课堂设计2015_2016学年高中数学3.1.2椭圆的简单性质课后作业北师大版选修2_1

1.2 椭圆的简单性质 1.(2014 大纲全国高考)已知椭圆 C:=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4,则 C 的方程为( ) A.=1 B.+y2=1 C.=1 D.=1 解析:∵=1(a>b>0)的离心率为, ∴. 又∵过 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点, △AF1B 的周长为 4, ∴4a=4,∴a=. ∴b=,∴椭圆方程为=1,选 A. 答案:A 2.已知对 k∈R,直线 y-kx-1=0 与椭圆=1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(5,+∞) C.[1,5)∪(5,+∞) D.[1,5) 解析:直线 y-kx-1=0 恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线才恒与椭圆有公共点, ∴≤1,且 m>0,得 m≥1.又 m≠5,故选 C. 答案:C 3.如图所示,某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一 个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕 月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用 2c1 和 2c2 分别表 示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④.其中正确式子的序号是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 解析:由题意知,a1>a2,c1>c2,故①错误. 对于轨道Ⅰ有|PF|=a1-c1;对于轨道Ⅱ有|PF|=a2-c2, ∴a1-c1=a2-c2,∴②正确. ∵a1-c1=a2-c2,a1>a2, ∴,即 1-<1-, ∴, 即 c1a2>c2a1,∴③正确,④错误. 答案:B 4.过椭圆=1 内的一点 P(2,-1)的弦,恰好被 P 点平分,则这条弦所在的直线方程为( A.5x-3y-13=0 B.5x+3y-13=0 C.5x-3y+13=0 D.5x+3y+13=0 解析:设过点 P 的弦与椭圆交于 A1(x1,y1),A2(x2,y2)两点,则 且 x1+x2=4,y1+y2=-2, ∴(x1-x2)-(y1-y2)=0, ) 1 ∴. ∴过点 P 的弦所在的直线方程为 y+1=(x-2),即 5x-3y-13=0. 答案:A 5.若点 O 和点 F 分别为椭圆=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 解析:由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0), 则·=(x0,y0)·(x0+1,y0)=+x0+. ∵P 为椭圆上一点,∴=1. 2 ∴·+x0+3+x0+3=(x0+2) +2. ∵-2≤x0≤2, ∴·的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6. 答案:C 6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程 是 . 2 2 2 解析:由已知,得 a=2b,c=2,又 a -b =c , 2 2 故 b =4,a =16,又焦点在 x 轴上, 故椭圆方程为=1. 答案:=1 7.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点 P 使,则该椭圆的离 心率的取值范围为 . 解析: 如图所示, e=-1. ∵|PF2|<a+c, ∴e=-1>-1,即 e>-1, 2 ∴e +2e-1>0. 又∵0<e<1,∴-1<e<1. 答案:(-1,1) 8. 如图,把椭圆=1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点,则 |P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= . 解析:设 F1 是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同 理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a. 又|P4F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35. 答案:35 9.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为,且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和 为 12,则椭圆 G 的方程为 . 解析:由题设,知 2a=12,,∴a=6,c=3.∴b=3. 答案:=1 2 10.已知椭圆 x +(m+3)y =m(m>0)的离心率 e=,求 m 的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点 坐标. 解:椭圆方程可化为=1(m>0). ∵m->0, ∴m>, 2 2 即 a =m,b =, ∴c=. 由 e=,得, ∴m=1. 2 ∴椭圆的标准方程为 x +=1. ∴a=1,b=,c=. ∴椭圆的长轴长为 2,短轴长为 1,两焦点坐标分别为 F1,F2,四个顶点坐标分别为 A1(1,0),A2(1,0),B1,B2. 11.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,-6); (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为 6. 解:(1)设椭圆的标准方程为=1 或=1(a>b>0). 由已知 a=2b,① 且椭圆过点(2,-6), 从而有=1 或=1.② 2 2 2 2 由①②,得 a =148,b =37,或 a =52,b =13. 故所求椭圆的方程为=1 或=1. 2 2 (2)如图所示,△A1FA2 为一等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 的中线(高),且 OF=c,A1A2=2b, 2 2 2 ∴c=b=3.∴a =b +c =18. 故所求椭

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