山西省忻州市第一中学2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题

忻州一中 2014-2015 学年度第二学期期末考试 高 一 数 学
注意事项: 1.答题前,考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、班级、考号、座位号填写在试 题和试卷上。 2.请把所有答案做在试卷上,交卷时只交试卷,不交试题,答案写在试题上无效。 3.满分 150 分+15 分,考试时间 120 分钟。 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知全集 U ? {1,2,3,4}, A ? {1,2}, B ? {2,3}, 则 CU A ∪B A. {2,3} B. {1,2,3} C. {2,3,4} D. {1,2,3,4}

? ? 2.代数式 sin120 cos210 的值为

A.

3 4

B.

1 4

C. ?

3 2

D. ?

3 4

3.函数 f ( x) ?

1 A.( 0, ) 2

1 ? log4 x 的零点所在的区间是 4x 1 B.( ,1 ) C.( 1, 2 ) 2

D.( 2,4 )

4.已知 a,b 为非零实数,且 a<b,则下列不等式成立的是

a 1 1 < 2 D. <1 2 b ab a b ? ? ? ? ? ? ? 5.已知 a =1,| b |= 2 ,且 a ? (a ? b ) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为
A. a <b
2 2

B.ab 2 <a 2 b

C.

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.
2

2? 3
2 2

6.已知△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? b ? c ? bc , bc ? 4 ,则△ ABC 的面积 为 A.
开始

1 2

B.1 D.2

输入k

C. 3

n ? 1, s ? 1

7.执行如右图的程序框图,若输出的 S ? 48 , 则输入 k 的值可以为 A. 4 B. 6

n?k




n ? n?3
s ? 2s ? n

输出 s

结束

1

C. 8

D. 10 1 B.y= x+1 2 D.3x+y-5=0

8.过点(2,1)且与原点距离最大的直线的方程是 A.x+2y-5=0 C.2x+y-5=0

x-y+1≥0, ? ? 9. 如果实数 x,y 满足约束条件?y+1≥0, ? ?x+y+1≤0,
A.2 B.1 C.-2

那么 2x-y 的最大值为 D.-3

10.已知 f ( x) ? x 1 ? x , g ( x) ? 1 ? x ,则 f (x) ? g(x) 的最大值为 1 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 D. 2 2

→ → → → → → 11.在Δ ABC 中,若AB·BC = BC·CA = CA·AB ,则该三角形是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

12.下列 4 个命题,其中正确的命题序号为 2 1 x +2 ①|x+ |的最小值是 2; ② 2 的最小值是 2; x x +1 ③log2x+logx2 的最小值是 2; A.①②③ B.①②④ ④3 +3 的最小值是 2. C.②③④ D.①③④
x ?x

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13.已知 a ? ( x,1) , b ? (2,?1) ,且 a ∥ b ,则| a - b |=

?

?



. ▲ .

14.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和。若 a3+a8=3,S3=1,则通项公式 an= 15.在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=6,D 为斜边 BC 的中点,则 AB ? AD 的值为 ▲ .

16.设 a 为正实数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 对一切 x>0 成立,则 a 的取值范围为 ▲ .

a ? 7 ,若 f ( x) ? 1 ? a x

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷 纸的相应位置上) 17.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,其中 b, c 为常数. (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上单调,求 b 的取值范围;
2

(Ⅱ)若对任意 x ? R ,都有 f ( ?1 ? x ) ? f ( ?1 ? x ) 成立,且函数 f ( x ) 的图象经过点 (c, ?b) ,求 b, c 的值。 18.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)= sinx?cosx- 3cos x+
2

3 . 2

(Ⅰ)化简函数 f(x),并用“五点法”画出函数 f ( x ) 在长度为一个周期的闭区间上的简图(先在所给的 表格中填上所需的数值,再画图) ;

? (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值及相应的 x 的值. 2
y
1

O

1

x

19.(本题满分 12 分) 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1 , 2 , 3 ,这三张卡片除标记的数字外完全相同。随机有放 回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依次记为 a , b , c . (Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足 a ? b ? c ”的概率; (Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字 a , b , c 不完全相同 ”的概率. ..... 20.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,面积为 S.已知 2 S ? (a ? b) ? c
2 2

(I)求 sin C ; (Ⅱ)若 a ? b ? 10 ,求 S 的最大值.

21.(本题满分 12 分) 设{an}是公比为 q?的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列. (I)求 q 的值; (Ⅱ)设{bn}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大 小,并说明理由.

22.(本题满分 12 分)
3

设数列 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? 5, a5 ? 9 ;数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且

? ? 1 ?n ? S n ? 2?1 ? ? ? ? . ? ? ?2? ? ?
(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 C n ?

an , Tn 为数列 ?Cn ? 的前 n 项和,求 Tn bn

附加题:(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 1.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围为 ▲ .

2.已知 ?ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a, b, c ,若 1 ?

tan A 2c a2 ? ,则 的最小值为 tan B b bc



.

3.把数列 ?

?1? k ?1 ? 的所有项按照从大到小,左大右小的原则写成如图所示的数表,第 k 行有 2 个数,第 k ? 2n ?
1 可记为 2012
▲ .

