黑龙江省齐齐哈尔市实验中学2014-2015学年高二下学期期中考试理科数学试题


齐齐哈尔实验中学 2014-2015 学年度高二下学期期中考试

数学试题(理)
本卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第I卷

(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A=B={1,2,3,4,5,6,7},映射 f:A→B 满足 f(1)<f(2)<f(3)<f(4),则这样的映 射 f 的个数为( )
4 3 A. C7 A3 4 B. C 7

C.77

4 3 D. C 7 7

2.将标号为 1,2,?,10 的 10 个球放入标号为 1,2,?,10 的 10 个盒子内,每一个盒内 放一个球,恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为( ) A.120 B.240 C.360 D.720 3. 在 (a ? b) n 中展开式中第 7 项二项式系数最大,则 n =( ) A.12 B.11 或 13 C. 11 或 12 或 13 D. 12 或 13

4. 设 a, b, m 为常数,若 a 和 b 被 m 除所得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余,记
0 1 2 20 20 a ≡ b(modm) ,若 a ? C20 ? C20 ? 2 ? C20 ? 22 ? ? ? C20 2 ,则 a ≡ b(mod10) ,则 b 的值

可能为( A.2011

) B.2012 C.2013 D.2014

5.抛掷两枚骰子,至少有一枚出现 4 点或 5 点时,就说这次试验成功,则在 10 次试验中,成 功次数 X 的均值为( ) A.

50 9

B.

200 81

C.

500 81

D.

200 9


6. 设 X ~ N (1, ? 2 ) ,则函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? X 不存在零点的概率为( A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

7. 设 X ~ B (10,0.8)则 k ? (

)时, P( x ? k ) 最大

A. 8 B. 9 C. 8 或 9 D. 7 或 8 8. 签盒中有编号为 1,2,3,4,5,6 的 6 支签,从中任意取 3 支,设 X 为这 3 支签的号码中 最大的一个,则 X 的均值为( ) A. 5 B. 5.25 C. 5.8 D. 4.6 9. 已知函数 f ( x ) ? x ? ax 在[1, ? ?) 上单调递增函数,则实数 a 的最小值是(
3



A. 0

B. ? 1

C. ? 2

D. ? 3

2 10.设函数 f ( x ) ? g( x ) ? x ,曲线 y ? g( x ) 在点 (1, g(1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则

曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为( A. 4 B. ?

) D. ?

1 4

C. 2

1 2

11. 已知函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? x ? 2(a ? 0) 的极大值点和极小值点都在区间 (?1,1) 内,则 实数 a 的取值范围是( A. ?0, 2? 12. 已知函数 f ? x ? ? ( ) ) B.(0,2) C.[ 3,2) D. ( 3,2 )

1 2 x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大致是 4

第 II 卷
2 x
n

(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) 13. ( x ? ) 的展开式中的第 5 项是常数项,则 n ? 14. 若 (1 ? 2x)2015 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?a2015 x2015 ( x ? R) , 则 为
x

.

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2015 的值 2 2 2 2015
.

.

15.点 P 是曲线 y ? e 上任意一点,点 P 到直线 y ? x 的最小距离为
x

16. 已知函数 f ( x) ? e ? a ln x 的定义域是 D ,关于函数 f ( x ) 给出下列命题: ①对于任意 a ? (0, ??) ,函数 f ( x ) 是 D 上的增函数 ②对于任意 a ? (??,0) ,函数 f ( x ) 存在最小值 ③存在 a ? (0, ??) ,使得对于任意的 x ? D ,都有 f ( x ) ? 0 成立 ④存在 a ? (??,0) ,使得函数 f ( x ) 有两个零点 其中正确命题的序号是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 甲、 乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 X 与 Y, 且 X,Y 的分布列为 X P 1 a 2 0.1 3 0.6

Y P

1 0.3

2 b

3 0.3

(1)求 a,b 的值; (2)计算 X,Y 的期望与方差,并以此分析甲、乙技术状况.

18. (本小题满分 12 分)一只口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球,那么: (1)先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率是多少? (2)先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?

19.(本小题满分 12 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜 2 局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛, 假设每局甲获胜概率为 各局比赛结果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列. 20. (本小题满分 12 分)盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些球 除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P; (2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球,黄球,绿球的个数分别记为 x1 , x2 , x3 ,随机变 量 X 表示 x1 , x2 , x3 中的最大数,求 X 的概率分布列和数学期望.

