福建师大附中2013-2014学年第一学期期中考试卷高二数学(文科)

福建师大附中 2013-2014 学年第一学期期中考试卷
高二数学(文科)
(满分:150 分,时间:120 分钟) 说明:试卷分第 1 卷和第 2 卷,请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷。
命题人:黄雪琼 审核人:江 泽

第1卷

共 60 分

一、 选择题: 每小题 5 分,共 60 分;在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只 ( 有一项符合题目要求 ) 5? 1 1 错误!未指定书签。 已知 sin( . ? ? ) ? ,那么 cos? ? (***) 2 5 1 2 1 2 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5 1 2 错误!未指定书签。 在△ABC 中, a ? 3, b ? 5 , sin A ? ,则 sin B ? (***) . 3 5 1 5 A. B. C. D.1 3 5 9
3. 函数

f ( x ) ? 2 sin( x ? ? )( ? 0,? ? ?

?

2

?? ?

?

2

)的部分图象如图所示,则 ? , ? 的值分别是

(***) A. 2, ? C. 4, ?

?
3

B. 2, ? D. 4,

?
6

?

6

? 3

4.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第 n 个图案中有白色地 面砖的块数是(***) A、 4 n ? 2 B、 4n ? 2 C、 2n ? 4 D、 3n ? 3

5.若

1 1 b a 则下列不等式: a ? b ? ab ; ① ②错误! 未找到引用源。③ a ? b ; ; ④ ? ?2 ? ? 0, a b a b
B. ②③ C.③④
1

中正确的不等式是(***) A.①② D.①④

6.在△ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边,若 a 2 ? (b ? c)(c ? b) ,则△ ABC 是 (***) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形

7.等比数列 ? an ? 的各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18 ,则 log 3 a1 ?log 3 a2 ?? ? log 3 a10 ? (***) A.12 B.1 0 C. 1 ? log 3 5 D. 2 ? log 3 5

8.设 x,y 满足约束条件错误!未找到引用源。,则 z=2x-3y 的最小值是(***)

A.错误!未找到引用源。 B.-6 C.错误!未找到引用源。 D.-3 9.等差数列{错误!未找到引用源。 }中,a1>0,S5=S11,则第一个使 an <0 的项是(***) A.a7 B.a8 C.a9 D.a10 10. 已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ? A. 16(1 ? 4 ? n ) B. 16(1 ? 2 ? n )

1 ,则 a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 =(***) 4
D. 32 (1 ? 2 ?n ) 3

C. 32 (1 ? 4 ?n ) 3 11.如果正数 a,b,c,d 满足 a+b=cd=4,那么(***) A.ab≤c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 B.ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值唯一 C.ab≤ c+d, 且 等 号 成 立 时 a, b, c, d 的 取 值 不 唯 一 D.ab≥c+d,且等号成立时 a,b,c,d 的取值不唯一
2 2

12.对于每个自然数 n,关于 x 的一元二次函数 y=(n +n)x -(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn

两点,以|AnBn|表示该两点间的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A2014B2014|的值是(***) A.
2013 2014

B.

2015 2014

C.

2014 2013

D.

2014 2015

二、

第 2 卷 共 90 分 填空题(每小题 4 分,共 16 分)

13.关于 x 的不等式错误!未找到引用源。+(a+1)x+ab>0 的解集是{x|x<-1 或 x>4},则实数 a+b 的值为 ***** 14.在△ABC 中, 2sin Acos B=sin C,那么△ABC 一定是***** . 2 15.若数列{错误!未找到引用源。}的前 n 项和 Sn=n -2n+3,则此数列的通项公式为*****

?x ? 2 ? 16. 设 z ? kx ? y , 其 中 实 数 x, y 满 足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 若 z 的 最 大 值 为 12, 则 实 数 k ? ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
***** .

三、

解答题: (本大题共 6 题,满分 74 分)
2

17.(本小题 12 分)

已知函数 y ? ? sin x ? cos x ? ? 2 cos x
2 2

(Ⅰ)求它的递减区间 (Ⅱ)求它的最大值和最小值

18. (本小题 12 分)

在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

19. (本小题 12 分)

设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? 3an , n ? N ? . ;

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n

(Ⅱ)已知数列 ?bn ? 是等差数列,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求数列 ?an bn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题 12 分)

设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . (I)求 B (II)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

21. (本小题 12 分)

? 给定数列 a1,a2, ,an .对 i ? 1, 2,?, n ? 1 ,该数列前 i 项的最大值记为 Ai ,后 n ? i 项
3

(Ⅰ)设数列 ?an ? 为 3,4,7,1,写出 d1 , d 2 , d 3 的值;

ai ?1,ai ? 2, ,an 的最小值记为 Bi , di ? Ai ? Bi . ?

? (Ⅱ)设 a1,a2, ,an ( n ? 4 )是公比大于 1 的等比数列,且 a1 ? 0 .证明: d1 , d 2 ,, d n ?1
是等比数列;

22. (本小题 14 分) 为了立一块广告牌,要制造一个三角形的支架, 三角形支架形状如图,要求 ?ACB ? 60 ,
0

BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米 . (Ⅰ) 当 BC 长度为 2 米时, AC 为多少米? (Ⅱ)为了广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好,求当 BC 长度为多少米时,AC 的长度最短, A 最短为多少米?

C

B

福建师大附中 2013-2014 学年第一学期模块考试

高二数学必修 5(文)
4

参考答案

一、选择题:1-12:CBAAD 二、 填空题: 13 2 三、解答题: -3

CBBCC 14、

AD 15、an ? ?

等腰三角形

? ?

? 2n ? 3 ? n ? 2 ? ?

2 ? n ? 1?

