函数性质及应用

学思教育 高三数学 2015 年 函数及性质应用 一、知识要点 1、函数的定义含有三个要素: 2、函数的表示方法: 3、函数单调性: 一般地,对于给定区间上的函数 f ? x ? ,如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 x1 、 x 2 , 当 x1 ? x2 时, (1)都有 f ? x1 ? (2)都有 f ? x1 ? 。 。 f ? x2 ? ,那么就说 f ? x ? 在这个区间上是增函数。 f ? x2 ? ,那么就说 f ? x ? 在这个区间上是减函数。 , 。 对于给定区间上的函数 f ? x ? ,函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调 函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调 4、函数的奇偶性: 一般地,对于函数 f ? x ? (1)如果对于函数定义域内的任意一个 x ,都有 (2)如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 ,那么函数 f ? x ? 就叫做奇函数。 ,那么函数 f ? x ? 就叫做偶函数。 对称。 对称。 f ? x ? 为奇函数 ? f ? x ? 的图像关于 f ? x ? 为偶函数 ? f ? x ? 的图像关于 二、学法指导 1、函数是高中数学的核心内容,是数学中最重要的概念之一,它贯穿中学数学的始终,对函数有关概念,要 做到准确,深刻理解,并能加以灵活应用。 2、奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇 (或偶)函数。如果一个奇函数 f ? x ? 在 x ? 0 有意义,则这个函数在 x ? 0 处的函数值一定为 0。 三、题型讲解 【题型 1】函数定义理解 1、下列图形中,不可作为 函数 y ? f ( x) 图象的是( y y ) y y O A x O B x O C x O D x 设 A、B 是非空的 中都有 ,如果按照某种确定的 ,使对于集合 A 中的 一个数 x,在集合 B 确定的数 f ( x) 和它对应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 注:函数与映射的区别、联系 1 学思教育 高三数学 2015 年 2、下列各组函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象相同的是( A. f ( x) ? x, g ( x) ? ( x )2 C. f ( x) ? 1, g ( x) ? x0 函数三要素: ) B. f ( x ) ? x 2 , g ( x ) ? x4 x2 D. f ? x ? ?| x |, g ? x ? ? ? ? ? x ? x ≥ 0? ? ?? x ? x ? 0 ? 。两个函数只有这三要素完全相同,这两个函数才是同一函数。 【题型 2:函数定义域】 例 1、设全集为 R ,函数 f ? x ? ? 1 ? x 2 的定义域为 M ,则 CR M 为( A. [ ?1,1] A. (0,1) (2) f ( x) ? B. ( ?1,1) B. [0,1) C. (??, ?1] ? [1, ??) ) C. (0,1] D. [0,1] 练习 1、 (1)函数 y ? x ln(1 ? x) 的定义域为( ) D. (??, ?1) ? (1, ??) ( x ? 1) 0 | x | ? x 的定义域是_______________ 函数定义域,要注意以下几点: (1)若 f ( x) 是整式,则函数的定义域是 R; (2)若 f ( x) 是分式,则函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合; (3)若 f ( x) 是偶次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合。 (4) 0 的 0 次幂没有意义 (5)对数的真数大于 0 【题型 3:分段函数】 2 ? x?0 ?x 例 2、已知 f ? x ? = ? ,则 f ?2? ? f ?? 2? 的值为( ? ? f ? x ? 1? , x≤0 ) D.2 A.6 B.5 C.4 1, ?3x ? 2, x< 练习 2、已知函数 f ? x ? ? ? 2 若 f ? f ? 0?? = 4a ,则实数 a= ? x ? ax, x ≥1, ?2 x ? a, x<1 例 3、已知实数 a ? 0 ,函数 f ? x ? ? ? ,若 f ?1 ? a ? ? f ?1 ? a ? ,则 a 的值为 ? ? x ? 2a, x ≥ 1 。 1 ? ? x ? , x ? A, ? 1? ?1 ? 练习 3、设集合 A ? ?0, ? , B ? ? ,1? ,函数 f ? x ? ? ? ,若 x0 ? A ,且 f [ f ( x0 )] ? A , 2 ? 2? ?2 ? ? 2(1 ? x ), x ? B . ? 则 x 0 的取值范围是( ) ? 1? A. ? 0, ? ? 4? ? 1 1? B. ? , ? ? 4 2? ?1 1? C. ? , ? ?4 2? ? 3? D. ? 0, ? ? 8? 2 学思教育 高三数学 2015 年 【题型 4:函数解析式的求法】 例 4、求下列函数的解析式 (1)已知 f ( x) 是二次函数,且 f (0) =2, f ( x ? 1) - f ( x) =x-1,求 f ( x) ; (2)已知 f ( x ? 1) = x 2 +2x,求 f ( x) (3)若 f (3x ? 1) ? 1 ? x2 ,则 f (2) ? x (4)若 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) (5)若 2 f ( x) ? f (? x) ? 4 x, 求f ( x). 1 x 练习 4、求下列函数解析式 (1)已知一次函数 f ( x) 满足 f [ f ( x)] ? 4 x ? 6 ,求 f ( x) 2 ? 1 ? x

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