2008年数学理科试卷及答案解析 安徽卷


2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第 Ⅱ卷第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
考生注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘 贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致. 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3. 答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效. 4. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

S ? 4πR2

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

其中 R 表示球的半径

P( A B) ? P( A) P( B)
如果随机变量 ?

球的体积公式

V?

4 3 πR 3

B(n, p), 那么

其中 R 表示球的半径

D? ? np(1 ? p)

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1) .复数

i3 (1 ? i)2 ? (
B.-2

) C.

A.2

2i D. ? 2i

(2) .集合 A ? ? y ? R | y ? lg x, x ? 1 ? , B ? ?2, ?1,1, 2?则下列结论正确的是( A. A C. A

?



B ? ??2, ?1?
B ? (0, ??)

B. (CR A) D. (CR A)

B ? (??,0)

B ? ??2, ?1?


(3) .在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB ? (2, 4) , AC ? (1,3) ,则 AB ? ( A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4) )

(4) .已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是(

A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m ‖? , m‖ ? , 则?‖ ? (5) .将函数 y ? sin(2 x ?

B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

?
3

) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 ( ?

?
12

, 0) 中心对称,则向量

? 的坐标可能为( ?
A. ( ?



12

, 0)

B. ( ?

?
6

, 0)

C. (

?
12

, 0)

D. (

?
6

, 0)

(6) .设 (1 ? x)8 ? a0 ? a1x ? A.2
2

? a8 x8 , 则 a0, a1 ,
C.4

, a8 中奇数的个数为(
D.5 )



B.3

(7) . a ? 0 是方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负数根的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

(8) . 若过点 A(4, 0) 的直线 l 与曲线 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1有公共点, 则直线 l 的斜率的取值范围为 ( A. [? 3, 3] B. (? 3, 3) C. [ ?

3 3 , ] 3 3

D. ( ?

3 3 , ) 3 3

(9) .在同一平面直角坐标系中,函数 y ? g ( x) 的图象与 y ? e x 的图象关于直线 y ? x 对称。而函数

y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 的图象关于 y 轴对称,若 f (m) ? ?1 ,则 m 的值是(
A. ?e B. ?



1 e

C. e

D.

1 e

2 (10) .设两个正态分布 N (?1,?12 )(?1 ? 0) 和 N (?2,? 2 )(? 2 ? 0) 的密度函数图像如图所示。则有

( A.



?1 ? ?2 ,?1 ? ? 2

B. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2 C. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2 D. ?1 ? ?2 , ?1 ? ? 2
x (11) .若函数 f ( x), g ( x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f ( x) ? g ( x) ? e ,则有(



A. f (2) ? f (3) ? g (0)

B. g (0) ? f (3) ? f (2)

C. f (2) ? g (0) ? f (3)

D. g (0) ? f (2) ? f (3)

(12)12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若其 他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( )
2 2 A. C8 A3 2 6 B. C8 A6 2 2 C. C8 A6 2 2 D. C8 A5

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数 学(理科)
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效. ...................... 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置. (13) .函数 f ( x) ?

x ? 2 ?1 log 2 ( x ? 1)

的定义域为



( 14 )在数列 {an } 在中, an ? 4n ?

5 , a1 ? a2 ? 2

an ? an2 ? bn , n ? N * , 其中 a , b 为常数,则

a n ? bn lim n 的值是 n ?? a ? b n
?x ? 0 ? (15)若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x ? y ? a ?y ? x ? 2 ?
扫过 A 中的那部分区域的面积为 (16)已知 A, B, C , D 在同一个球面上, AB ? 平面BCD, BC ? CD, 若 AB ? 6, AC ? 2 13,

AD ? 8 ,则 B, C 两点间的球面距离是
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) . (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2

? ?

(18) . (本小题满分 12 分 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, ?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD ,

OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点
(Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;

O M A B N C D

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离。

(19). (本小题满分 12 分) 为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了 n 株沙柳,各 株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为 p,设 ? 为成活沙柳的株数,数学期望 E? ? 3 ,标准差 ??



6 。 2

(Ⅰ)求 n,p 的值并写出 ? 的分布列; (Ⅱ)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率

(20) . (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 0且x ? 1) x ln x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知 2 x ? x 对任意 x ? (0,1) 成立,求实数 a 的取值范围。
a 1

(21) . (本小题满分 13 分)
3 设数列 ?an ? 满足 a0 ? 0, an?1 ? can ? 1 ? c, c ? N * , 其中c 为实数

(Ⅰ)证明: an ?[0,1] 对任意 n ? N 成立的充分必要条件是 c ? [0,1] ;
*

1 ,证明: an ? 1 ? (3c)n?1, n ? N * ; 3 1 2 2 2 2 ,n? N* (Ⅲ)设 0 ? c ? ,证明: a1 ? a2 ? an ? n ? 1 ? 3 1 ? 3c
(Ⅱ)设 0 ? c ?

