【状元360】高考数学一轮复习 2.8 二次函数(一)课件 理_图文

1.二次函数的三种表示形式 (1)一般式:______________________ y=ax2+bx+c(a≠0) ; y=a(x-k) +h(a≠0) ; (2)配方式:______________________ 2 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) (3)零点式:________________________. 2.二次函数的图象 抛物线 , 二次函数的图象是一条________ 当 a>0 时, 开口______ 向上 ; 向下 .图象的对称轴方程为 当 a<0 时,开口______ ? x1+x2? b ? ? x = k 或 x =- 或 x = ? ______________________________ . 2a 2 ? ? ? 3.二次函数的性质 (-∞,k] [k,+∞) (1)当 a>0 时, 在区间________ 上为减函数, 在区间________ 上为增函数,ymin=h; (2)当 a<0 时,在区间(-∞,k]上为________ 增函数 ,在区间[k, +∞)上为________ 减函数 ,ymax=h. 4.二次函数在限定区间上的最大(小)值,求解时关键要抓住: (1)图象的开口方向; (2)区间与对称轴的位置关系; (3)结合图象,利用单调性求解. 考点一 求二次函数解析式 示范1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=f(-1)=-1 且函数 f(x) 的最大值是 8,试确定此二次函数的解析式. 分析 从已知三个函数值看,可设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 2-1 然后列方程组求解; 由 f(2)=f(-1), 可得对称轴方程为 x= 2 ? 1?2 1 =2,可设 y=a?x-2? +8(a≠0);由 f(2)=f(-1)=-1?f(2)+1 ? ? =f(-1)+1=0,可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0). 解析 法一 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ?a=-4, ? 解得?b=4, ?c=7. ? ? ?4a+2b+c=-1, ?a-b+c=-1, 由题意得方程组? 2 ?4ac-b =8. ? ? 4a ∴f(x)=-4x2+4x+7. 法二 设 f(x)=a(x-k)2+h(a≠0), 2-1 1 ∵f(2)=f(-1),∴图象对称轴为 x= 2 ,∴k=2. 又 f(x)的最大值为 8,∴a<0 且 h=8, ? 1?2 ∴f(x)=a?x-2? +8. ? ? ? 1?2 又 f(-1)=-1,∴a?-1-2? +8=-1,∴a=-4, ? ? ? 1?2 ∴f(x)=-4?x-2? +8. ? ? 法三 ∵f(2)+1=f(-1)+1=0, ∴方程 f(x)+1=0 的两根为 2 和-1, ∴可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1.又 f(x)最大值是 8, 4a?-2a-1?-a2 ∴a<0 且 =8,∴a=-4, 4a ∴f(x)=-4x2+4x+7. 【点评】确定二次函数解析式一般要用待定系数法,所以 要选择二次函数的形式.用不同的形式求解,解法是不同的,注 意灵活应用二次函数的三种表示形式. 展示1 已知二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x)且方程 f(x)= 0 的两个实根的平方和为 10,函数 f(x)的图象过点(0,3),求函数 f(x)的解析式. 【解析】∵f(2+x)=f(2-x), ∴函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称. 可设 f(x)=a(x-2)2+k(a≠0). ∵函数 f(x)的图象过点(0,3), ∴4a+k=3,k=3-4a. ∴f(x)=a(x-2)2+3-4a =ax2-4ax+3(a≠0). 设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两根, 3 则 x1+x2=4,x1x2=a. 6 2 2 2 ∴x1+x2=(x1+x2) -2x1x2=16-a=10. ∴a=1.∴f(x)=x2-4x+3. 方法点拨:求二次函数解析式的方法一般用待定系数法.可 以设 y=ax2+bx+c,y=a?x-k?2+h,y=a?x-x1??x-x2?三种形 式中的一种,然后根据已知条件列式求出待定的未知数,从而 确定二次函数解析式. 考点二 二次函数在给定区间上的最值 示范2 设 a 为常数,函数 f(x)=x2+2a|x|-1,求函数 f(x)的 最小值. 分析 利用换元法可以转化为二次函数问题. 解析 设 t=|x|,则 y=t2+2at-1=(t+a)2-a2-1(t≥0). 当 a≤0 时,-a≥0, ∴当 t=-a 时,ymin=-a2-1. 当 a>0 时,-a<0, 函数 y=(t+a)2-a2-1 在[0,+∞)上为增函数, ∴ymin=-1. 2 ? ?-a -1,?a≤0?, ∴ymin=? ? ?-1,?a>0?. 【点评】本题通过换元法把问题转化为二次函数在给定区 间上的最小值问题.由图象对称轴 t=-a 可能在区间[0,+∞? 上也可能在区间[0,+∞?外,所以有必要分类讨论. 1 2 展示2 已知关于 x 的二次函数 f(x)= x -4x+1(0≤x≤1)的 a 最大值为 M,最小值为 m,求 M-m. 1 2 1 【解析】f(x)= x -4x+1= (x-2a)2+(1-4a)(0≤x≤1), a a 顶点坐标(2a,1-4a),f(0)=1, 1 f(1)= -3, a 1 当 2a<0,即 a<0 时,M-m=f(0)-f(1)=4- ; a 1 1 当 0<2a≤ ,即 0<a≤ 时, 2 4 1 M-m=f(1)-(1-4a)=4a+ -4; a 1 1 1 当 <2a≤1,即 <a≤ 时, 2 4 2 M-m=f(0)-(1-4a)=4a; 1 当 2a>1,

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