【考前三个月】2015高考数学(江苏专用,文科)小题分项对点练(三)

小题分项对点练(三)
[内容] 不等式、数列、推理与证明、复数、框图 a+m a 1 c c 1.下列三个不等式:①x+ ≥2(x≠0);② < (a>b>c>0);③ > (a,b,m>0 且 a<b),恒 x a b b+m b 成立的个数为________. 答案 2 a+m a 1 1 c c 解析 当 x<0 时,①不成立;由 a>b>c>0 得 < ,所以 < 成立,所以②恒成立; - = a b a b b+m b m?b-a? a+m a ,由于 a,b,m>0 且 a<b 知 - >0 恒成立,故③恒成立. b?b+m? b+m b 2.设数列{an}满足 a1+2a2=3,点 Pn(n,an)对任意的 n∈N*,都有 PnPn+1=(1,2),则数列{an} 的前 n 项和 Sn 为________. 4 答案 n2- n 3 → 解析 ∵PnPn+1=OPn+1-OPn=(n+1,an+1)-(n,an)=(1,an+1-an)=(1,2), ∴an+1-an=2. ∴{an}是公差为 2 的等差数列. 1 由 a1+2a2=3,得 a1=- , 3 n 1 4 4 ∴Sn=- + n(n-1)×2=n(n- )=n2- n. 3 2 3 3 3.如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4),此四边形内任一
4 a1 a2 a3 a4 2S 点 P 到第 i 条边的距离记为 hi(i=1,2,3,4), 若 = = = =k, 则 ? (ihi)= .类比以上性质, 1 2 3 4 k i=1

体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距
4 S1 S2 S3 S4 离记为 Hi(i=1,2,3,4),若 = = = =k,则 ? (iHi)的值为________. 1 2 3 4 i=1

答案

3V k

解析 在平面四边形中,连结 P 点与各个顶点,将其分成四个小三角形,根据三角形面积公 式,得
-1-

1 S= (a1h1+a2h2+a3h3+a4h4) 2 1 = (kh1+2kh2+3kh3+4kh4) 2 k4 = ? (ihi). 2i=1 所以 ? (ihi)=
i=1 4

2S . k

类似地,连结 Q 点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥, 1 则有 V= (S1H1+S2H2+S3H3+S4H4) 3 1 = (kH1+2kH2+3kH3+4kH4) 3 k = (H1+2H2+3H3+4H4) 3 k4 = ? (iHi), 3i=1
4 3V ∴ ? (iHi)= . k i=1

a+2i 2 4.设复数 z=( ) ,其中 a 为实数,若 z 的实部为 2,则 z 的虚部为________. 1-i 3 答案 - 2 a+2i 2 ?a2-4?+4ai 解析 z=( )= 1-i -2i 2 ?a -4? =-2a+ i, 2 3 由题意知,a=-1,从而 z 的虚部为- . 2 1 5.已知正实数 a,b 满足 a+2b=1,则 a2+4b2+ 的最小值为________. ab 17 答案 2 2 1 ?a+2b? 2 解析 方法一 a2+4b2+ ≥ + ab 2 a+2b 2 ? ? 2 1 17 = +8= . 2 2 当且仅当 a=2b 时等号成立. 1 方法二 因为 1=a+2b≥2 2ab?ab≤ , 8 1 当且仅当 a=2b= 时取等号. 2 1 1 1 2 2 又因为 a +4b + ≥2a· (2b)+ =4ab+ . ab ab ab 1 1 令 t=ab,所以 f(t)=4t+ 在(0, ]上单调递减, t 8
-2-

1 17 所以 f(t)min=f( )= . 8 2 1 此时 a=2b= . 2 x-y-2≤0, ? ? 6.实数对(x,y)满足不等式组?x+2y-5≥0, ? ?y-2≤0, 取最大值,则 k 的取值范围是________. 1 ? 答案 ? ?-2,1? 解析 不等式组所表示的区域如图所示,直线 z=kx-y?y=kx-z 过(3,1)时 z 取最大值,即直 1 ? 线 y=kx-z 在 y 轴上的截距-z 最小,由图可得直线 y=kx-z 的斜率 k∈? ?-2,1?. 则目标函数 z=kx-y 当且仅当 x=3,y=1 时

1 7.如图所示的三角形数阵是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n≥2), n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 其余每个数是它下一行左右相邻两数的和,如 = + , = + , = + ,?,则第 7 行 1 2 2 2 3 6 3 4 12 第 4 个数(从左往右数)为________.