1 2 , 乙获胜概率为 , 3 3

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=alnx+ x +(a+1)x+3 (1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)的单调递减区间. (2)若函数 f(x)在区间(0,+ ? )上是增函数,求实数 a 的取值范围.

2

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 ( f x) =4x ﹣3x cosθ+

3

2

cosθ 其中 x∈R, θ 为参数, 且 0≤θ≤2π.

(1)当 cosθ=0 时,判断函数 f(x)是否有极值; (2)要使函数 f(x)的极小值大于零,求参数 θ 的取值范围.

齐齐哈尔实验中学 2014-2015 学年度高二下学期期中考试

数学试题(理)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C A A C A B D A D A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) 13. 12 15. 14.

?1

2 2

16.①②④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解: (1) a ? 0.3, b ? 0.4

, D(Y ) ? 0.6 (2) E ( X ) ? 2.3, E (Y ) ? 2, D( X ) ? 0.81 ? E ( X ) ? E (Y ) ,说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,
但 D( X ) ? D(Y ) ,说明甲的得分的稳定性不如乙

? 甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.
18. 解: (1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A, “再摸出 1 个白球” 为事件 B,则“先 后两次摸到白球” 为事件 AB,则 P ( AB ) ?

2 ?1 1 ? 4?3 6
1 6

? 先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率是
2? 2 1 ? 4? 4 4

(2)设“先摸出 1 个白球放回”为事件 C, “再摸出 1 个白球” 为事件 D,则“两次都摸到 白球” 为事件 CD,则 P (CD ) ?

? 先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是

1 4

19.解:设事件 A:甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛,

Ak 表示第 k 局甲获胜, Bk 表示第 k 局乙获胜,
则 P( Ak ) ?

2 1 , P( Bk ) ? (k ? 1,2,3,4,5) 3 3 56 81

(1) P ( A) ? P( A1 A2 ) ? P ( B1 A2 A3 ) ? P ( A1 B2 A3 A4 ) ? (2) X 的可能取值为 2,3,4,5

P( X ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( B1 B2 ) ?

5 9 2 9 10 81 8 81
4 5

P( X ? 3) ? P( B1 A2 A3 ) ? P( A1 B2 B3 ) ?

P( X ? 4) ? P( A1 B2 A3 A4 ) ? P( B1 A2 B3 B4 ) ?

P( X ? 5) ? 1 ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ?

? X 的分布列为
X P 2 3

5 9

2 9

10 81

8 81

20. 解: (1)取出的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球,2 个黄球或 2 个绿球

?P ?

2 2 C4 ? C32 ? C2 5 ? 2 18 C9

(2) X 的可能取值为 2,3,4

P ( X ? 4) ? P( X ? 3) ?

4 C4 1 ? 4 C 9 126 3 1 3 1 C4 C5 ? C3 C 6 13 ? 4 63 C9

P( X ? 2) ? 1 ? P( X ? 3) ? P( X ? 4) ?

11 14
3 4

? X 的分布列为
X P 2

11 14

13 63

1 126

? X 的数学期望 E ( X ) ?

20 9
2

21.解: (1)a=﹣1 时,f(x)=﹣lnx+ x +3, ∴f′(x)=x﹣ , 令 f′(x)<0,解得:0<x<1, ∴f(x)在(0,1)递减; (2)∵f′(x)= +x+a+1, (x>0) ,

? f ( x) 在(0, ? ? )上是增函数

? f′(x)≥0 在(0, ? ? )上恒成立,即 +x+a+1≥0 在(0, ? ? )上恒成立
整理得:a(1+x)≥﹣x(1+x) ,∴a≥0.

22. 解: (1)当 cosθ=0 时,f(x)=4x ,f′(x)=12x ≥0,则 f(x)在(﹣∞,+∞)内是增函 数,故无极值. (2)f′(x)=12x ﹣6xcosθ,
2

3

2



当 cosθ>0 时容易判断 ( f x) 在 上是减函数, 故 f(x)在 由 ,即 , 故 . >0,可得

上是增函数, 在



同理,可知当 cosθ<0 时,f(x)在 x=0 处取极小值 f(0)=

cosθ>0,即 cosθ>0,与 cosθ

<0 矛盾, 所以当 cosθ<0 时,f(x)的极小值不会大于零. 综上,要使函数 f(x)在 R 上的极小值大于零,参数 θ 的取值范围为


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