【解析】上海市浦东新区2013届高三上学期期末质量抽测数学理试题

浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷(理科)
分. 1.若集合 A ? ? 0, m ? , B ? ? 0, 2 ? , A U B ? ?0, 1, 2 ? ,则实数 m ? 【答案】1 【解析】因为 A U B ? ?0, 1, 2 ? 2.已知二元一次方程组 ? ,所以 . 2013.1

一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零

1? A

,即

m ?1

.

?a1 x ? b1 y ? c1 ?1 ? 1 1 ? 的增广矩阵是 ? ?1 1 3 ? ,则此方程组的解是 ? ? ? ?a 2 x ? b2 y ? c 2

【答案】

?x ? 2 . ? ? y ?1 ?x ? 2 . ? ? y ?1 .

?x ? y ? 1 ? x ? y ? 3 ,解得 【解析】由题意可知方程组为 ?
3.函数 y ?

log 2 ( x ? 2) 的定义域为

.

【答案】 [3,??) 【解析】要使函数有意义,则有 log 2 ( x ? 2) ? 0 定义域为 [3,??) . 4.已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 【答案】 . ,即

x ? 2 ? 1 ,所以 x ? 3 ,即函数 y ? log 2 ( x ? 2) 的

1 16 1 1 1 1 ,当且仅当 x ? 4 y ? 2 ,即 x ? 2 , y ? 8 时取等号,所 16

【解析】因为 x ? 4 y ? 1 ? 2 4 xy ,所以 xy ? 以 x ? y 的最大值为 16 5.函数 y ? 1 ?

1

.

x ( x ? 0 )的反函数是 .
2

【答案】 y ? ( x ? 1) , ( x ? 1) 【 解 析 】 由 y ? 1?

x 得 x ? ( y ? 1) 2 , 所 以 f '( x ) ? ( x ? 1)2 . 当 x ? 0 时 , y ? 1 ? x ? 1 , 即

( f '( x ) ? ( x ? 1)2 , x ? 1 ).
1

6.函数 f ( x) ? 2sin( 【答案】 ?

?

? x) cos( ? x) 的最小正周期为 4 4

?

.

【解析】由 f ( x) ? 2sin(

? x) cos( ? x) ? 2 cos 2 ( ? x) ? 1 ? cos 2( ? x) 4 4 4 4 ? 2? 得 f ( x) ? 1 ? cos(2 x ? ) ,所以周期 T ? ?? . 2 ?
7.等差数列 ?an ? 中, a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则该数列的前 13 项的和 S13 ? 【答案】 52 【 解 析 】 在 等 差 数 列 , .

?

?

?

?

a6 ? a7 ? a8 ? 12 得 3a7 ? 12 , 即 a7 ? 4 . 所 以

S13 ?

13(a1 ? a13 ) 13 ? 2a 7 ? ? 13 ? 4 ? 52 . 2 2

8.已知数列 ?an ? 是无穷等比数列,其前 n 项和是 S n ,若 a2 ? a3 ? 2 , a3 ? a4 ? 1 ,

则 lim S n 的值为
n ??

.

【答案】

16 3

8

8 1 a 16 【解析】由 a2 ? a3 ? 2 , a3 ? a4 ? 1 ,得 a1 ? , q ? ,所以 lim S n ? 1 ? 3 ? n ?? 1? q 1? 1 3 . 3 2
2
9.若一个圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为 【答案】 8? 【解析】因为圆锥的轴截面是边长为 4 cm 的等边三角形,所以母线 l ? 4 ,底面半径 r ? 2 .所以底面周长

cm 2 .

1 1 c ? 2? r ? 4? ,所以侧面积为 lc ? ? 4 ? 4? ? 8? . 2 2
10.二项式 ? x ? 1 ? 的展开式前三项系数成等差数列,则 n ? ? ? 2 x? ? 【答案】 8 【 解 析 】 二 项 式 的 通 项 公 式 为 Tk ?1 ? C x
k n n?k
n

.

1 k k n? 3 k ( ) ? ( ) Cn x 2 , 所 以 展 开 式 的 前 三 项 为 2 2 x 1
k

1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1, ( )Cn , ( ) 2 Cn ,即 1, ( )Cn , Cn ,因为前三项系数成等差数列,所以1 ? Cn ? 2 ? ( )Cn ? Cn ,解得 2 2 2 4 4 2

n ? 8 或 n ? 1 (舍去).
11.已知甲射手射中目标的频率为 0.9 ,乙射手射中目标的频率为 0.8 ,如果甲乙两射手的射击相互独立,
2

那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率为 【答案】 0.98 【解析】目标被射中的频率为 1-(1-0.9)(1-0.8)=1-0.2=0.98.

