辽宁省沈阳二中2015-2016学年高二上学期期中考试 数学(文)


沈阳二中 2015——2016 学年度上学期期中考试 高二(17 届)数学(文科)试题
命题人: 高二数学组 审校人: 高二数学组
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上

第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? x | x ? a ? 1 , B ? x | x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范 围是( )

?

?

?

?

A.?2,3?

B.?2,3?

C.[2, ??)

D.(??,3]

2.设 a ? R ,则“ a ? 1 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l 2 : x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的 ( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 3. f ? x ? 在 x 0 处可导, a 为常数,则 lim C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

?x ?0

f ? x 0 ? a?x ? ? f ? x 0 ? a?x ? ? ?x
C. af ' ? x0 ? D. 0

A. f ' ? x 0 ?

B.
x

2af ' ? x 0 ?
y

4.已知实数 x , y 满足 a ? a ?0 ? a ? 1? ,则下列关系式恒成立的是(



A.x 3 ? y 3

B. sin x ? sin y

C. ln x 2 ? 1 ? ln y 2 ? 1


?

?

?

?

D.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

5.如果执行如图所示的程序,那么输出的值 k =( A.3 B.4 C.5 D.6

6.若函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 恰好有两个不同零点,则 a 可能为 ( ) A.4 B.6 C.7 D.8 7. 若 定 义 在 区 间 ( -2 , -1 ) 的 函 数 f ( x) ? l o g ( 2a ? 3) ( x ? 2) 满 足

f ( x ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围(



?3 ? A.? ,2 ? ?2 ?

B.?2,???

?3 ? C .? ,??? ?2 ?

? 3? D.? 1, ? ? 2?

5 题图

8. 下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确 的序号是 ..... ( )

A.①②

B.③④

C.①③

D.②④ )

9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 1≤ a5 ≤ 4 , 2 ≤ a 6 ≤ 3 ,则 S6 的取值范围是( A. ??3,33? 10.抛物线 C1 : y ? B. ? ?15,39? C. ? ?12,42 ? D. ? ?15, 42?

1 2 x2 x ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于第 2p 3


一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线,则 p =(

A.

3 16

B.

3 8

C.

2 3 3
'

D.

4 3 3

11. f ? x ? 是定义在 ?0, ? ?? 上的非负可导函数,且满足 xf ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,对任意正数

a, b, 若a ? b ,则必有( A.af (b) ? bf ?a ?



B.bf (a ) ? af ?b?

C .af (a ) ? bf ?b?

D.bf (b) ? af ?a ?

12.下列三图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边上的中点,双曲线均以图中的 F1、F2 为焦点,设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为 e1,e2,e3,则 A.e1>e2>e3 C. e1=e3<e2 B. e1<e2<e3 D.e1=e3>e2 ( )

第Ⅱ卷 (90 分) 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知方程

1 x2 ? y 2 ? 1表示的曲线是焦点在 x 轴上且离心率为 的椭圆,则 m ? 2 m

14.定义在 R 上的偶函数 y ? f ? x ? 在 ?0, ??? 上单调递增, 则不等式 f ? 2x ?1? ? f ?3? 的解集 为 15.已知 f ( x ) ? x ? f ( ) x ? x ,则 f ( x ) 的图像在点 ? ?
3 ' 2

2 3

? 2 ? 2 ?? , f ? ?? ? 处的切线斜率是 ? 3 ? 3 ??

16.已知 f ( x) ? xe x , g( x) ? ?( x ? 1) 2 ? a, 若?x1 , x2 ? R, 使得f ? x2 ? ? g? x1 ? 成立,则实 数 a 的取值范围是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
17.(本小题满分 10 分)
2 4 已知函数 f ? x ? ? k x ?

2 3 x ? kx 2 ? 2 x ,是否存在实数 k ,使函数在 ?1,2? 上递减,在 3

?2,??? 上递增?若存在,求出所有 k 值;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分 12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , a ? 2b sin A (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围。 .

