2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及详解答案【高一】_图文

2016 年全国高中数学联赛湖北预赛(高一)

一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 9 分,共 90 分)

1.已知函数

f

? x? 满足:

f

?1?

?

2



f

? x ?1?

?

1? 1?

f f

?x? ?x?

对定义域内任意

x

都成立.那么

f ?2016? ? __________.

2.不等式 3 x?2 ? 3 x?1 ? 28 的解集为__________.
3.从五个正整数 a,b, c, d, e 中任取四个求和,得到的和值构成集合?44, 45, 46, 47? ,则

a ? b ? c ? d ? e ? __________.

4.求值: cos π ? cos 3π ? cos 5π ? cos 7π ? __________.

9

9

9

9

5. ?ABC 中,角 A, B,C 的边长分别为 a,b, c , D 是 BC 的中点,若 a ? 4 , AD ? c ?b ,

则 ?ABC 的面积的最大值为__________.

6.如果存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 acos x ? bcos 2x ?1 无实数解,则实数 b 的最大值
为__________.

7.已知质数 p, q 满足 q5 ? 2 p2 ? 1,则 p ? q ? __________.

8.已知实数 x, y 满足:22?3x ? 21?5y ? 1 ,x ? 1 ? 3,8x ? 32y ? 8 .那么,xy ? __________. 2y

9.已知 MN 是边长为 2 6 的等边 ?ABC 的外接圆的一条动弦, MN ? 4 , P 为 ?ABC 的

边上动点,则 MP ? PN 的最大值为__________.

10.设

?a?

表示不大于

a

的最大整数,则方程

? ??

x 7

? ??

?

? ??

x 8

? ??

?

1

的最大正整数解为__________.

二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

11.已知 ?ABC 得三边长 a,b, c ( a ? b ? c )均为整数,且满足:

(1) a,b, c 构成等比数列;(2) a,b, c 中至少有一个等于100.

求符合要求的三元数组 ?a,b,c? 的个数.

12.已知二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c 满足条件:

(1) ?4a ? b ? ?2a ; (2)当 x ? 1时, f ? x? ? 1.

证明:当 x ? 2 时, f ? x? ? ? 5 .
4

13.已知定义在 R 上的函数 f ? x? 满足: f ?1? ? 10 ,且对任意实数 x, y ,恒有
3

f ?x? f ? y? ? f ?x ? y? ? f ?x ? y? ,若数列?an? 满足 an ? 3 f ?n? ? f ?n ?1?, n? N* .

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)令 bn

?

24an
?3an ? 8?2

, n? N*

, Sn

是数列?bn? 的前 n

项和,求证:

Sn

?1.

2016 年全国高中数学联赛湖北预赛(高一)

答案详解

一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 9 分,共 90 分)

1.已知函数

f

? x? 满足:

f

?1? ?

2,

f

?x

?1? ?

1? 1?

f f

?x? ?x?

对定义域内任意

x

都成立.那么

f ?2016? ? __________.

【解析】由于 f ?1? ? 2, ,则 f ?2? ? ?3, f ?3? ? ? 1 , f ?4? ? 1 ,

2

3



f

?x ?1? ? 1?
1?

f f

?x? ?x?

,则

f ?x ?

2? ?

1? 1?

f ?x ?1? f ?x ?1?

??

f

1
?x?

,所以

f ?x ? 4? ? ?

1
f ?x ?

2?

?

f

?x?,

因此,函数 f ?x? 是周期为 4 的周期函数,因而 f ?2016? ? f ?503? 4 ? 4? ? f ?4? ? 1 .
3
2.不等式 3 x?2 ? 3 x?1 ? 28 的解集为__________.
【解析】当 ?2 ? x ?1时, x ? 2 ? x ?1 ? ?x ? 2? ? ?x ?1? ? 3 ,

且 g?x? ? 3 x?2

? 3 x?1

? 3x?2

? 31?x

? 9???3x ?

?

3?1 3x

????



??

2,?1?

上是减函数,在

??

1,1?

上是增函数

g?x?? g?? 2? ? g?1? ? 28

当 x ? 1时, f ?x? ? x ? 2 ? x ?1 是增函数,所以当 x ? 1时, g?x? ? 3 x?2 ? 3 x?1 是增函数,

且 g?x? ? 3 x?2 ? 3 x?1 ? g?1? ? 28

当 x ? ?2 时, f ?x? ? x ? 2 ? x ?1 是减函数,所以当 x ? ?2 时, g?x? ? 3 x?2 ? 3 x?1 是减函数,

且 g?x? ? 3 x?2 ? 3 x?1 ? g?? 2? ? 28

所以不等式 3 x?2 ? 3 x?1 ? 28 的解集为 ?? ?,?2?? ?1,???