(22) . (本小题满分 13 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1) ,且着焦点为 F1 (? 2,0) a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当过点 P(4,1)的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点 A, B 时,在线段 AB 上取点 Q ,满足

AP QB ? AQ PB,证明:点 Q 总在某定直线上

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)答案解析
一. 选择题 1A 2D (1) A .

3B
2

4D

5C

6A

7B

8C

9B

10A

11D

12C

3 3 4 【解析】 i ?1 ? i ? ? i 2i ? 2i ? 2 .

(2) D . 【解析】 (3) B . 【解析】 BD ? AD ? AB ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? (?3, ?5) . (4) D . 【解析】若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m, n 可相交,平行、异面均可, A 错;若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ,? 可 平行,也可相交, B 错误;若 m ∥ ? , n ∥ ? , m, n 的位置关系决定 ? ,? 的关系, C 也错误;若 ,故选 D . m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n (线面垂直的性质定理) (5) C . 【解析】设 a =(h,0) ,则平移后所得的函数为 y=sin ? 2(x ? h ) ?

A ? ? y ? R | y ? lg x, x ? 1? ? (0, ??) ???R A? B ? ??2, ?1? .

? ?

??

?? ? ? ? sin? 2x ? 2h ? ? ,图象关 3? 3? ?

于点 ? ?

? k ? ?? ? ? ? ? ?? ? , 0 ? 对称,从而有 sin ? 2 ? (? ) ? 2h ? ? ? sin ? ? 2h ? ? 0 ,解得 h ? ? ? (其 12 2 12 3? ? 12 ? ? ?6 ?

中k ?Z ) ,故选 C . (6) A . 【解析】 a0 ? a8 ? 1 ,奇遇都是偶数,选 A . (7) B . 【解析】这一题是课本习题改编题,当 a ? 0 ,显然有 x1 x2 ?

1 ? 0 ,则有一负数根,具备充分性; a

? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? 1 2 ? 反之若方程有一负数根, a ? 0 或 x1 x2 ? ? 0 或 ? x1 ? x2 ? ? ? 0 ,得到 a ? 1 ,不具备必要性, a a ? 1 ? x1 x2 ? ? 0 ? a ?
因此选 B . (8) C . 【解析 】点 A? 4,0? 在圆外,因此斜率必存在 .设经过该点的直线方程为 kx ? y ? 4k ? 0 ,所以有

2k ? 0 ? 4 k k ?1
2

? 1 ,解得 ?

3 3 ?k? 3 3

.从而选 C .

(9) B . 【解析】

f ? m? ? ?1 ,? (m, ?1) 在函数 y ? f ? x ? 的图象上,从而点 (?m, ?1) 在 y ? g ( x) 的图象
?1

上,因此点 (?1, ?m) 在 y ? e x 的图象上,故有 ?m ? e ,即 m ? ? (10) A .
? 1 【解析】正态分布函数 F ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

1 ,因而选 B . e

图象关于直线 x ? ? 对

称, 而 ? 2 ? D? , 其大小表示变量集中程度, 值越大, 数据分布越广, 图象越胖;值越小,量越集中,图象越瘦,因此选 A . (11) D . 【 解 析 】 f ? x? ?

e x ? e? x , 在 R 上 为 增 函 数 , 有 2

2?

e2 ? 1 e2 ? e ?2 e x ? e? x ? ? f (2) ? f (3) ; g ? x ? ? , g (0) ? ?1 ,此选 D . 2 2 2

(12) C .
2 1 1 2 【解析】在后排选出 2 个人有 C8 种选法,分别插入到前排中去,有 A5 种方法,由乘法原理 ? A6 ? A6 2 2 知共有 C8 种调整方案,选 C . ? A6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡的相应位置。 13: [3, ??) (13) [3, ??) . 14: 1 15:

7 4

16:

4? 3

? x ? 1, or x ? 3 ?| x ? 2 | ?1 ? 0 ? ?? x ?1 【解析】由 ? ,解得: x ? 3 ,值域为 [3, ??) . ?log(x ?1) ? 0 ? x?2 ?
(14)1.