.

12.已知向量 a 与向量 b , a ? 2 , b ? 3 , a 、b 的夹角为 60? ,当 1 ? m ? 2, 0 ? n ? 2 时, ma ? nb 的最大值为 【答案】 2 19 【解析】 .

?

?

?? ?

?? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ?2 1 | ma ? nb |2 ? (ma ? nb) 2 ? m 2 a 2 ? 2mna ? b ? n 2 b ? 4m 2 ? 2mn ? 2 ? 3 ? ? 9n 2 2
? 4m 2 ? 6mn ? 9n 2 ? 4 ? 22 ? 6 ? 2 ? 2 ? 9 ? 22 ? 16 ? 24 ? 36 ? 76 ,
所以 | m a ? nb | ≤ 2 19 . 13.动点 P 在边长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上从 B 向 D1 移动,点 P 作垂直于 面

BB1 D1 D 的直线与正方体表面交于 M , N , BP ? x, MN ? y ,
则函数 y ? f ( x) 的解析式为

? 2 6x 3 , 0? x? ? ? 3 2 【答案】 y ? ? ?2 2 ? 2 6 x , 3 ? x ? 3 ? 3 2 ?
【解析】

如图 1,过 P 作平面 A2B2C2D2,使平面 A2B2C2D2∥平面 ABCD,则 P 是 BD1 与 B2D2 的交点. 如图 2 ,在面 A2B2C2D2 中,过 P 作 MN⊥BD,则由 MN⊥BB1,得 MN⊥面 BB1D1D. 如图 3 ,在面 BB1D1D 中,令 PB2=t,则
2 ?t t

?

3?x x

?

2 t

?

3 x

?t ?

2x 3

?

6x 3

.

如图 2、3,若 0≤x≤

3 2

,则 MN=2 PB2=

2 6x ; 3

3



3 6x 2 6x <x≤ 3 ,则 MN=2 PD2=2 ( B2 D2 ? PB2 ) ? 2( 2 ? . )=2 2 ? 2 3 3

? 2 6x 3 , 0? x? ? ? 3 2 . ∴y?? ?2 2 ? 2 6 x , 3 ? x ? 3 ? 3 2 ?

14. 1, 2, ? , n 共有 n ! 种排列 a1 , a2 , ? , an ( n ? 2, n ? N ) ,其中满足“对所有 k ? 1, 2, ? , n 都有 ak ? k ? 2 ”的不同排列有 【答案】 2 ? 3n? 2 【解析】可分步考虑: 第 1 步,确定 an,∵an≥n-2,∴只能从 n-2、n-1、n 这 3 个数字中选 1 个,有 3 种; 第 2 步,确定 an-1,从上面余下的 2 个中选 1 个,再可选数字 n-3,有 3 种; 第 3 步,确定 an-2,从上面余下的 2 个中选 1 个,再可选数字 n-4,有 3 种; ?? 第 n-2 步,确定 a3,从上面余下的 2 个中选 1 个,再可选数字 1,有 3 种; 第 n-1 步,确定 a2,从上面余下的 2 个中选 1 个,再没其它数字可选,有 2 种; 第 n 步,确定 a1,从上面余下的 1 个中选 1 个,有 1 种. 故一共有 3?3?3?…?3?2?1=2?3n-2 种. 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 15.已知△ABC 两内角 A、B 的对边边长分别为 a、b, A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 【答案】A 【 解 析 】 由 a cos A ? b cos B 得 sin A cos A ? sin B cos B , 即 sin 2 A ? sin 2B , 所 以 2 A ? 2 B 或 C.充要条件 则“ A ? B ”是“ a cos A ? b cos B ”的( ) D.非充分非必要条件 种.

?