19.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: an?1 ? an (n ? N * ) , a1 ? 1 ,该数列的前三项分别 加上 1,1,3 后顺次成为等比数列 ?bn ? 的前三项 (Ⅰ)分别求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式 an , bn (Ⅱ)设 Tn ? 最小值

a a1 a2 2n ? 3 1 ? ? c(c ? Z ) 恒成立,求 c 的 ? ? ? ? n (n ? N * ), 若 Tn ? n 2n b1 b2 bn

20.(本小题满分 12 分) 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一 点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD, 如图 1-9(2). (1)求证:DE∥平面 A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ?2a 2 ln x ?

1 2 x ? ax (a ? R) . 2

(Ⅰ) 讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 在区间 [1, e] 的最小值.

22.(本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ?1 如图,抛物线 C1 : y ? 2 px 与椭圆 C 2 : 16 12
2

y B E A D

C

在第一象限的交点为 B , O 为坐标原点, A 为椭圆的右顶点,

?OAB 的面积为

8 6 . 3

O

x

F

(Ⅰ)求抛物线 C1 的方程;

D 两点, F 两点, OD 分别交 C 2 于 E 、 (Ⅱ) 过 A 点作直线 l 交 C1 于 C 、 射线 OC 、 记 ?OEF
和 ?OCD 的面积分别为 S1 和 S 2 ,问是否存在直线 l ,使得 S1 : S 2 ? 3 : 77 ?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

沈阳二中 2015——2016 学年度上学期期中 高二(17 届)数学(文科)试题答案
一、选择题 BBBAB ABBCD AD 二、填空题 13.

4 3
1 2

14.(-1,2)

15.

-1

16. [?

1 ,? ?) e

三、解答题 17. 存在

k?

f ??x? ? 4k 2 x 3 ? 2x 2 ? 2kx ? 2
令 f′(2)=0,得 k= -3/8,

1 2

---------5 分

当 k= -3/8 时,在(1,2)上有 f′(3/2)>0,不符题意,舍;--7 分

k?

1 时, f ??x? ? x 3 ? 2x 2 ? x ? ?2 ? ?x ? 1??x ? 1??x ? 2? 2

在 ?1,2? 上 f ??x ? ? 0 ,在 ?2,??? 上 f ??x ? ? 0 即函数在 ?1,2? 上递减,在 ?2,??? 上递增 所以 k ?

1 -----------10 分 2
,所以 ,

18. 解:(1)由

,根据正弦定理得



为锐角三角形得

.高源? 666666????4 分

(2)

.??8 分



为锐角三角形知,

?? ? ? A?? , ? ?3 2?

故 A?

?

? 2? 5? ? ?? , ? 3 ? 3 6 ?

所以



由此

,所以

的取值范围为

.12 分

19. 解: (Ⅰ) 设等差数列 ?an ? 公差为 d , 前三项分别为 1,1 ? d ,1 ? 2d , 所以等比数列 ?bn ? 的
前三项为 2,2 ? d ,4 ? 2d ,? ?2 ? d ? ? 2(4 ? 2d ) ,解得 d ? 4
2
2

又 an?1 ? an (n ? N * ) ,? d ? 0,? d ? 2 。? a n ? 2n ? 1 (Ⅱ) Tn ?

bn ? 2n

??6 分

a a1 a 2 1 1 1 1 ? ? ? ? n ? 1 ? ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? ?2n ? 1? n ① 2 2 2 2 b1 b2 bn

1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 4 ? ? ? ?2n ? 1? n?1 ② 2 2 2 2 2
①-②得 Tn ?

1 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 ? ?2n ? 1? n?1 2 2 2 2 2 2 2

1? 1 ? ? 1 ? n ?1 ? 1 2 1 2 ? ? ? ? ? ?2n ? 1? n ?1 1 2 2 1? 2
Tn ?

? 3?

