【状元360】高考数学一轮复习 2.6 函数的最值与值域(一)课件 理_图文

1.最大(小)值 一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满足: f(x)≤M[或 f(x)≥M] ; (1)对于任意的 x∈I,都有____________________ f(x0)=M ; (2)存在 x0∈I,使得__________ 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的最大(或小)值 定理:连续函数在闭区间[a,b]上一定有最大值和最小值且 极值点 或区间______ 端点 处取得. 只能在区间内的________ 2.设函数 y=f(x)(x∈A),则函数 f(x)的值域是{y|y=f(x),x ∈A},函数的值域是由函数的定义域和对应法则决定的,所以 定义域 . 求值域一定要先求________ 对于复合函数 y=flg(x)](x∈A), 内 定义域 .换一 函数 u=g(x)(x∈A)的值域 B 是外函数 y=f(u)的________ 值域 . 句话说,外函数 f(u)的定义域 B 应该是内函数 g(x)的______ 3.基本初等函数的值域: (1)函数 y=kx+b(k≠0)的值域为___ R; (2)函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的值域: 当 a>0 当 a<0 ?4ac-b2 ? ? ? ,+∞ ? ? ; 4a 时,值域为_________________ ? ? 2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? 时,值域为_________________ 4a ? ? ? ; k (3)函数 y=x(k≠0)的值域是{y∈R|y≠0}; (0,+∞) ; (4)函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的值域是__________ R ; (5)函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的值域是______ [-1,1] ; (6)函数 y=sin x,y=cos x(x∈R)的值域为________ (7)函数 y=tan ? ? π R . x?x≠kπ+2,k∈Z?的值域为______ ? ? 考点一 求函数的最大值、最小值 示范1 函数 y=sin2x+cos x 的值域是( A.[-1,1] ? 3? C.?-1,4? ? ? ) ? 5? B.?1,4? ? ? ? 5? D.?-1,4? ? ? 分析 先化为关于 cos x 的二次函数,然后结合二次函数图 象求解. 解析 y=1-cos2x+cos x ? 1?2 5 =-?cos x-2? +4. ? ? ∵-1≤cos x≤1, 5 ∴1-(-1) +(-1)≤y≤4, ? 5? ∴值域为?-1,4?. ? ? 2 答案 D 展示1 函数 f(x) = sin xcos x + sin x + cos x 的最小值是 ____________. 【答案】-1 【解析】令 t=sin x+cos x= ∴t∈[- 2, 2], ? π? 2sin?x+4?, ? ? ?sin x+cos x?2-1 t2-1 此时 sin xcos x= = 2 . 2 t2-1 1 ∴f(x)=g(t)= 2 +t=2(t+1)2-1. 当 t=-1 时,函数 g(t)有最小值-1, 即函数 f(x)有最小值-1. 示范2 求函数 y=sin2x+2asin x-1(a∈R)的最大值. 分析 可以用换元法, 设 t=sin x, 把问题转化为二次函数在 给定区间上的最值. 解析 设t=sin x,则y=t2+2at-1,t∈[-1,1]. 函数y=(t+a)2-a2-1的图象是开口向上的抛物线,对称 轴方程t=-a. ①当|-1+a|≥|1+a|即a≤0时,t=-1使ymax=-2a. ②当|-1+a|<|1+a|即a>0时,t=1使ymax=2a. ? ?-2a,a≤0, ∴ymax=? ? ?2a,a>0. 【点评】本题的图象对称轴可能比较接近区间[-1,1]的左 端点,也可能比较接近右端点,所以必须分类讨论. 展示2 y=2x+ 1-2x的最大值是________. 【分析】可以用换元法. 5 【答案】4 1 【解析】(换元法)首先 x≤2,设 t= 1-2x, 则 2x=1-t2(t≥0). ∴y=1-t 2 ? 1?2 5 +t=-?t-2? +4. ? ? 1 5 ∵t≥0,∴当 t=2时,ymax=4. P 示范3 求函数 f(x)=x+ (P>0,x>-1)的最小值. x+1 k 分析 设 t=x+1,则可以转化为形如 t+ 的最值. t P 解析 设 t=x+1,则 t-1=x,∴f(x)转化为 y=t-1+ =t t P + t -1≥2 P t· t -1=2 P-1(t>0). P 当且仅当 t= t 即 t= P,即 x= P-1 时,等号成立. ∴f(x)的最小值是 2 P-1. k 【点评】本题利用换元法,转化为 t+ 的最值,再利用基 t 本不等式法解之,注意要指出等号成立的条件. x2-5x+10 展示3 求函数 y= (x>3)的最小值. x-3 【解析】设 t=x-3,则 x=t+3.代入,得 ?t+3?2-5?t+3?+10 t2+t+4 4 y= = =t+ t +1. t t 4 4 ∵x>3,∴t>0,t+ t ≥2 t· t =4, 4 当且仅当 t= t ,即 t=2,即 x=5 时,等号成立. ∴ymin=5. 方法点拨:连续函数在闭区间[x1,x2]上一定有最大值和最 小值,只要在区间内把极值点找出来?存在的话?,然后对区间端 点及极值点的函数值作比较就能求出最大值 ?或最小值?.或者利 用基本不等式法,或者利用换元法转化为一元二次函数在给定 区间上的最值问题,或者利用单调性求解. 考点二 求函数的值域 示范4 求下列函数的值域: 2x+4 x2+5 (1)y= x ;(2)y= 2 . 2 +1 x +1 分析 求值域要根据函

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