3.从五个正整数 a,b, c, d, e 中任取四个求和,得到的和值构成集合?44, 45, 46, 47? ,则

a ? b ? c ? d ? e ? __________.
【解析】从正整数 a,b, c, d, e 中任取四个求和总和为 4?a ? b ? c ? d ? e?,得到的和值构成 5

个数,如果得到的和值构成集合?44, 45, 46, 47? ,则 44,45,46,47 的四个数之中必有一个数

是相同的,假设相同的数是 x,则
4?a ? b ? c ? d ? e? ? 44 ? 45 ? 46 ? 47 ? x ?182 ? x ? 45? 4 ? 2 ? x , 所以, 2 ? x 能够被 4 整除,又 x ??44,45,46,47?,那么 x ? 46 , 4?a ? b ? c ? d ? e? ? 44 ? 45 ? 46 ? 47 ? 46 ? 228 ,则 a ? b ? c ? d ? e ? 57

4.求值: cos π ? cos 3π ? cos 5π ? cos 7π ? __________.

9

9

9

9

【解析】 cos ? ? cos 3? ? cos 5? ? cos 7?

9

9

9

9

?

1 2 sin

?

?? 2 cos ? ?9

sin

? 9

? 2 cos

3? 9

sin

? 9

? 2 cos

5? 9

sin ? 9

? 2 cos 7? 9

sin ? 9

?? ?

9

?

1 2 sin

?

?? sin ?

2? 9

? sin

4? 9

? sin

2? 9

? sin

6? 9

? sin

4? 9

? sin 8? 9

? sin

6? 9

?? ?

9

?

1 2 sin

?

?? sin ?

8? 9

?? ?

?

1 2

9

5. ?ABC 中,角 A, B,C 的边长分别为 a,b, c , D 是 BC 的中点,若 a ? 4 , AD ? c ?b ,

则 ?ABC 的面积的最大值为__________. 【解析】如图,由于 D 是 BC 的中点,
由三角形中线性质得: 4AD2 ? BC2 ? 2b2 ? 2c2 ,

A

c

b

即 4?c ? b?2 ? 42 ? 2b2 ? 2c2 , b2 ? c2 ? 4bc ? 8 ? 2bc ,

B

于是 bc ? 4 ,在 ?ABC 中,由余弦定理得

D a=4 C

cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? b2 ? c2 ?16 ? 4bc ? 24 ? 2 ? 12

2bc

2bc

2bc

bc

sin2

A ? ?3 ?

48 ? bc

144 b2c2



设 ?ABC 的面积为 S ,

? ? 则 S 2 ? 1 b2c2 sin2 A ? 1 ? 3b2c2 ? 48bc ?144 ? 12 ? 3 ?bc ? 8?2

4

4

4

S 2 ? 12 ? 3 ?bc ? 8?2 ? 12 , S ? 4 3 ,当 bc ? 8时等号成立,
4

6.如果存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 acos x ? bcos 2x ?1 无实数解,则实数 b 的最大值

为__________.

【解析】使得关于 x 的不等式 a cos? bcos 2x ?1无实数解,即存在实数 a

使得关于 x 的不等式 acos x ? bcos 2x ?1 有全体实数解,即关于 x 的不等式

acos x ? bcos 2x ?1的解为全体实数,根据二倍角公式, 2b cos2 x ? a cos x ? b ?1 ? 0 ,

换元得: cos x ? t , ?1? t ?1 b
当 ?1? t ?1时,不等式 2bt2 ? at ? b ?1 ? 0 恒成立,

令 f ?t? ? 2bt2 ? at ? b ?1 ? 0,?1 ? t ? 1,则

只要

?2b ??2b

? ?

a a

? ?

b b

?1 ?1

? ?

0, 0.



?a ??a

? ?

b b

? ?

1 1

? ?

0, 0.

