专题三第2讲数列求和及综合应用_图文

专题三 数 列 第 2 讲 数列求和及综合应用 1.(2016· 北京卷)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 a1=6,a3+a5=0,则 S6=________. 解析:∵a3+a5=2a4,∴a4=0. ∵a1=6,a4=a1+3d,∴d=-2. 6×(6-1) ∴S6=6a1+ d=6. 2 答案:6 2.(2016· 全国Ⅱ卷)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5 +a7=6. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=[an],求数列{bn}的前 10 项和,其中[x]表 示不超过 x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 解:(1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ?a1=1, ? ? ?2a1+5d=4, 由题意有? 解得? 2 . ? ?d = ?a1+5d=3, ? 5 2n+3 ∴{an}的通项公式为 an= . 5 ? ? 2 n + 3 ? ? (2)由(1)知,bn=? ?. ? 5 ? 2n+3 当 n=1,2,3 时,1≤ <2,bn=1; 5 2n+3 当 n=4,5 时,2≤ <3,bn=2; 5 2n+3 当 n=6,7,8 时,3≤ <4,bn=3; 5 2n+3 当 n=9,10 时,4≤ <5,bn=4. 5 ∴数列{bn}的前 10 项和为 1×3+2×2+3×3+4×2 =24. 1.数列求和 (1)分组转化求和. 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若 将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列 或常见的数列,即先分别求和,然后再合并. (2)错位相减法求和. 错位相减法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所 用的方法, 这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和, 其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法求和. 裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后, 某 些 项 可以 相 互 抵消 从 而 求和 的 方 法, 主 要 适用 于 ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ?或? ? ( 其中 {an} 为等差数列 ) 等形式的数列求 ? ?anan+1? ? ? ?anan+2? ? 和. 2.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的交汇问题一般是利用函数作为背景, 给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出 Sn 的 表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类 问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进 行准确的转化.数列与不等式的交汇问题一般以数列为 载体,考查最值问题,不等关系或恒成立问题. 角度 1 分组转化求和 [例 1-1] (2016· 浙江卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通项公式 an; (2)求数列{|an-n-2|}的前 n 项和. ? ?a1+a2=4, ? ?a1=1, 解:(1)由题意得? 则? ? ?a2=2a1+1, ? ?a2=3. 又当 n≥2 时,由 an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)= 2an,得 an+1=3an, ∴数列{an}的通项公式为 an=3n-1,n∈N*. (2)设 bn=|3n-1-n-2|,n∈N*, 则 b1=2,b2=1. 当 n≥3 时,由于 3n-1>n+2, 故 bn=3n-1-n-2,n≥3. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 则 T1=2,T2=3, 当 n≥3 时 , Tn = 3 + 9(1-3n-2) 1-3 - (n+7)(n-2) = 2 3n-n2-5n+11 , 2 ?2 , n=1, ? ∴Tn=?3n-n2-5n+11 ? ,n≥2,n∈N*. 2 ? [规律方法] 在处理一般数列求和时,一定要注意运 用转化思想. 把一般的数列求和转化为等差数列或等比数 列进行求和.在利用分组求和法求和时,常常根据需要对 项数 n 进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个表达 式. 角度 2 裂项相消法求和 [例 1-2] (2016· 重庆南开二诊)若 An 和 Bn 分别表示 数列{an}和{bn}的前 n 项的和,对任意正整数 n,an=2(n +1),3An-Bn=4n.(导学号 53130024) (1)求数列{bn}的通项公式; 2 (2)记 cn= ,求{cn}的前 n 项和 Sn. An+Bn 解:(1)由于 an=2(n+1), ∴{an}为等差数列,且 a1=4. n(a1+an) n(4+2n+2) 2 ∴An= = =n +3n, 2 2 ∴Bn=3An-4n=3(n2+3n)-4n=3n2+5n, 当 n=1 时,b1=B1=8, 当 n≥2 时, bn=Bn-Bn-1=3n2+5n-[3(n-1)2+5(n -1)]=6n+2. 由于 b1=8 适合上式, ∴bn=6n+2. ? 1 1 2 2 1? ? ? (2)由(1)知 cn= = 2 = ?n- ?, 4 n + 2 An+Bn 4n +8n ? ? ∴Sn= 1??1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ?? - ?+? - ?+? - ?+? - ?+?+ 4??1 3? ?2 4? ?3 5? ?4 6? ? 1 ? ?1 ?? 1 1 ? ? ? - ?? - + ?n-1 n+1? ?n n+2??= ? ? ? ?? ? ? 1 ? 1 1 1 1 1? 3 1 ?1+ - ? ? ? - + = - 2 n+1 n+2? 8 4?n+1 n+2?. 4? ? ? ? ? [规律方法] 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一 项裂成两项或多项, 使这些裂开的项出现有规律的相互抵 消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项. 2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项, 前边剩第几项,后边就剩倒

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