2019版高中数学 第一章 集合与函数概念章末综合测评 新人教A版必修1.doc

2019 版高中数学 第一章 集合与函数概念章末综合测评 新人教 A 版 必修 1
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U={x|x∈N ,x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)等于( A.{1,4} C.{2,5} B.{1,5} D.{2,4}
*

)

【解析】 由题意得 A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又 U={1,2,3,4,5},∴?U(A∪B) ={2,4}. 【答案】 D 2.下列各式:①1∈{0,1,2};②??{0,1,2};③{1}∈{0,1,2};④{0,1,2}={2,0,1}, 其中错误的个数是( A.1 个 C.3 个 【解析】 ①1∈{0,1,2},正确; ②空集是任何集合的子集,正确; ③因为{1}? {0,1,2},故不正确; ④根据集合的无序性可知正确.故选 A. 【答案】 A 3.下列各图形中,是函数的图象的是( ) ) B.2 个 D.4 个

【解析】 函数 y=f(x)的图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点,故 A,B,C 均不正确,故选 D. 【答案】 D 4.集合 A={x|y= x-1},B={y|y=x +2},则如图 1 阴影部分表示的集合为( 【导学号:97030070】
2

)

图1 A.{x|x≥1} B.{x|x≥2}

C.{x|1≤x≤2}

D.{x|1≤x<2}

【解析】 易得 A=[1,+∞),B=[2,+∞),则题图中阴影部分表示的集合是?AB= [1,2).故选 D. 【答案】 D 5.已知函数 f(2x+1)=3x+2,则 f(1)的值等于( A.2 C.5 B.11 D.-1 )

【解析】 由 2x+1=1 得 x=0,故 f(1)=f(2×0+1)=3×0+2=2,故选 A. 【答案】 A 6.下列四个函数:①y=x+1;②y=x-1;③y=x -1; 1 ④y= ,其中定义域与值域相同的是( x A.①②③ C.②③ ) B.①②④ D.②③④
2 2

【解析】 ①y=x+1,定义域 R,值域 R;②y=x-1,定义域 R,值域 R;③y=x -1, 1 定义域 R,值域[-1,+∞);④y= ,定义域(-∞,0)∪(0,+∞),值域(-∞,0)∪(0,

x

+∞).∴①②④定义域与值域相同,故选 B. 【答案】 B
?x+1, ? 7.若函数 f(x)=? ? + ?

, , ,

则 f(-3)的值为(

)

A.5 C.-7

B.-1 D.2

【解析】 依题意,f(-3)=f(-3+2)=f(-1) =f(-1+2)=f(1)=1+1=2,故选 D. 【答案】 D 8.函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,-3) C.(3,+∞) B.(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) )

【解析】 因为函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),所以 2m>-m+9, 即 m>3. 【答案】 C 9.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=3,则奇函数 f(x)的值域是( A.(-∞,-3] B.[-3,3] )

C.[-3,3]

D.{-3,0,3}

【解析】 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),f(0)=0, 设 x<0,则-x>0,f(-x)=-f(x)=3, ∴f(x)=-3, 3,x>0, ? ? ∴f(x)=?0,x=0, ? ?-3,x<0, 【答案】 D 10.已知 f(x)=x -ax +bx+2 且 f(-5)=17,则 f(5)的值为( A.-13 C.-19
5 3 5 3

∴奇函数 f(x)的值域是{-3,0,3}.

)

B.13 D.19

【解析】 ∵g(x)=x -ax +bx 是奇函数,∴g(-x)=-g(x). ∵f(-5)=17=g(-5)+2,∴g(5)=-15,∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13. 【答案】 A 11.已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a -4a,-1},N={b -4b+1,-2}, 映射 f:x→x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于( A.1 C.3 B.2 D.4 )
2 2

【解析】 ∵集合 M 中的元素-1 不能映射到 N 中为-2,
? ?a -4a=-2, ∴? 2 ?b -4b+1=-1, ?
2 2

? ?a -4a+2=0, 即? 2 ?b -4b+2=0, ?