2 A ? ? ? 2 B ,即 A ? B 或 A ? B ?
A. 16.已知函数 f ( x) ? A. ? 2 【答案】C

?
2

,所以“ A ? B ”是“ a cos A ? b cos B ”的充分非必要条件,选

1

1 1 ,若函数 y ? f ( x ? m) ? 为奇函数,则实数 m 为( ) 4 4 ?2 1 B. 0 C. 2 D. 1
x

4

y ? f ( x ? m) ?
【解析】 因为函数

1 1 1 1 f (0 ? m) ? ? 0 ? ?0 m m 4 为奇函数, 4 所以 , 4 ?2 4 即 , 4 ?2 ? 4, 即

即 4 ? 2 ,所以
m

m?

1 2 ,选 C.

17. 若 x1 , x 2 , x3 , ? , x2013 的方差为 3 ,则 3 ( x1 ? 2) , 3 ( x2 ? 2) , 3 ( x3 ? 2), ? , 3 ( x2013 ? 2) 的方 差为 ( )

( A) 3
【答案】D

( B) 9

(C ) 18

( D) 27

【解析】若 y ? 3( x ? 2) ? 3 x ? 6 ,则 Dy ? 9 Dx ,因为 Dx ? 3 ,所以 Dy ? 9 Dx ? 9 ? 3 ? 27 ,选 D. 18.定义域为 ? a, b ? 的函数 y ? f ( x) 图象的两个端点为 A, B ,向量 ON ? ? OA ? (1 ? ? ) OB , M ( x, y ) 是 f ( x) 图象上任意一点,其中 x ? ? a ? (1 ? ? ) b, ? ? ? 0,1? . 若不等式 MN ? k 恒成立,则称函数 f ( x) 在 ? a, b ? 上满足“ k 范围线性近似”,其中最小的正实数 k 称为该函数的线性近似阀值. 下列定义在 ?1, 2? 上函数中,线性近似阀值最小的是 ( )

????

??? ?

??? ?

2 A. y ? x

y?
B.

2 x

y ? sin
C.

?
3

x
D.

y ? x?

1 x

【答案】D 【解析】解: ON ? ? OA ? (1 ? ? )OB ?N 在线段 AB 上,且 xN ? ?a ? (1 ? ? )b ,又 xM ? ?a ? (1 ? ? )b , ∴xM=xN,∴ |MN|=|yM-xN |. 不等式|MN|≤k 恒成立?|MN|max≤k,∴最小的正实数 k 即是|MN|max. 对于(A),A(1,1),B(2,4),∴AB 方程为 y=3x-2,如图 1,

|MN|= yN- yM =3x-2- x2=-(x- 3 )2+ 1 ,当 x= 3 时,|MN|max= 1 ; 2 4 2 4 对于(B),A(1,2),B(2,1),∴AB 方程为 y=-x+3,如图 2, |MN|= yN- yM =-x+3- 2 =3-(x+ 2 )≤3- 2 2 ,当 x= 2 , x x x
5

即 x= 2 时,上式成立等号,∴|MN|max=3- 2 2 ; 对于(C),A(1,
3 2

),B(2,
3 2

3 2

),∴AB 方程为 y=

3 2

,如图 3,
3 2

|MN|=yM-xN = sin ?3x -

,当 x= 3 时,|MN|max=12



对于(D),A(1,0),B(2, 3 ),∴AB 方程为 y= 3 x- 3 ,如图 4, 2 2 2 |MN|=yM-xN = x ?
1 x x ? 3 x ? 3 ? 3 ? (2 ? 1) ? 3 ? 2 2 2 2 x 2 1 2

? 3 ? 2, 2

∵ 3 ? 2 是|MN|的四个最大值中的最小的一个,∴线性近似阀值最小的是 D. 2 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?ABC ? 45? .
A1

c1

(1)求点 A 到平面 A1 BC 的距离; (2)求二面角 A ? A1C ? B 的大小. 解: (1)? AB ? AC ? 2, ?ABC ? 45 ,??BAC ? 90 ,
? ?

B1

?VA1 ? ABC ?

4 . 3
B

A

C

? A1 B ? BC ? A1C ? 2 2,? S ?A1BC ? 2 3 . ?3 分
设点 A 到平面距离为 h ,由 h ? S ?A1BC ? VA1 ? ABC , ? h ? (2)设 A1C 的中点为 M ,连结 BM , AM .

