
2

?

1 c
2

12.②③

13. (1 , 0 ) , ? 2 ,
?

?

π? ? 4?

14. x ? y ? z ? 3 , 3

15.

4 3

3,

3 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 解: (Ⅰ)因为 a ? (1 ? sin 2 x , sin x ? co s x ) , b ? (1 , sin x ? co s x ) ,所以
f ( x ) ? 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x
2 2

?

?

?

π? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 . 4? ?

因此,当 2 x ?

π 4

? 2 kπ ?

π 2

,即 x ? k π ?

3 8

π ( k ? Z )时, f ( x ) 取得最大值

2 ? 1;

(Ⅱ)由 f (? ) ? 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? 及 f (? ) ?
1 ? sin 4? ? 9 25

8 5

得 sin 2? ? co s 2? ?
16 25

3 5

,两边平方得

,即 sin 4? ?



因此, co s 2 ?



16 ? ?π ? ? 2? ? ? co s ? ? 4? ? ? sin 4? ? . 25 ?4 ? ?2 ?

17. 解: (Ⅰ)记“小球落入 A 袋中”为事件 A , “小球落入 B 袋中”为事件 B ,则事件 A 的 对立事件为 B ,而小球落入 B 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,故
1 ?1? ?1? P(B) ? ? ? ? ? ? ? 4 ?2? ?2?
3 3



从而 P ( A ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ?

1 4

?

3 4



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(Ⅱ)显然,随机变量 ? ? B ? 4 ,
?

?

3? ? ,故 4?
3

1 27 ?3? 3 P ( ? ? 3) ? C 4 ? ? ? ? ? 4 64 ?4?



E? ? 4 ?

3 4

?3.

18. 解: 建立如图所示的空间直角坐标系, 并设 E A ? D A ? A B ? 2 C B ? 2 ,则 (Ⅰ) D M ? ? 1 , 1 , ?
?
????? ??? ?

?????

?

??? ? 3? ? , EB ? (?2 , 2 , 0) , 2?

所以 D M ? E B ? 0 ,从而得
DM ? EB ;

(Ⅱ)设 n1 ? ( x , y , z ) 是平面 B D M 的 法向量,则由 n1 ? D M , n1 ? D B 及
????? ? ???? 3? D M ? ? 1 , 1 , ? ? , D B ? (0 , 2 , ? 2 ) 2? ?
?? ? ????? ?? ? ????

?? ?


? ? ?? ? n1 ? ?? ? ?n ? 1
?? ?

????? 3 ?? ? ? DM ? x ? y ? z ? 0 2 ? 可以取 n1 ? (1 , 2 , 2 ) . ???? ? DB ? 2 y ? 2z ? 0

显然, n 2 ? (1 , 0 , 0 ) 为平面 A B D 的法向量. 设二面角 M ? B D ? A 的平面角为 ? ,则此二面角的余弦值
?? ?? ? ? ?? ?? ? ? | n1 ? n 2 | 1 ? ?? ? . ? co s ? ? | co s ? n1 , n 2 ? | ? ?? | n1 | ? | n 2 | 3

19. 解: (Ⅰ)依题意,有 k P A ? k P B ?

y x?2
x
2

?
y

y x?2
2

??

3 4

( x ? ?2 ) ,化简得

?

? 1 ( x ? ?2 ) ,

4

3

这就是动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)依题意,可设 M ( x , y ) 、 E ( x ? m , y ? n ) 、 F ( x ? m , y ? n ) ,则有

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? (x ? ? ? ? (x ? ?

? m) 4 ? m) 4
n m

2

?
2

( y ? n) 3 ( y ? n) 3

2

?1


2

?

?1

两式相减,得

4mx 4

?

4n 3

? 0 ? k EF ?

? ?

3x 4y

?

y?0 x? 1 2

,由此得点 M 的轨迹方程为

6x ? 8 y ? 3x ? 0 ( x ? 0 ) .
2 2

设直线 M A : x ? m y ? 2 (其中 m ?

1 k

) ,则

?x ? my ? 2 2 2 ? (6 m ? 8) y ? 2 1 m y ? 1 8 ? 0 , ? 2 2 6x ? 8 y ? 3x ? 0 ?

故由 ? ? (21m ) 2 ? 72(6 m 2 ? 8) ? 0 ? | m |? 8 ,即

1

? 1 1? ? 8 ,解之得 k 的取值范围是 ? ? , ? . k ? 8 8?