1 3 5 2n ? (- ) n ( ? 4n ? ) ? n n n 1 a ? b 1 2 ?1 2 ? a ? 2, b ? ? , 【解析】 sn ? 2 从而 lim n ? lim ? 2n2 ? n , n ?? a ? b n n ?? n 1 n 2 2 2 2 ? (- ) 2 7 (15) . 4
【解析】作出可行域,如右图,则直线扫过的面积为

1 1 2 2 7 S AOBC ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? 即可. 2 2 2 2 4

C

2 B

A -2 O A

(16)

4 ?. 3

ABC 、 ABD 、 ACD 【解析】 都是直角三角形,因此球心 O 为 AD 的中点,
? R ? 4 ,又 BC ? (2 13) 2 ? 62 ? 4
O C B

??BOC ?

?
3 4 ?. 3

则 B,C 两点间的球间距离是

D

二. 解答题 17 解: (1)

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? (sin x ? cos x)(sin x ? cos x) 2 2 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2
? s i n (x2? ?周期T ?
由 2x ?

?
6

)

?
6

2? ? ? 2

? k? ?

?

2

(k ? Z ), 得x ?

k? ? ? (k ? Z ) 2 3

? 函数图象的对称轴方程为 x ? k? ?
(2)

?

x ? [?

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ] 12 2 6 3 6
?
?
3

? ?

3

(k ? Z )

因为 f ( x) ? sin(2 x ? 所以 当x ?

6

) 在区间 [?

, ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减, 3 2 12 3

? ?

? ?

时, f ( x ) 去最大值 1



f (?

?
12

)??

? 3 ? 1 3 ? f ( ) ? ,当 x ? ? 时, f ( x) 取最小值 ? 12 2 2 2 2
3 , ] 上的值域为 [? ,1] 12 2 2

所以 函数 f ( x ) 在区间 [?

? ?

18 方法一(综合法) (1)取 OB 中点 E,连接 ME,NE

O

ME‖ AB,AB‖ CD, ? ME‖ CD


M E Q A P B N C D

NE‖ OC,?平面MNE‖ 平面OCD

? MN‖ 平面OCD
(2)

CD‖ AB,

∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)
作 AP ? CD于P, 连接 MP

∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP

∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 2
DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3

MD ? MA2 ? AD2 ? 2 ,∴ cos ?MDP ?
所以 AB 与 MD 所成角的大小为

? 3

(3)∵ AB‖ 平面OCD, ∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP,过点 A 作

AQ ? OP 于点 Q,∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP,∴ AQ ? CD
又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD 2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 , AP ? DP ? ? 2 2 2

2 2 OA AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 ∴ AQ ? ? 3 OP 3 3 2 2
方法二(向量法) 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y , z 轴建立坐标系

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), P(0,

2 2 2 2 2 , 0), D(? , , 0), O(0, 0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , , 0) , 2 2 2 4 4

(1) MN ? (1 ?

2 2 2 2 2 , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 2 2

设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n OP ? 0, n OD ? 0

z O

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 2
取z ?

M

2 ,解得 n ? (0,4, 2)

2 2 ∵ MN n ? (1 ? , , ?1) (0, 4, 2) ? 0 4 4

A x B N CP

D y

? MN‖ 平面OCD
(2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (?

2 2 , , ?1) 2 2

∴c o ? s ?

AB MD AB ? MD

?

? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ∴ ,?? 3 2 3

(3)设点 B 到平面 OCD 的交流为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ?

OB ? n n

?

2 2 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 3

19 (1)由 E? ? np ? 3, (?? ) ? np(1 ? p ) ?
2

3 1 1 , 得 1 ? p ? ,从而 n ? 6, p ? 2 2 2

? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

5

6

1 64

6 64

15 64
则 P( A) ? P(? ? 3),

20 64


15 64

6 64

1 64

(2)记”需要补种沙柳”为事件 A,

P ( A )?

1 ? 6? 1 ? 5 64

20 ?

21 15 ? 6 ? 1 21 , 或 P( A) ? 1 ? P(? ? 3) ? 1 ? ? 32 64 32

20 解 (1)

f ' ( x) ? ?

1 ln x ? 1 , 若 f ' ( x) ? 0, 则 x ? 列表如下 2 2 e x ln x 1 (0, ) e 1 e
0 极大值 f ( )

x
f ' ( x)
f ( x)
1

1 ( ,1) e

(1, ??)