1 3

2 3 2 3 .? 点 A 到平面距离为 . ??6 分 3 3

? BA1 ? BC , AA1 ? AC , ? BM ? A1C , AM ? A1C .
??AMB 是二面角 A ? A1C ? B 的平面角.?????????8 分

tan ?AMB ? 2,??AMB ? arctan 2
? 二面角 A ? A1C ? B 的大小为 arctan 2 .????????????12 分
20. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动, 计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一 个占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场地,如图点 M 在 AC 上,点 N 在 AB 上,且 P 点在斜边 BC 上,已 知 ?ACB ? 60? 且 | AC |? 30 米, AM = x , x ? [10,20] .
6

(1)试用 x 表示 S ,并求 S 的取值范围; (2)设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为

37k ,再把矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪, S

每平方米的造价为

12k ( k 为正常数) ,求总造价 T 关于 S 的函数 T ? f (S ) ; S

试问如何选取 | AM | 的长使总造价 T 最低(不要求求出最低造价).
B

解: (1)在 Rt?PMC 中,显然 | MC |? 30 ? x , ?PCM ? 60? ,

? | PM |?| MC | ? tan ?PCM ? 3 (30 ? x) ,??????2 分
N P

矩形 AMPN 的面积 S ?| PM | ? | MC |?

3 x(30 ? x) , x ? [10, 20] ?4 分

于是 200 3 ? S ? 225 3 为所求.???????????6 分 (2) 矩形 AMPN 健身场地造价 T1 ? 37 k S ????????7 分 又 ?ABC 的面积为 450 3 ,即草坪造价 T2 ?
A M C

12k (450 3 ? S ) ,?????8 分 S

由总造价 T ? T1 ? T2 ,? T ? 25k ( S ?

216 3 ) , 200 3 ? S ? 225 3 .?10 分 S

? S?

216 3 ? 12 6 3 ,????????????????????11 分 S 216 3 即 S ? 216 3 时等号成立,???????????12 分 S

当且仅当 S ?

此时 3 x(30 ? x) ? 216 3 ,解得 x ? 12 或 x ? 18 , 所以选取 | AM | 的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低.?????????14 分

21. (本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 已知复数 z1 ? 2sin ? ? 3i, z2 ? 1 ? (2 cos ? )i , ? ? [ (1)若 z1 ? z2 为实数,求角 ? 的值;
7

? ?

, ]. 3 2

(2)若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 a, b ,存在 ? 使等式 (? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? 0 成立, 求实数 ? 的取值范围. 解: (1) z1 ? z 2 ? (2 sin ? ? 3i )?1 ? (2 cos ? )i ? ? (2sin ? ? 2 3 cos ? ) ? (2sin 2? ? 3)i ? R ,??2 分

? ?

?

?

?

?

? sin 2? ?


3 ,??????????????????????????4 分 2

2? 2 ? ? 2? ? ? ,? 2? ? ? ,即 ? ? .??????????????6 分 3 3 3 ? 2 ?2 (2) a ? b ? 8 ,???????????????????????????8 分

? ? a ? b ? 2sin ? ? 2 3 cos ? ,?????????????????????10 分
(? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? ? ( a ? b ) ? (1 ? ?2 ) a ? b ? 0 .
2? ? ? ? sin(? ? ) .??12 分 2 1? ? 3 ? ? ? 1 1 2? 因为 ? ? ? [0, ] ,所以 sin(? ? ) ? [0, ] . 只要 ? ? ? 0 即可,??????13 分 3 6 3 2 2 1 ? ?2
得 8? ? (1 ? ?2 )(2 sin ? ? 2 3 cos? ) ? 0 ,整理得 解得 ? ? ?2 ? 3 或 ? 2 ? 3 ? ? ? 0 .?????????????????14 分
? ? ? ?

?2

?2

? ?

8

22. (本小题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 定义数列 {xn } ,如果存在常数 p ,使对任意正整数 n ,总有 ( xn ?1 ? p )( xn ? p ) ? 0 成立, 那么我们称数列 {xn } 为“ p ? 摆动数列”. (1)设 an ? 2n ? 1 , bn ? q n ( ? 1 ? q ? 0 ) n ? N ? ,判断数列 {an } 、 {bn } 是否为“ p ? 摆动数列”, , 并说明理由; (2)已知“ p ? 摆动数列” {cn } 满足 cn ?1 ?