2

∴a,b 为方程 x -4x+2=0 的两根, ∴a+b=4. 【答案】 D 12 .定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足:对任意的 x1 , x2∈[0,+∞)(x1≠x2) ,有

f x2 -f x1 <0,则( x2-x1
A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

)

【解析】 任意的 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有

f x2 -f x1 <0,∴f(x)在[0, x2-x1

+∞)上单调递减. 又 f(x)是偶函数,故 f(x)在(-∞,0]上单调递增. 且满足 n∈N 时,f(-2)=f(2),3>2>1>0,由此知,此函数具有性质:自变量的绝 对值越小,函数值越大,∴f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. 【答案】 A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上) 13.若 A={-2,2,3,4},B={x|x=t ,t∈A},用列举法表示集合 B 为________. 【解析】 由 A={-2,2,3,4},B={x|x=t ,t∈A},得 B={4,9,16}. 【答案】 {4,9,16} 14. 若函数 f(x)=(a-2)x +(a-1)x+3 是偶函数, 则 f(x)的增区间是________. 【导 学号:97030072】 【解析】 ∵函数 f(x)=(a-2)x +(a-1)x+3 是偶函数,∴a-1=0,∴f(x)=-x +3,其图象是开口方向朝下,以 y 轴为对称轴的抛物线.故 f(x)的增区间为(-∞,0]. 【答案】 (-∞,0]
? ?2x,x>0, 15. 已知函数 f(x)=? ?x+1,x≤0, ?
2 2 2 2 2 *

若 f(a)+f(1)=0, 则实数 a 的值等于________.

【解析】 ∵f(1)=2×1=2, 若 a>0,则 f(a)=2a, 由 2a+2=0,得 a=-1 舍去, 若 a≤0,则 f(a)=a+1, 由 a+1+2=0 得 a=-3,符合题意. ∴a=-3. 【答案】 -3 16.函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为 单函数,例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x (x∈R)是单函数; ②函数 f(x)=
2

x

x-1

是单函数;

③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 【解析】 ①函数 f(x)=x (x∈R)不是单函数,例如 f(1)=f(-1),显然不会有 1 和 -1 相等,故为假命题;
2

②函数 f(x)=

是单函数,因为若 = ,可推出 x1x2-x2=x1x2-x1,即 x1= x-1 x1-1 x2-1

x

x1

x2

x2,故为真命题;
③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2)为真, 可用反证法证明:假设 f(x1)=f(x2),则按定义应有 x1=x2,与已知中的 x1≠x2 矛盾; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数为真,因为单函数的实质是一对一的映 射,而单调的函数也是一对一的映射,故为真. 【答案】 ②③④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)设全集 U=R,集合 A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}. (1)求?U(A∩B); (2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 【解】 (1)由集合 B 中的不等式 2x-4≥x-2,解得 x≥2,∴B={x|x≥2},又 A={x| -1≤x<3}, ∴A∩B={x|2≤x<3},又全集 U=R,∴?U(A∩B)={x|x<2 或 x≥3}. (2)由集合 C 中的不等式 2x+a>0,解得 x>- , 2 ∴C=?x?x>- 2 ? ? ?
? ?

a

?

a

? ? ?. ? ?

∵B∪C=C,∴B? C,∴- <2,解得 a>-4. 2 18.(本小题满分 12 分)设 A={x|2x +ax+2=0},B={x|x +3x+2a=0},且 A∩B= {2}. (1)求 a 的值及集合 A,B; (2)设全集 U=A∪B,求(?UA)∪(?UB); (3)写出(?UA)∪(?UB)的所有子集. 【解】 (1)由交集的概念易得 2 是方程 2x +ax+2=0 和 x +3x+2a=0 的公共解, 则
2 2 2 2

a

a=-5,此时 A=? ,2?,B={-5,2}.
?2 ? ? 1 ? (2)由并集的概念易得 U=A∪B=?-5, ,2?. 2 ? ? ?1? 由补集的概念易得?UA={-5},?UB=? ?, ?2? ? 1? 所以(?UA)∪(?UB)=?-5, ?. 2? ?

?1

?

? ?1? ? 1? 1? (3)(?UA)∪(?UB)的所有子集即为集合?-5, ?的所有子集:?,? ?,{-5},?-5, ?. 2? 2? ? ?2? ?

