【金版学案】2014-2015学年高中数学 2.4.1 等比数列的概念与通项公式同步训练 新人教版必修5

2.4 2.4.1

等比数列

等比数列的概念与通项公式

?基础达标 2a1+a2 * 1.在数列{an}中,对任意 n∈N ,都有 an+1-2an=0,则 的值为( 2a3+a4 1 1 1 A. B. C. D.1 4 3 2 解析:a2=2a1,a3=2a2=4a1,a4=8a1, 2a1+a2 4a1 1 ∴ = = .故选 A. 2a3+a4 16a1 4 答案:A )

9 1 2 2.在等比数列中,a1= ,an= ,q= ,则项数 n 为( 8 3 3 A.3 B.4 C.5 D.6

)

解析:由 a1q 答案:B

n-1

9 =an? · 8

?2? ? ? ?3?

n-1

1 = ? n=4. 3

3. 等差数列{an}的首项 a1=1, 公差 d≠0, 如果 a1, a2, a5 成等比数列, 那么 d 等于( A.3 B.2 C.-2 D.2 或-2 解析:由 a2=a1a5? (a1+d) =a1(a1+4d)? 2 (1+d) =1+4d? d=2.故选 B. 答案:B
2 2

)

4.(2013·江西卷)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.-24 B.0 C.12 D.24 答案:A

)

1

5. 等比数列{an}中, 若 an+2=an, 则公比 q=________; 若 an=an+3, 则公比 q=________. 答案:±1 1

?巩固提高 6.设 a1=2,数列{1+2an}是公比为 2 的等比数列,则 a6 等于( A.31.5 B.160 C.79.5 D.159.5 解析:1+2an=(1+2a1)·2 答案:C
n-1

)

5×32-1 5 ,∴1+2a6=5·2 .∴a6= =79.5. 2

7.三个数成等比数列,它们的和等于 14,它们的积等于 64,则这三个数是________ 或________. 解析:设三数为 ,a,aq,则 +a+aq=14,

a q

a q

a ·a·aq=64, q
1? ? 3 即 a?1+q+ ?=14,a =64,

?

q?

1 解得:a=4,q= 或 2. 2 故所求三数为 8,4,2 或 2,4,8. 答案:8,4,2 2,4,8

8.(1)方程 x -17x+16=0 的两根的等差中项是______,两根的等比中项是______. 8 27 (2) 在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 3 2 ________. 解析:(1)∵x -17x+16=0 的二根的 x1=1,x2=16. 17 ∴x1 与 x2 等差中项为 等比中项为±4. 2 8 27 2 (2)设插入的三数为 a,b,c 则 b =ac= × =36.又 b 与第一项同号,∴b=6,∴插 3 2 3 入的三数之积 abc=b =216. 17 答案:(1) ±4 (2)216 2
2

2

9.等比数列{an}中 a2+a7=66,a3a6=128,求等比数列的通项公式 an. 分析:求等比数列的首项为 a1,q 两个参数即可.
2

解析:解法一:设等比数列的首项为 a1,公比为 q,由题意

a q ? a q ? 66 a 2 ? a 7 ? 66 ? 7 2 a 3a 6 ? 128 a1 ? q ? 128
1 1

6

以下求解 a1,q 不易找到思路. 转换思路,利用等比数列的性质,不难得以下解法. 解法二:设等比数列的首项为 a1,公比为 d,由题意 ?a2+a7=66, ?a2+a7=66, ?a2=2, ?a2=64, ? ? ? ? ? ?? ?? 或? . ? ? ? ? ?a3a6=128 ?a2a7=128 ?a7=64 ?a7=2 a7 5 1 1 5 ∴q = =2 或 5,q=2 或 . a2 2 2 1 n-2 n-1 ∴an=a2q =2 或 n-8. 2 n-1 8-n ∴数列的通项公式为 an=2 或 an=2 . 点评:在解决等比数列的有关问题时,除了直接把题意翻译成数列之外,如果能合理地 利用等比数列的性质,往往可以更简单地得到答案.

10.已知等比数列{an}中,a1=1,公比为 q(q≠1 且 q≠0),且 bn=an+1-an. (1)判断数列{bn}是否为等比数列?说明理由. (2)求数列{bn}的通项公式. 解析:(1)∵等比数列{an}中,a1=1,公比为 q, n-1 n-1 ∴an=a1q =q (q≠0 且 q≠1), bn+1 an+2-an+1 qn+1-qn qn?q-1? 由于 = = = =q, bn an+1-an qn-qn-1 qn-1?q-1? ∴{bn}是首项为 b1=a2-a1=q-1,公比为 q 的等比数列. n-1 n-1 (2)由(1)可知,bn=b1q =(q-1)·q , n-1 ∴bn=(q-1)q (q≠0 且 q≠1).

1.要注意利用等比数列的定义解题.在很多时候紧扣定义是解决问题的关键. 2.注意基本量法:在用等比数列通项公式时,以首项 a1,公比 d 为基本量,其他量用 这两个量表示出来,再寻求条件与结论的联系,往往使很多问题容易解决. -1 3.若已知三个数成等比数列,一般设为:aq ,a,aq; -2 -1 2 若已知五个数成等比数列,一般设为:aq ,aq ,a,aq,aq ; 若前三个数成等差数列、后三个数成等比数列,设四个数分别为 a - d , a , a + d , 2 ?a+d? -1 -1 ,或 2aq -a,aq ,a,aq.

a

具体设法,要视题设条件不同而选择,以便于运算为目的. 4.等比中项概念要掌握好,在题目中经常出现.
3


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