+
单调增

1 e
单调减

单调减

(2)



2 x ? x a 两边取对数, 得

1 ln 2 ? a ln x ,由于 0 ? x ? 1, 所以 x
(1)

a 1 ? ln 2 x ln x

1 f ( x ) ? f ( ) ? ?e , e a ? ?e ,即 a ? ?e ln 2 为使(1)式对所有 x ? (0,1) 成立,当且仅当 ln 2
由(1)的结果可知,当 x ? (0,1) 时, 21 解 (1) 必要性 :∵a1 ? 0,∴a2 ? 1 ? c , 又 ∵a2 ?[0,1],∴0 ? 1 ? c ? 1 ,即 c ? [0,1] 充分性 :设 c ? [0,1] ,对 n ? N 用数学归纳法证明 an ?[0,1]
*

当 n ? 1 时, a1 ? 0 ?[0,1] .假设 ak ?[0,1]( k ? 1)
3 3 则 ak ?1 ? cak ? 1 ? c ? c ? 1? c ? 1,且 ak ?1 ? cak ? 1 ? c ? 1 ? c ?? 0

∴ak ?1 ?[0,1] ,由数学归纳法知 an ?[0,1] 对所有 n ? N * 成立
(2) 设 0 ? c ?

1 ,当 n ? 1 时, a1 ? 0 ,结论成立 3

当 n ? 2 时,
3 2 ∵an ? can 1 ? an ? c(1 ? an?1 )(1 ? an?1 ? an ?1 ? 1 ? c,∴ ?1 )

∵0 ? C ?

1 2 ,由(1)知 an?1 ?[0,1] ,所以 1 ? an?1 ? an ?1 ? 3 且 1 ? an ?1 ? 0 3

∴1 ? an ? 3c(1 ? an?1 )

∴1 ? an ? 3c(1 ? an?1 ) ? (3c)2 (1 ? an?2 ) ?
∴an ? 1 ? (3c)n?1 (n ? N * )
(3) 设 0 ? c ?

? (3c)n?1 (1 ? a1 ) ? (3c)n?1

1 2 2 ,当 n ? 1 时, a1 ? 0 ? 2 ? ,结论成立 3 1 ? 3c

当 n ? 2 时,由(2)知 an ? 1 ? (3c) n?1 ? 0
2 ∴an ? (1 ? (3c)n?1 )2 ? 1 ? 2(3c)n?1 ? (3c)2( n?1) ? 1 ? 2(3c)n?1 2 ∴a 2 1 ?a2 ? 2 2 ? an ? a2 ? 2 ? an ? n ?1? 2[3c ? (3c)2 ?

? (3c)n?1 ]

? n ?1?

2(1 ? (3c)n ) 2 ? n ?1? 1 ? 3c 1 ? 3c

22 解 (1)由题意:

?c 2 ? 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 2 2 2 ? ?c ? a ? b
(2)方法一

,解得 a2 ? 4, b2 ? 2 ,所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

设点 Q、A、B 的坐标分别为 ( x, y),( x1, y1 ),( x 2 , y2 ) 。 由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零,记 ? ?

AP PB

?

AQ QB

,则 ? ? 0 且 ? ? 1

又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ?QB 于是

4?

x1 ? ? x2 , 1? ? x ? ? x2 x? 1 , 1? ?

y1 ? ? y2 1? ? y1 ? ? y2 y? 1? ? 1?

从而
2 x12 ? ? 2 x2 ? 4x , 1? ?2

(1)

y12 ? ? 2y2 2 ? y, 1? ?2
2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,

(2)

又点 A、B 在椭圆 C 上,即

x12 ? 2 y12 ? 4,

(3)

(4)

(1)+(2)×2 并结合(3) , (4)得 4s ? 2 y ? 4 即点 Q( x, y ) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上 方法二 设点 Q( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由题设, PA , PB , AQ , QB 均不为零。 且

PA AQ

?

PB QB

又 P, A, Q, B 四点共线,可设 PA ? ?? AQ, PB ? ? BQ(? ? 0, ?1) ,于是

4 ? ?x 1? ? y , y1 ? 1? ? 1? ? 4 ? ?x 1? ? y x2 ? , y2 ? 1? ? 1? ? x1 ?

(1) (2)
2 2

由于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在椭圆 C 上,将(1) , (2)分别代入 C 的方程 x ? 2 y ? 4, 整理得

( x2 ? 2 y 2 ? 4)? 2 ? 4(2 x ? y ? 2)? ? 14 ? 0 ( x2 ? 2 y 2 ? 4)? 2 ? 4(2x ? y ? 2)? ? 14 ? 0
(4)-(3) 得

(3) (4)

8(2 x? y? 2 ?)?

0

∵? ? 0,∴ 2 x ? y ? 2 ? 0
即点 Q( x, y ) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上


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