兰州一中高一数学期中考试


兰州一中 2010-2011-1 学期高一年级期中数学试题
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 100 分,考试时间 100 分钟。答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡。 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分。在每小题给出的四个选项中只有一个选 .... 项符合题意) 1.全集 U={0,1 ,3,5,6,8},集合 A={ 1,5, 8 }, B ={2},则集合 U A) ? B ? ( ) (C
A. {0,2,3,6} B. { 0,3,6,} 2.下列各组函数是同一函数的是

C. {2,1,5,8,} ( )

D. ?

① f ( x) ? ?2 x3 与 g ( x) ? x ?2x ;② f ( x) ? x 与 g ( x) ? x 2 ; ③ f ( x) ? x0 与 g ( x) ?
A. ①②

1 ;④ f ( x) ? x2 ? 2 x ?1与 g (t ) ? t 2 ? 2t ?1 . x0 B. ①③ C.③④

D.①④

3.函数 f ( x) ?
1 A. (? ,1) 3

lg(3x ? 1) 的定义域是 1? x
1 B. (? ,?? ) 3




1 D. ( ?? ,? ) 3

1 1 C. (? , ) 3 3

?2e x ?1 , x<2, ? 则f ( f (2))的值为 ( 4.设 f ( x) ? ? 1 ?log 3 ( x 2 ? 1) ,x ? 2. ?
A. 2e B. 2 e2



C.

2 e2

D.2

5. 7 ? 4 3 ? 7 ? 4 3 等于
A. -4 B. 2 3

( C. ?2 3

) D .4

6.函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在 (??,4) 上是增函数,则实数 a 的范围是
A. a ≥ 3 B. a ≥ 5

C. a ≤3 )
? 1 ? C. ?? ,2 ? ? 2 ?

D. a ≤ ? 5

7.y= log3 (6 ? x ? x2 ) 的单调减区间为(
A. ?? 1 ,?? ? ? ?
? 2 ?

B. ? ? ?,? 1 ? ? ?
? 2?

1? ? D. ? ? 3,? ? 2? ?

1 1 8.设 a ? log 1 3 , b ? ( ) 0.2 , c ? 2 3 ,则 a、b、c 的大小顺序为 3 2

A. c ? b ? a

B. a ? b ? c

C.c ? a ? b

D. b ? a ? c

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1 1 9.若二次函数 f ( x) ? 3x 2 ? bx ? 1满足 f (? ? x) ? f ( x ? ) ,则 b 的值为( 3 3
A. -1



B.1

C.2 )

D.-2

10. 已知 2x ? (lg5)2 ? lg 2 ? lg50 ,则 x 的值为(
A. 0 B. 2 C. 1

D.

1 2

11. 方程 x3 ? x ? 3 ? 0 的实数解所在的区间是
A. (?1, 0)

(

) D. (2,3) )

B. (0,1)

C. (1, 2)

12. 函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x 与 g ( x) ? 2? x ?1 在同一直角坐标系下的图象大致是(

A

B

C 第Ⅱ卷(非选择题)

D

二、填空题(本 题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.函数 f ( x) ? a x?1 ? 3 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是 14. 已知 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x??0, ??? 时, f ( x) ? x ?1 ? x3 ? , 则当 x?? ??,0? 时, f ( x) ? ____________________.
1 1 15.已知 3a ? 5b ? k ,且 ? ? 2 ,则 k 的值为__________ __. a b 16.下列几个命题,正确的有____________.(填序号)

.

① 方程 x2 ? (a ? 3) x ? a ? 0 有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 ; ② 若幂函数 y ? x m
2

? 2 m?3

的图象与坐标轴没有交点,则 m 的取值范围为 (?3,1)

③ f ( x ? 1) 为偶函数,则有 f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) ; 若 ④ 函数 y ? loga (? x ? 1) 的图像可由函数 y ? loga (? x) 向右平移 1 个单位得到. 三.解答题(本大题共 4 大题,共 36 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

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17 已知集合 A={x|1-a<x<1+a},B={x|-1<x<7},若 A∩B=A,求 a 的取值范围.

18. (本 小题 8 分) 设函数 f(x)=x2-2x+2 ,x∈[t,t+1],t∈R,求函数 f(x)的最小值 g(t)的表达式.

19. (本小题 8 分) 设 函 数 y ? f (x) 是 定 义 域 在 R 的 函 数 , 且 f ( x ) ? 0 , 对 于 任 意 的 实 数 x、 y , 都 有 ,当 x >0 时, f ( x) ? 1 . f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) (1)求 f (0) 的值; (2)判断函数 f ( x) 在 R 的单调性并用定义证明; (3)若 f (1)=2 ,解不等式 f ( x) f ( x+1) ? 4 .

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20. (本小题 12 分) 1? x , (a ? 1) , 已知 f ( x) ? log a 1? x (1)判断 f (x) 的奇偶性并用定义证明; (2)当 x ? [0,1) 时,总有 f ( x) ? m 成立,求 m 的取值范围.

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一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 题 号 答 案 1 A 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 C 8 B 9 C 10 A 11 C 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. (1,4) 14. x 1 ? x 3

?

?

15.

15

16 . ① ④

三.解答题(本大题共 4 大题,共 36 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19. (本小题共 8 分) 解:(1)令 x ? y ? 0 ,则 f (0) ? f (0)2 , 又因 f ( x) ? 0 ,所以 f (0) ? 1 . (2)任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x 2 ,则 x2 ? x1 ? ?x (其中 ?x ? 0 )
? f ( x2 ) ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 )?f (?x) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 )[1 ? f (?x)]

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兰州一中 2010-2011-1 学期高一年级期中数学试题
? ?x ? 0 ,由(1)知 f (?x)>1 ,又? f ( x1 ) >0,
? f ( x1 ) ? f ( x2 )<0 ? f (x) 是 R 上是增函数.

证法二 :作商法(略) (3) ? f (1)=2 ,? f 2 (1)=f (2)=4 ,不等式即 f (2 x+1) ? f (2)

? f ( x) 在 R 上是增函数,
1 ? 2 x ? 1 ? 2 ,得不等式的解集为 ? x x ? } 2 20. (本小题共 12 分) 1? x ? 0 ,? ?1 ? x ? 1 ,即函数的定义域为(-1,1) 解:(1)? 1? x 1? x 1? x ? ? log a ? ? f ( x) ? f (? x) ? log a 1? x 1? x

又定义域关于原点对称,故函数 f (x) 是 R 上的奇函数 (2)易证 f ( x) ? log a
1? x 在 [0,1) 上单调递增, 1? x

? fmin ( x) ? f (0) ? 0
?m?0.

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