20. 解: (Ⅰ)依题意知:直线 l 是函数 f ( x ) ? ln x 在点 (1 , 0 ) 处的切线,故其斜率
k ? f ? (1) ? 1 1 ? 1,

所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . 又因为直线 l 与 g ( x ) 的图像相切,所以由
?y ? x ?1 1 2 9 ? ? 1 2 7 ? x ? ( m ? 1) x ? ? 0 , 2 2 ? y ? x ? mx ? 2 2 ?

得 ? ? ( m ? 1) 2 ? 9 ? 0 ? m ? ? 2 ( m ? 4 不合题意,舍去) ; (Ⅱ)因为 h ( x ) ? f ( x ? 1) ? g ?( x ) ? ln ( x ? 1) ? x ? 2 ( x ? ? 1 ) ,所以
h ?( x ) ? 1 x ?1 ?1? ?x x ?1



当 ? 1 ? x ? 0 时, h ?( x ) ? 0 ;当 x ? 0 时, h ? ( x ) ? 0 . 因此, h ( x ) 在 ( ? 1 , 0) 上单调递增,在 (0 , ? ? ) 上单调递减. 因此,当 x ? 0 时, h ( x ) 取得最大值 h (0) ? 2 ; (Ⅲ)当 0 ? b ? a 时, ? 1 ?
l n (1? x )? x .因此,有

b?a 2a

? 0 .由(Ⅱ)知:当 ? 1 ? x ? 0 时, h ( x ) ? 2 ,即

f ( a ? b ) ? f ( 2 a ) ? ln

a?b 2a

b?a? b?a ? ? ln ? 1 ? . ?? 2a ? 2a ?

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21. 解: (Ⅰ) a1 ? 2 , a 2 ? 6 , a 3 ? 12 ; (Ⅱ)依题意,得 x n ?
a n ?1 ? a n 2
? ? ? 3?

, yn ?
2

3?

a n ? a n ?1 2

,由此及 y n2 ? 3 x n 得 ,

a n ? a n ?1 ? 3 ? ? ( a n ?1 ? a n ) 2 2 ?

即 ( a n ? a n ?1 ) 2 ? 2( a n ?1 ? a n ) . 由(Ⅰ)可猜想: a n ? n ( n ? 1) ( n ? N ? ) . 下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n ? 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n ? k 时命题成立,即有 a n ? k ( k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及
( a k ? 1 ? a k ) ? 2( a k ? a k ? 1 )
2

得 [ a k ? 1 ? k ( k ? 1)] 2 ? 2[ k ( k ? 1) ? a k ? 1 ] ,即
( a k ? 1 ) ? 2( k ? k ? 1) a k ? 1 ? [ k ( k ? 1)] ? [( k ? 1)( k ? 2)] ? 0 ,
2 2

解之得
a k ? 1 ? ( k ? 1)( k ? 2) ( a k ? 1 ? k ( k ? 1) ? a k

不合题意,舍去) ,

即当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1)(2)知:命题成立. 、 (Ⅲ) b n ?
1 a n ?1 1 ( n ? 1)( n ? 2 )
1 n ?1 ? 1 2n ? 1

?

1 an?2

?

1 an?3

?? ?

1 a2n

?

?

1 ( n ? 2 )( n ? 3)
n 2 n ? 3n ? 1
2

?? ?

1 2 n ( 2 n ? 1)
1

?

?

?

1? ? ? 2n ? ? ? 3 n? ?



令 f (x) ? 2 x ?

1 x

(x ?1) ,则 f ? ( x ) ? 2 ?

1 x
2

? 2 ? 1 ? 0 ,所以 f ( x ) 在 [1 , ? ? ) 上是增函 1 6

数,故当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最小值 3 ,即当 n ? 1 时, ( b n ) m ax ?
t ? 2mt ?
2



1 6

? b n ( ? n ? N , ? m ? [ ? 1 , 1] ) 1 6

?

? t ? 2mt ?
2

1 6

? ( b n ) m ax ?

,即 t 2 ? 2 m t ? 0 ( ? m ? [ ? 1 , 1] )
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?t 2 ? 2t ? 0 ? ? ? 2 ?t ? 2t ? 0 ?



解之得,实数 t 的取值范围为 ( ?? , ? 2) ? (2 , ? ? ) .

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