2n ? 3 2n

2n ? 3 1 1 2n ? 3 1 ? ? c(c ? Z ) 恒成立,则 c ? 3 , c 的最小值为 ? ? 3 ? ,若 Tn ? n n n n 2n 2

3. ??12 分 20.解:(1)证明:因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DE∥BC. 又因为 DE?平面 A1CB,所以 DE∥平面 A1CB.……4 分 (2)证明:DE⊥A1D,DE⊥CD,所以 DE⊥平面 A1DC. 而 A1F?平面 A1DC,所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 BCDE,所以 A1F⊥BE. …… 8 分 (3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ. 理由如下:如下图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP, 由(2)知,DE⊥平面 A1DC,所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP.所以 A1C⊥平面 DEP.从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ.……12 分

21.解:函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) , (Ⅰ) f ?( x) ?

x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? 2a )( x ? a ) , ? x x

(1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? x ? 0 ,所以 f ( x) 在定义域为 (0,??) 上单调递增;

(2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a (舍去) , x2 ? a , 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下: 此时, f ( x) 在区间 (0, a ) 单调递减,在区间 (a,??) 上单调递增;

(3)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a , x2 ? a (舍去) , 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下: 此时, f ( x) 在区间 (0,?2a ) 单调递减, 在区间 (?2a,??) 上单调递增. ??6 分

(Ⅱ)由 (Ⅰ)知当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 (0,?2a ) 递减,在区间 (?2a,??) 上单调递增.

e 时, f ( x) 在区间 [1, e] 单调递减, 2 1 所以, [ f ( x)]min ? f (e) ? ?2a 2 ? ea ? e 2 ; 2 e 1 (2)当 1 ? ?2a ? e ,即 ? ? a ? ? 时, f ( x) 在区间 (1,?2a ) 单调递减, 2 2
(1)当 ? 2a ? e ,即 a ? ? 在区间 (?2a, e) 单调递增,所以 [ f ( x)]min ? f (?2a ) ? ?2a 2 ln(?2a ) , (3)当 ? 2a ? 1 ,即 ?

1 ? a ? 0 时, f ( x) 在区间 [1, e] 单调递增, 2

所以 [ f ( x)]min ? f (1) ? a ?

1 .12 分 2

解: (Ⅰ)因为 ?OAB 的面积为

8 6 4 6 ,所以 y B ? ,?????2 分 3 3

代入椭圆方程得 B( ,

4 4 6 ) , 抛物线的方程是: y 2 ? 8x ?????4 分 3 3

(Ⅱ) 存在直线 l : x ? 11y ? 4 ? 0 符合条件 解:显然直线 l 不垂直于 y 轴,故直线 l 的方程可设为 x ? my ? 4 , 与 y 2 ? 8x 联立得 y 2 ? 8my ? 32 ? 0 . 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 8m, y1 ? y 2 ? ?32

1 OC OD sin ?COD OC OD y y 32 S . ? 2 ?2 ? ? 1 2 ? 1 y y S1 OE OF y y E F E F OE OF sin ?EOF 2
由直线 OC 的斜率为

y1 x2 y2 8 8 ? ? 1 联立得 x ,与 ? ,故直线 OC 的方程为 y ? 16 12 y1 x1 y1
yE (
2

y1 y 1 1 2 ? ) ? 1 ,同理 y F ( 2 ? ) ? 1 , 64 ? 16 12 64 ? 16 12
2 2

2

2

y y 36 ? 256 1 1 2 所以 yE ? y F ( 1 ? )( 2 ? ) ? 1 可得 yE 2 ? yF ? 121 ? 48m 2 64 ? 16 12 64 ? 16 12
2
2

要使

S 2 77 322 (121 ? 48m2 ) ? 77 ? ,只需 ? ?? ? S1 3 36 ? 256 ? 3?

2

2 即 121 ? 48m ? 49 ?121解得 m ? ?11 ,

所以存在直线 l : x ? 11y ? 4 ? 0 符合条件

??12 分


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