答案

1 140

1 1 解析 由“第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n≥2)”可知,第 7 行第 1 个数为 ,由“其余每 n 7 1 1 1 个数是它下一行左右相邻两数的和”可知,第 7 行第 2 个数为 - = ,同理,第 7 行第 3 6 7 42 1 1 1 1 1 1 个数为 - = ,第 7 行第 4 个数为 - = . 30 42 105 60 105 140

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8.执行如图所示的程序框图,若输入的 N 是 6,则输出 p 的值是________. 答案 720 解析 当 k=1,p=1 时,p=p· k=1,1<6,满足; 当 k=2,p=1 时,p=p· k=2,2<6,满足; 当 k=3,p=2 时,p=p· k=6,3<6,满足; 当 k=4,p=6 时,p=p· k=24,4<6,满足; 当 k=5,p=24 时,p=p· k=120,5<6,满足; 当 k=6,p=120 时,p=p· k=720,6<6,不满足,输出 p=720. 9.如果执行程序框图(如图),输入 N=2 012,则输出的数 s=________.

答案 2 011×22 013+2 解析 输出的结果是 s=1×21+2×22+?+2 012×22 012, 乘 2 得 2s=1×22+2×23+?+2 012×22 013. 前式减去后式得-s=21+22+?+22 012-2 012×22 013 =22 013-2-2 012×22 013 =-2 011×22 013-2, 所以 s=2 011×22 013+2.
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10. 对于使-x2+2x≤M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值 1 叫做-x2+2x 的上确界, 1 2 若 a,b∈(0,+∞),且 a+b=1,则- - 的上确界为________. 2a b 9 答案 - 2 解析 因为 a,b∈(0,+∞),且 a+b=1, a+b 2?a+b? 1 2 所以- - =- - 2a b 2a b 5 b 2a 5 9 =- -( + )≤- -2=- , 2 2a b 2 2 1 2 9 即- - 的上确界为- . 2a b 2 11.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为________. 答案 -49 解析 设数列{an}的首项和公差分别为 a1,d, a =-3, ? ?10a1+45d=0, ? 1 ? 则? ? 2 ?15a1+105d=25, ?d= , ? ? 3 n?n-1? n3 10 2 则 nSn=n[-3n+ ]= - n , 3 3 3 x3 10 2 设函数 f(x)= - x , 3 3 20 则 f′(x)=x2- x, 3 20 当 x∈(0, )时,f′(x)<0; 3 20 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0, 3 20 所以函数 f(x)min=f( ), 3 20 但 6< <7,且 f(6)=-48,f(7)=-49, 3 因为-48>-49,所以最小值为-49. ? ?2x-y≤0, 1 -y 12.已知正数 x,y 满足? 则 z=( )x· 4 的最小值为________. 2 ?x-3y+5≥0, ? 1 答案 32 1 + 解析 z=( )x 2y,令 t=x+2y, 2 1 作出可行域易得目标函数 t 的最大值为 5,则 z 的最小值为 . 32 13. 如图是一个算法的程序框图, 若输出的结果是 31,则判断框中的整数 M 的值为________.

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答案 4 解析 当 A=1,S=1 时,执行 S=S+2A,A=A+1 后,S 的值为 3,A 的值为 2,?,依次类 推,当 A=4 时,执行 S=S+2A,A=A+1 后,S 的值为 31,A 的值为 5,所以 M 的值为 4. 2 2 3 3 4 4 14.已知 2+ =2× , 3+ =3× , 4+ =4× ,?,观察以上各式, 3 3 8 8 15 15 a a 若 8+ =8· (a,t 均为正实数),则 a+t=________. t t 答案 71 解析 观察可知,各式中右边根式部分与根式中分数的分子相同,依次为 2,3,4,?,且各根 式中分数的分母依次为 3,8,15,?,即 22-1,32-1,42-1,?, 8 8 a ∴ 8+ 2 = 8+ = 8+ . 63 t 8 -1 ∴a=8,t=63,即 a+t=71.

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