19. (本小题满分 12 分)已知 f(x)是 R 上的奇函数, 当 x>0 时, 解析式为 f(x)= 【导学号:02962010】 (1)求 f(x)在 R 上的解析式; (2)用定义证明 f(x)在(0,+∞)上为减函数. -2x+3 【解】 (1)设 x<0,则-x>0,∴f(-x)= . -x+1 又∵f(x)是 R 上的奇函数, -2x+3 -2x+3 ∴f(-x)=-f(x)= ,∴f(x)= . -x+1 x- 1 又∵奇函数在 0 点有意义,∴f(0)=0,

2x+3 . x+1

? ? ∴函数的解析式为 f(x)=?0,x=0, 2x+3 ? ? x+1 ,x>0.
2x1+3 2x2+3 则 f(x1)-f(x2)= - x1+1 x2+1 = =

-2x+3 ,x<0, x-1

(2)证明:设? x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,

x1+

x2+ - x2+ x 1+ x2+
.

x1+

-x1+x2 x1+ x2+

∵x1,x2∈(0,+∞),x1<x2, ∴x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2),∴函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数. 20.(本小题满分 12 分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台 1 ? ?400x- x2,0≤x≤400, 2 仪器需要增加投入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)=? ? ?80 000,x>400, 中 x 是仪器的月产量.当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润是多少? 【解】 由于月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x, 从而利润 f(x)=



1 ? ?300x- x2-20 000,0≤x≤400, 2 R(x)=? ? ?60 000-100x,x>400, 1 2 当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300) +25 000, 2 所以当 x=300 时,有最大值 25 000; 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, 所以 f(x)=60 000-100×400<25 000. 所以当 x=300 时,有最大值 25 000, 即当月产量为 300 台时,公司所获利润最大,最大利润是 25 000 元. 21.(本小题满分 12 分)已知 f(x)在 R 上是单调递减的一次函数,且 f(f(x))=4x-1. (1)求 f(x); (2)求函数 y=f(x)+x -x 在 x∈[-1,2]上的最大值与最小值. 【解】 (1)由题意可设 f(x)=ax+b,(a<0),由于 f(f(x))=4x-1,则 a x+ab+b =4x-1,
? ?a =4, 故? ?ab+b=-1, ?
2 2 2

解得 a=-2,b=1.故 f(x)=-2x+1.
2 2 2

(2)由(1)知,函数 y=f(x)+x -x=-2x+1+x -x=x -3x+1, 3 2 2 故函数 y=x -3x+1 的图象开口向上,对称轴为 x= ,则函数 y=f(x)+x -x 在 2

?-1,3?上为减函数,在?3,2?上为增函数. ? ?2 ? 2? ? ? ? ?
5 ?3? 又由 f? ?=- ,f(-1)=5,f(2)=-1, 4 ?2? 5 2 则函数 y=f(x)+x -x 在 x∈[-1,2]上的最大值为 5,最小值为- . 4

x+b 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= 2为奇函数. 1+x
(1)求 b 的值; (2)证明:函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数; (3)解关于 x 的不等式 f(1+x )+f(-x +2x-4)>0. 【解】 (1)∵函数 f(x)=
2 2

x+b 2为定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=b=0. 1+x

(2)由(1)可得 f(x)= 2,下面证明函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数. 1+x 证明:设 x2>x1>1,

x

则有 f(x1)-f(x2)=

- 2= 1+x 1+x2
2 1 2

x1

x2

2 2 x1+x1x2 -x2-x2x1 x1-x2 = 2 2 2 +x1 +x2 +x1 2

-x1x2 . 2 +x2

再根据 x2>x1>1,可得 1+x1>0,1+x2>0,x1-x2<0,1-x1x2<0, ∴

x1-x2 2 +x1

-x1x2 >0, 2 +x2

即 f(x1)>f(x2), ∴函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数. (3)由不等式 f(1+x )+f(-x +2x-4)>0, 可得 f(1+x )>-f(-x +2x-4)=f(x -2x+4), 再根据函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,可得 1+x <x -2x+4,且 x>1, 3 3 求得 1<x< ,故不等式的解集为(1, ). 2 2
2 2 2 2 2 2 2


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