1 , c1 ? 1 ,求常数 p 的值; cn ? 1

(3)设 d n ? (?1) n ? ( 2n ? 1) ,且数列 { d n } 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 { S n } 是“ p ? 摆动数列”, 并求出常数 p 的取值范围. 解: (1)假设数列 {an } 是“ p ? 摆动数列”, 即存在常数 p ,总有 2n ? 1 ? p ? 2n ? 1 对任意 n 成立, 不妨取 n ? 1 时则 1 ? p ? 3 ,取 n ? 2 时则 3 ? p ? 5 ,显然常数 p 不存在, 所以数列 {an } 不是“ p ? 摆动数列”; ?????????????????2 分 由 bn ? q n ,于是 bnbn ?1 ? q 2 n ?1 ? 0 对任意 n 成立,其中 p ? 0 . 所以数列 {bn } 是“ p ? 摆动数列”. ??????????????????4 分 (2)由数列 {cn } 为“ p ? 摆动数列”, c1 ? 1 ? c2 ? 即存在常数

1 , 2

1 ? p ? 1 ,使对任意正整数 n ,总有 (cn ?1 ? p )(cn ? p ) ? 0 成立; 2

即有 (cn ? 2 ? p )(cn ?1 ? p ) ? 0 成立.则 (cn ? 2 ? p )(cn ? p ) ? 0 ,??????6 分 所以 c1 ? p ?? c3 ? p ? ? ? c2 n ?1 ? p .??????????????7 分 同理 c2 ? p ? c4 ? p ? ? ? c2 n ? p .????????????????8 分 所以 c2 n ? p ? c2 n ?1 ?

1 c2 n ?1 ? 1

? c2 n ?1 ,解得 c2 n ?1 ?

5 ?1 5 ?1 即p? .?9 分 2 2

同理

5 ?1 5 ?1 5 ?1 1 ;即 p ? . 综上 p ? .?????11 分 ? c2 n ,解得 c2 n ? 2 2 2 c2 n ? 1
9

(3)证明:由 d n ? (?1) n ? (2n ? 1) ? S n ? (?1) n ? n ,?????????????13 分 显然存在 p ? 0 ,使对任意正整数 n ,总有 S n S n ?1 ? (?1) 2 n ?1 ? n(n ? 1) ? 0 成立, 所以数列 {S n } 是“ p ? 摆动数列”; ???????????????????14 分 当 n 为奇数时 S n ? ? n 递减,所以 S n ? S1 ? ?1 ,只要 p ? ?1 即可 当 n 为偶数时 S n ? n 递增, S n ? S 2 ? 2 ,只要 p ? 2 即可 综上 ? 1 ? p ? 2 , p 的取值范围是 (?1,2) .???????????????16 分 (取 (?1,2) 中的任意一个值,并给予证明均给分)

1 1 1 1 1 时, ( S n ? )( S n ?1 ? ) ? [(?1) n n ? ][(?1) n ?1 (n ? 1) ? ] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? (?1) 2 n ?1 ? n(n ? 1) ? (?1) n ? ? ?n(n ? 1) ? (?1) n ? . 2 4 2 4 1 1 1 3 1 1 1 因为 ? ? (?1) n ? ? , ? n(n ? 1) ? ?2 ,存在 p ? ,使 ( S n ? )( S n ?1 ? ) ? 0 成立. 4 2 4 4 2 2 2
如取 p ? 所以数列 {S n } 是“ p ? 摆动数列”. 23. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 10 分)

1 ? 0? x? ?2x, ? 2 设函数 T ( x) ? ? ?2(1 ? x), 1 ? x ? 1 ? ? 2
(1)求函数 y ? T ? sin(

? ?

?

? ?? ? x) ? 和 y ? sin ? T ( x) ? 的解析式; 2 ? ?2 ?

(2)是否存在非负实数 a ,使得 aT ( x) ? T (a x ) 恒成立,若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由; (3)定义 Tn ?1 ( x) ? Tn (T ( x)) ,且 T1 ( x) ? T ( x) ① 当 x ? ? 0,

?n ? N ?
?

? ?

1 ? 时,求 y ? Tn ( x ) 的解析式; 2n ? ?
i ? i ?1 i ?1 ? 1 , n ? ( i ? N ?, ? i ? 2n ? 1) 时,都有 Tn ( x) ? Tn ( n -1 ? x) 恒成立. n 2 2 ? ? 2
m

已知下面正确的命题:当 x ? ?

② 对于给定的正整数 m ,若方程 Tm ( x) ? k x 恰有 2 个不同的实数根,确定 k 的取值范围; 若将这些根从小到大排列组成数列 ? xn ? 1 ? n ? 2m ,求数列 ? xn ? 所有 2 项的和.
m

?