时不等式恒成立

建立关于 aOb 的直角坐标系,

满足不等式组的点集如图所示,

由图可知,b 的最大值为 1

1

-1 O 1

a

7.已知质数 p, q 满足 q5 ? 2 p2 ? 1,则 p ? q ? __________.
? ? 【解析】根据 1 ? q ? q2 ? q3 ? q4 ? q5 ?1 ,得 ?q ?1? q4 ? q3 ? q2 ? q ?1 ? q5 ?1 q ?1
? ? 由 q5 ? 2 p2 ? 1得, q5 ?1 ? 2 p2 ,即 ?q ?1? q4 ? q3 ? q2 ? q ?1 ? 2 p2 ,
因为 p, q 都是质数, q4 ? q3 ? q2 ? q ? 1 是奇数, p 2 是奇数,则 当 q ?1 ? 2 时 q ? 3 ,由 35 ?1 ? 2 p2 可得 p ? 11,所以 p ? q ? 14 ;

当 q ?1 ? 2 p 则 q4 ? q3 ? q2 ? q ? 1 ? p , 2q4 ? 2q3 ? 2q2 ? 2q ? 2 ? q ?1,得 2q4 ? 2q3 ? 2q2 ? q ? 3 ? 0 矛盾,同理 q ?1 ? 2 p2 也不成立,所以 p ? q ? 14

8.已知实数 x, y 满足:22?3x ? 21?5y ? 1 ,x ? 1 ? 3,8x ? 32y ? 8 .那么,xy ? __________. 2y

【解析】由 22?3x

? 21?5 y

?

1

,得

1

?

22?3x

?

21?5 y

?

2?3x??1?5 y
2?2 2



22

y

所以 3x ? 5y ? 7 ? 0 , 8x ? 32y ? 8 , 23x ? 25y ? 23 ,

所以 6x ? 5y ? 5 ? 0 ,

x? 1 ?3 y

又 22?3x ? 21?5 y ? 1 ? 22?3x , x ?1 , 2

22?3x ? 21?5 y ? 1 ? 21?5 y , y ? 2

2

5

联立得

1 -1 O 6x-5y-5=0

A?? 4 , 3 ?? ?3 5?

)

x

3x+5y-7=0

?

?3x ? 5y ? 7 ? 0, ?

?6x ? 5y ? 5 ? 0,

???x ? ?

1 y

? 3,

画出满足上面不等式组图象如下,

?x ? 1,

?

? ??

y

?

2 5

故只有点 A?? 4 , 3 ?? 满足条件,所以 xy ? 4

?3 5?

5

9.已知 MN 是边长为 2 6 的等边 ?ABC 的外接圆的一条动弦, MN ? 4 , P 为 ?ABC 的

边上动点,则 MP ? PN 的最大值为__________.
【解析】如图,设 Q 是线段 MN 的中点, 由平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和得:
? ? 2 PM 2 ? PN 2 ? 4PQ2 ? 42
PM 2 ? PN 2 ? 2PQ2 ? 8

A
P N

由 MP ? PN ? MN ,得

2
MP

?

2
PN

?

2MP ?

PN

?

2
MN



MP ? PN

?

4?

2
PQ

?

4

?

PQ

2

?

4



B M

C Q

2
当 PQ ? 0 时,即点 P 与 Q 重合时, MP ? PN 取得最大值 4.

10.设

?a?

表示不大于

a

的最大整数,则方程

? ??

x 7

? ??

?

? ??

x 8

? ??

?

1

的最大正整数解为__________.

【解析】设

? ??

x 7

? ??

?

? ??

x 8

? ??

?

1

?

m

?

1,则

x

?

7m

?

r



0

?

r

?

7



? ??

x 8

? ??

?

m

?

1,所以

m ?1 ? x ? m , 8m ?8 ? x ? 8m,所以, 8m ?8 ? 7m ? r ? 8m 8
r ? m ? 8 ? r , 0 ? r ? 7 ,1 ? m ?15 当1? m ? 7 时,解为 x ? 7m ? r , r ? 0,1,2,?, m ?1

当 8 ? m ?14时,解为 x ? 7m ? r , r ? m ?8, m ? 7,?,6 当 m ?14, r ? m ?8 ? 6 成立,所以 x ? 7?14 ? 6 ?104 . 二、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
11.已知 ?ABC 得三边长 a,b, c ( a ? b ? c )均为整数,且满足:

(1) a,b, c 构成等比数列;(2) a,b, c 中至少有一个等于100.

求符合要求的三元数组 ?a,b,c? 的个数.

12.已知二次函数 f ? x? ? ax2 ? bx ? c 满足条件:

(1) ?4a ? b ? ?2a ; (2)当 x ? 1时, f ? x? ? 1.

证明:当 x ? 2 时, f ? x? ? ? 5 .
4

13.已知定义在 R 上的函数 f ? x? 满足: f ?1? ? 10 ,且对任意实数 x, y ,恒有
3

f ?x? f ? y? ? f ?x ? y? ? f ?x ? y? ,若数列?an? 满足 an ? 3 f ?n? ? f ?n ?1?, n? N* .

(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)令 bn

?

24an
?3an ? 8?2

, n? N*

, Sn

是数列?bn? 的前 n

项和,求证:

Sn

?1.


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