16、

17、解:(1) y ? sin x ? cos x ? 2sin x cos x ? 2cos x
2 2 2

? 1 ? sin 2x ?1 ? cos 2x
? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 4 ? ? 3? ? 5? 由 ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2 k ? 得 ? k? ? x ? ? k? ? k ? Z ? 2 4 2 8 8 5? ?? ? 所以原函数的递减区间为 ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 8 ?8 ?
(2)由(1)知 y ? 2 ? 2 sin(2 x ?

?

?

4

) ? ymax ? 2 ? 2, ymin ? 2 ? 2

18、解(Ⅰ)由已知得到:

2sin A sin B ? 3 sin B

, 且

? 3 B ? (0, ) ? sin B ? 0 ? sin A ? 2 2

, 且

A ? (0, ) ? A ? ; 2 3
(Ⅱ)由(1)知 cos A ?

?

?

1 ,由已知得到: 2
1 28 ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? 2 3

36 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?
?

所以 S? ABC

1 28 3 7 ? ? ? 3; 2 3 2 3

19、解: (1)设数列 ? an ? 的公差为 d ,由题意知 ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,所以

1 ? 3n 3n ? 1 ? 1? 3 2 (2) b1 ? a2 ? 3, b3 ? S3 ? 13, b 3 ?b1 ? 10 ? 2d ,所以公差 d ? 5
an ? 3n ?1 ? Sn ?
所以 bn ? 5n ? 2 , anbn ? ? 5n ? 2 ? 3
n ?1

5



Tn ? 3 ? 3? ? 8 ? 31 ? 13 ? 32 ? ? ? ? 5n ? 2 ? 3n?1

① ②

3Tn ?

3 ? 31 ? 8 ? 32 ? 13 ? 33 ? ? ? ? 5n ? 7 ? ? 3n?1 ? ?5n ? 2 ? ? 3n
?

由①-②得: ?2Tn ? 3 ? 3 ? 5 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
1 2

?

n ?1

? ? ? 5n ? 2 ? ? 3

n

3 15 5n ? 2 n Tn ? ? ? ?1 ? 3n?1 ? ? ?3 2 4 2 9 ? 10n ? 9 ? ? ? 3n ? ? ? 4 ? 4 ?

20、(Ⅰ)因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac , 所以 a ? c ? b ? ?ac .
2 2 2

由余弦定理得, cos B ? 因此, B ? 120 .
0

a 2 ? c 2 ? b2 1 ?? , 2ac 2

(Ⅱ)

法一: B ? 120 0 ? ? sin A ? sin(B ? C ) ? sin(120 0 ? C ) 3 1 cos C ? sin C ) sin C 2 2 3 1 3 1 1 ? cos 2C 3 cos 2C 1 ? sin C cos C ? sin 2 C ? sin 2C ? ? ? sin 2C ? ? ? 2 2 4 2 2 4 4 4 ? 3 sin 2C ? cos 2C ? 1 ? 3 ? 1 ? sin A sin C ? sin(120 0 ? C ) sin C ? ( 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ? 0 ? C ? 60 ? 30 ? 2C ? 30 ? 150 ? 2C ? 30 ? 60 或2C ? 30 ? 120 0 ? 3 sin 2C ? cos 2C ? 3 ? 2 sin(2C ? 30 0 ) ? 3 ? sin(2C ? 30 0 ) ? ? C ? 15 0 或C ? 45 0
法二:由(Ⅰ)知 A ? C ? 60 ,所以
0

3 ?1 4

cos( A ? C ) ? cos A cos C ? sin A sin C

? cos A cos C ? sin Asin C ? 2sin Asin C
? cos( A ? C ) ? 2sin A sin C

6

?

1 3 ?1 ? 2? 2 4

?

3 2
0 0

故 A ? C ? 30 或 A ? C ? ?30 , 因此, C ? 15 或 C ? 45 .
0
0

21.解:(I) d1 ? 3 ? 1 ? 2, d 2 ? 4 ? 1 ? 3, d3 ? 7 ? 1 ? 6 .

? (II)因为 a1 ? 0 ,公比 q ? 1 ,所以 a1,a2, ,an 是递增数列.
因此,对 i ? 1, 2,?, n ? 1 , Ai ? ai , Bi ? ai ?1 . 于是 对 i ? 1, 2,?, n ? 1 , di ? Ai ? Bi ? ai ? ai ?1 ? a1q 因此 di ? 0 且
i ?1

? a1q i ? a1 (1 ? q)q i ?1 .

d i ?1 ? q ( i ? 1, 2,?, n ? 2 ),即 d1 , d 2 ,, d n?1 是等比数列. di

A

22.解:(1) 如 图, AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度为(y-0.5)米
2 2 2 在△ABC 中,依余弦定理得: AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos ?ACB

即 ( y ? 0.5) ? y ? 2 ? 2 y ? 2 ?
2 2 2

1 . 2
C B

解得 y ?

15 , 4

答:AC 为

15 米 4

(2)如图,设 BC 的长度为 x 米,x>1,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度为(y-0.5)米 ,在△
2 2 2 ABC 中,依余弦定理得: AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos ?ACB

x2 ? 1 2 2 2 4 ( y ? 0.5) ? y ? x ? 2 yx ? y? 2 ,因为 x>1,化简得, x ?1 即
1 3 4 ? ( x ? 1) ? y? ?2? 3?2 x ?1 4( x ? 1) 所以, x2 ?
7

1

(备注: 以下最好换元)

x ?1 ?

当且仅当

3 3 4( x ? 1) 时,取“=”号,即 x ? 1 ? 2 时,y 有最小值 2 ?

3

答: AC 最短为 2 ?

3 米,这是 BC 长度为 1 ? 3 米 2

8


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