?

10

? ?? ? ?2sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 解: (1)函数 y ? T ?sin( x) ? ? ? 2 ? ? ? ?? 2 ? 2sin ? ? ?2 ?

1? ? 5 ? ? x ? ? 4k , k + ? ? ? 4k + , k +2 ? k ? Z 4 4 3? ? 3 ? ? 1 5? ? ? x ? x ? ? 4k + , k + ? k ? Z 4 3 3? ? ?

? ? ? 1? x ? ?0, ? ?sin 2 ? 2x ? ? 2? ?? ? ? 函数 y ? sin ? T ( x) ? ? ? = sin ?? x ? x ? ? 0,1? ??4 分 ?2 ? ? ? ?1 ? sin ? 2-2x ? x ? ? ,1? ? 2 ?2 ? ?

1 ? 1 ? 0? x? 0 ? ax ? ?2ax, ?2ax, ? 2 ? 2 (2) y ? aT ( x ) ? ? , y ? T (ax) ? ? ??6 分 ?2a (1 ? x), 1 ? x ? 1 ?2(1 ? ax), 1 ? ax ? 1 ? ? ? 2 ? 2
当 a ? 0 时,则有 a (T ( x)) ? T (ax) ? 0 恒成立. 当 a ? 0 时,当且仅当 a ? 1 时有 a (T ( x)) ? T (ax) ? T ( x) 恒成立. 综上可知当 a ? 0 或 a ? 1 时, a (T ( x)) ? T (ax) 恒成立;?????????8 分 (3)① 当 x ? ? 0,

? ?

1 1 ? ? 时,对于任意的正整数 j ? N , ? i ? n ? 1 ,都有 0 ? 2 j x ? 1 n ? 2 2 ?
2 j n ?1

故有 y ? Tn ( x) ? Tn ?1 (2 x) ? Tn ? 2 (2 x) ? ? ? Tn ? j (2 x) ? ? ? T (2 ② 由①可知当 x ? ? 0, 当 x??

x) ? 2 n x ?13 分

? ?

1 ? 时,有 Tn ( x) ? 2n x ,根据命题的结论可得, n ? 2 ?
时,有

? 1 2 ? ? 0 2 ? , n ? n, n n ?2 2 ? ?2 2 ? ? ? ?

1 ? 0 1 ? ? 0 2 ? ? x?? n , n ? ? ? n , n ? , 2n ?1 ?2 2 ? ?2 2 ?

故有 Tn ( x) ? Tn (

1 1 ? x)=2n ( n ?1 ? x) ? ?2n x ? 2 . n ?1 2 2

因此同理归纳得到,当 x ? ?

? i i ?1 ? 0 , n ? ( i ? N, ? i ? 2n ? 1) 时, n ?2 2 ?

n 1 1 ?2 x ? i, i 是偶数 ? ????????15 分 Tn ( x) ? (?1) (2 x ? i ? ) ? = ? n 2 2 ??2 x ? i ? 1,i 是奇数 ? i n

对于给定的正整数 m , x ? ?

? i i ?1 ? 0 , m ? ( i ? N, ? i ? 2m ? 1) 时, m ?2 2 ?

解方程 Tm ( x) ? kx 得, x ?

? 2i ? 1? ? (?1)i ,
2m ?1 ? (?1)i 2k
11

要使方程 Tm ( x) ? kx 在 x ? ? 0,1 ? 上恰有 2m 个不同的实数根, 对于任意 i ? N, ? i ? 2m ? 1 ,必须 0

? 2i ? 1? ? (?1)i ? i ? 1 恒成立, i ? m ?1 2m 2 ? (?1)i 2k 2m

解得 k ? ( 0 ,

2m ) , 若将这些根从小到大排列组成数列 ? xn ? , 2m ? 1
1 ? n ? N , ? i ? 2 ? .????????17 分
? m

由此可得 xn

? 2n ? 1? ? (?1)n ?
2
m ?1

? (?1) 2k
n

故数列 ? xn ? 所有 2m 项的和为:

S ? x1 ? x2 ? ? x2m ?1 ? x2m

?

0 ? 2 ? 4 ? ? ? (2m ? 2) 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 m 2m ?1 (4m ? 2k ) .??18 分 ? ? 2m ? k 2m ? k 4m ? k 2

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