行的第 s 个数(从左数起)记为 ?k , s ? ,则

4

忻州一中 2014-2015 学年第二学期期末考试 高一数学参考答案 一.选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1-5;CDCCB;6-10;CCCBA;11-12;DB 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) n-1 14. ; 15.18; 16. a ? 4 3 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷 13. 2 5 ; 纸的相应位置上) 17.(本题满分 10 分)
2 解:(I)因为函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,

b ??????2 分 2 b b 因为函数 f ( x ) 在区间 [? , ??) 上单调递增,所以 ? ? 1 , 2 2
所以它的开口向上,对称轴方程为 x ? ? 所以 b ? ?2 ??????????????????? 4 分 (Ⅱ)因为 f ( ?1 ? x ) ? f ( ?1 ? x ) , b 所以函数 f ( x ) 的对称轴方程为 x ? ?1 ,- =-1,所以 b ? 2 ??????6 分 2 又因为函数 f ( x ) 的图象经过点 (c, ?b) ,所以有 c 2 ? 2c ? c ? ?2 即 c 2 ? 3c ? 2 ? 0 ,所以 c ? ?2 或 c ? ?1 ???????10 分 18. (本题满分 12 分) ?????????8 分

? 解: (I) f ( x) ? sin(2 x ? ) ??3 分 3
令 X ? 2x ?

? 1 ? ,则 x ? ( X ? ) .填表: 3 2 3
?? 12 ? 2 ?? 3 ??? 12 3? 2 ?? 6
2?
0
? 3
?8分

y

1

x
X
y

? 6
0 0

O

1

x

?
0

1
? 2

?1

(Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? [0, ?] , (2 x ? ) ?[? ,

? ?? ] ?????10分 3 3

5

所以当 x ? 0 时, 即 2 x ?

3 ? ? ? ? ? , y ? s in(2 x ? ) 取得最小值 ? ; 3 3 3 2 ?? ? ? ? 当x ? 时, 即 2 x ? ? , y ? sin(2 x ? ) 取得最大值 1???12 分 12 3 2 3

19.(本题满分 12 分) 5.解:(I)由题意,(a,b,c)所有的可能为: (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2), (1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2, 3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3, 1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种.??4 分 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种,??5 分 3 1 所以 P(A)= = . 27 9 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 .??6 分 9 (Ⅱ)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 所以 P(B)=1-P( B )=1- = . 27 9 8 因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 .??12 分 9 20.(本题满分 12 分) 解: (1)条件可化为 2 ab sin C ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab 1 由余弦定理可得 2× absinC=2abcosC+2ab, 2 ∴ 1 1 sin C ? cos C ? 1 ,两边平方得 sin2C=cos2C+2cosC+1,sin2C=1-cos2C 4 2 ?6 分

1 2

?2 分

∴ 5 cos 2 C ? 8 cos C ? 3 ? 0

(5 cos C ? 3)(cos C ? 1) ? 0
故 sinC ?

3 cos C ? ? 或 cos C ? ?1(舍) 5
?8 分

4 5 1 2 2 a?b 2 (2) S ? ab sin C ? ab ? ( ) ? 10 2 5 5 2 当且仅当 a ? b ? 5 时“=”成立
21.(本小题满分 12 分) 21.解: (I)由题设 2a3=a1+a2,即 2a1q =a1+a1q,??1 分 ∵a1≠0,∴2q -q-1=0, ∴q=1 或-
1 .???3 分 2 n(n-1) n 2+3n = .bn=n+1.??5 分 2 2
2 2

?12 分

(Ⅱ)若 q=1,则 Sn=2n+

6

当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1= 若 q=-

n 2+3n (n- 1)(n+2) -( n+1)= >0,故 Sn>bn.??7 分 2 2

-n 2+9n n(n-1) 1 1 ,则 Sn=2n+ (- )= . 2 2 2 4 1 -n+5 bn=2+(n-1)( - )= ?????????9 分 2 2
当 n≥2 时,Sn-bn=Sn-1=
(n- 1)(10-n) ,???10 分 4

故对于 n∈N+,当 2≤n≤9 时,Sn>bn;当 n=10 时,Sn=bn;当 n≥11 时,Sn<bn. ?????12 分 22.(本小题满分 12 分)
1 解: (Ⅰ)数列{an}为等差数列,则公差 d ? (a5 ? a3 ) ? 2 因为 a3=5,所以 a1=1. 2 故 an=2n-1,???????3 分 当 n=1 时, S1 ? b1 ? 1 ,???4 分

1 ? 1 ? 1 ? ? 当 n≥2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? 2 ?1 ? ( )n ? ? 2 ?1 ? ( )n?1 ? ? ( )n?1 , 2 ? 2 ? 2 ? ?
1 当 n=1 时满足上式,? bn ? ( )n ?1 ( n∈N+.) ???6 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn ?

an ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ,???7 分 bn

? Tn ? 1 ? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ??? ? (2n ? 3) ? 2n ? 2 ? (2n ?1) n ?1

① ②???9 分

2T n =1×2+3×2 2 +5×2 3 +?(2n-3)?2 n ?1 +(2n-1)?2 n

①-② -T n =1+2×2 1 +2×2 2 +?2×2 n ?1 -(2n-1)?2 n ???10 分 -T n =1+2( 2(1 ? 2
n ?1

)

1? 2

-(2n-1)?2 n

? Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .?????12 分

附加题:(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 1. ?9,??? 2.1 解: 切化弦, 正弦定理, 两角和的正弦展开式逆用, 内角和定理得 sinB 都大于 0,cosA=

sin( A ? B) 2 sin C ? , sinC=sin(A+B), cos A ? sin B sin B

1 ,再利用余弦定理与基本不等式 2

a ? b ? c ? 2bc cos A ? 2bc ? bc =bc,
2 2 2

a2 的最小值为 1; bc

3.(10,495)
7

8


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