2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题:第一章§5.1知能演练轻松闯关

1.(教材习题改编)已知两条直线 m,n 及平面 α,则下列几个命题 (1)若 m∥α,n∥α,则 m∥n; (2)若 m∥α,m∥n,则 n∥α; (3)若 m∥α,则 m 平行于 α 内所有直线. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 A.(1)中 m 与 n 相交、平行、异面均有可能;(2)中,n 也可能在 α 内;(3)中, m 也可能与 α 内的直线异面.故选 A. 2. (2013· 汉中陕飞二中调研)已知 b 是平面 α 外的一条直线, 下列条件可得出 b∥α 的是 ( ) A.b 与 α 内的一条直线不相交 B.b 与 α 内的两条直线不相交 C.b 与 α 内的无数条直线不相交 D.b 与 α 内的所有直线不相交 解析:选 D.若 b 与 α 内的所有直线不相交,即 b 与 α 无公共点,故 b∥α,故选 D. 3.已知直线 a、直线 b,平面 α 与平面 β 满足下列关系:a∥α,b∥α,a β,b β,则 α 与 β 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.重合 D.不能确定 解析:选 D.a∥α,b∥α,a β,b β,但是直线 a 与直线 b 的关系未确定,如果直线 a 与直线 b 平行,那么 α 与 β 可能相交,也可能平行;如果直线 a 与直线 b 相交,那么 α∥β. 4.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的 中点,则能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 解析: 选 B.利用线面平行的判定定理可知①④中 AB∥平面 MNP, 易错点是误认为②中 AB∥平面 MNP. 5.在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE∶EB=CF∶FB=1∶ 2,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定 解析:选 A.如图所示,由

AE CF = ,得 AC∥EF,EF 平面 DEF,AC 平面 DEF,所以 AC∥平面 DEF. EB FB 6.P 是两条异面直线 a、b 外一点,则过点 P 可作__________个平面与 a、b 都平行. 解析:过点 P 分别作直线 a′、b′,使 a′∥a,b′∥b,则过直线 a′和 b′有且只 有一个平面 α,使 a∥α 且 b∥α. 答案:1 7.已知 a、b、c 为三条不重合的直线,α、β、γ 为三个不重合的平面,则下面三种说 法 ①a∥c,b∥c?a∥b;②γ∥α,β∥α?γ∥β;③a∥γ,α∥γ?a∥α. 其中正确说法的序号是__________. 解析:①平行公理,故①正确.②由平面平行的传递性知②正确.③a α 时,不正确. 答案:①② 8.(2013· 九江同文中学期中测试)完成下列证明. 已知:a∥b,a∩α=A.求证:b α. 证明: 假设 b α, 因为 a∥b, 所以________或________, 这与 a∩α=A 矛盾, 所以 b α. 解析: 在本题中, 假设 b α 的反面成立, 也即 b α 成立, 再由 a∥b, 得到 a∥α 或 a α, 与已知 a∩α=A 矛盾,从而 b α 成立. 答案:a∥α a α 9.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=90° ,M、N 分别为 BB1、A1C1 的 中点.求证:MN∥平面 ABC1.

证明:

取 AC1 的中点 F,连接 BF、NF, 在△AA1C1 中,N、F 是中点, 1 ∴NF AA . 2 1 1 又∵BM AA ,∴NF BM, 2 1 故四边形 BMNF 是平行四边形, ∴MN∥BF,而 BF 平面 ABC1,MN 平面 ABC1, ∴MN∥平面 ABC1. 10.如图所示, 已知△ABC 和△A1B1C1 分别在平面 α 和平面 β 内, 线段 AA1,BB1,CC1 相交于点 O,且点 O 在 α,β 之间.若 AB=2,AC=1,∠ BAC=60° ,OA∶OA1=3∶2,则当△A1B1C1 的面积为多少时,可以使平面 α 与平面 β 平行? 解:若使平面 α∥平面 β,只需 AC∥A1C1,AB∥A1B1. 由空间等角定理可得∠B1A1C1=60° , 且△OAC∽△OA1C1,△OAB∽△OA1B1. 又∵OA∶OA1=3∶2,

2 2 2 4 ∴A1C1= AC= ,A1B1= AB= . 3 3 3 3 ∵A1C1∶A1B1=1∶2,∠B1A1C1=60° , ∴△A1C1B1 为直角三角形, ?4?2-?2?2=2 3, ∴B1C1= ?3? ?3? 3 2 3 ∴△A1B1C1 的面积为 . 9

1.α,β 是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定 α∥β 的是( ) A.α,β 都平行于直线 a B.α 内有三个不共线的点到 β 的距离相等 C.l,m 是 α 内的两条直线,且 l∥β,m∥β D.l,m 是两条异面直线,且 l∥α,m∥α,l∥β,m∥β 解析:选 D.A 显然错误;B 中的 α 与 β 可能相交,故 B 错;而 C 中的直线 l 与 m 不一 定相交,故 C 错.故选 D. 2.三棱锥 S ABC 中,G 为△ABC 的重心,E 在棱 SA 上,且 AE=2ES,则 EG 与平面 SBC 的关系为__________. 解析:

如图,取 BC 中点 F,连接 SF. ∵G 为△ABC 的重心, ∴A、G、F 共线且 AG=2GF. 又∵AE=2ES,∴EG∥SF. ∵SF 平面 SBC,EG 平面 SBC, ∴EG∥平面 SBC. 答案:EG∥平面 SBC 3.如图, 已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的平面相交于 AB, M、 N 分别是对角线 AC、BF 上的点,AM=FN,且 MP∥AD 交 AB 于 P. 求证:平面 MPN∥平面 CBE. 证明:∵四边形 ABCD 与四边形 ABEF 是正方形, AM=FN,∴MC=NB. AM AP BP BN 又∵MP∥AD,∴ = ,∴ = , MC PB PA NF ∴PN∥AF. 又∵AF∥BE,∴PN∥BE. ∵MP∥BC,MP∩PN=P,CB∩BE=B, ∴平面 MPN∥平面 CBE. 4.已知在正方体 ABCD A′B′C′D′中,M,N 分别是 A′D′,A′B′的中点, 在该正方体中作出过顶点且与平面 AMN 平行的平面,并证明你的结论. 解:如图所示,与平面 AMN 平行的平面有以下三种情况:

下面以图(1)为例进行证明. ∵四边形 ABEM 是平行四边形, ∴BE∥AM. 又 BE 平面 BDE,AM 平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. ∵MN 是△A′B′D′的中位线,∴MN∥B′D′. ∵四边形 BDD′B′是平行四边形, ∴BD∥B′D′,∴MN∥BD. 又 BD 平面 BDE,MN 平面 BDE, ∴MN∥平面 BDE. 又 AM、MN 平面 AMN,且 MN∩AM=M, ∴由平面与平面平行的判定定理可得,平面 AMN∥平面 BDE.


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