高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何 3.3 异面直线的距离(补充)

一、学习任务 介绍异面直线距离的概念,会计算简单的异面直线距离的问题,加深对空间位置关系的理解. 二、知识清单
异面直线的距离

三、知识讲解
1.异面直线的距离 描述: 设直线 a ,b 是异面直线,则存在直线 l 与直线 a ,b 均相交且垂直,此时直线 l 称为异面直 线 a ,b 的公垂线,直线 l 夹在直线a ,b 之间的部分称为异面直线a ,b 的公垂线段.异面直线 a, b 的公垂线段的长度称为异面直线 a ,b 的距离. 例题: 如图,长方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 中, AB = BC = 1,AA 1 = 2 ,求直线 A 1 C1 与 B 1 B 之间的距离.

解:连接 B 1 D 1 交 A 1 C1 于 E 点,因为长方体中 AB = BC,所以长方体上下底面均为正 方形,故 A 1 C1 ⊥ B 1 D 1 . 又长方体可知 BB 1 ⊥ 面 A 1 B 1 C1 D 1 ,B 1 E ? 面 A 1 B 1 C1 D 1 ,所以 BB 1 ⊥ B 1 E. 综上可知,B 1 E 为异面直线 A 1 C1 和 BB 1 的公垂线,结合 AB = BC = 1,所以

B1 E =

√2 . 2

因此直线 A 1 C1 与 B 1 B 之间的距离为

√2 . 2

2

四、课后作业

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1. ABCD 是边长为 1 的正方形, E 、 F 分别是 BC 、 CD 的中点,沿 AE 、 EF 、 AF 折起, 使 B 、 C 、 D 重合于 P ,则直线 AP 与 EF 间的距离为 ( A.

)
D.

答案: D

√3 2

B.

√3 4

C.

√2 2

√2 4

2. 与正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A 1 D 1 所在直线的距离相等的点 ( A.有且只有 1 个
答案: D 解析: 满足题意的点有无数个,且都在正方体的体对角线

)

C.有且只有 3 个

B.有且只有 2 个 D.有无数个

B 1 D 所在的直线上.

3. 正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 的棱长为 a ,那么 (1)直线 BA 1 与 CC1 所成角的大小为 (2)直线 BA 1 与 B 1 C 所成角的大小为 (3)异面直线 BC 与 AA 1 的距离为 (4)异面直线 BA 1 与 CC1 的距离为
答案:

. . . .

45? ;60? ;a ;a


4. 已知正方体 ABCD ? A 1 B 1 C1 D 1 的棱长是 1 ,则直线 DA 1 与 AC 间的距离为
答案:

√3 3

解析:

3

以 A 为原点, AB 为 x 轴正方向建立空间直角坐标系, M , N 分别是 A 1 D , AC 上的 点,且 MN 是 DA 1 与 AC 间的垂线段. 可设 M (0, m, 1 ? m) , N (t, t, 0) ,利用 MN ⊥ A 1 D 且 MN ⊥ AC 可求得 M , N 坐标, 从而求出 DA 1 与 AC 间的距离.

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