2016届江苏省南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试数学.doc分析

南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试


注意事项:



2016.03

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部 分.本试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的 答案写在答题纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. ... 参考公式: 1 锥体的体积公式:V=3Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上) 1.设集合 A={x|-2<x<0},B={x|-1<x<1},则 A∪B=________ ▲ . 2.若复数 z=(1+mi)(2-i)(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 m 的值为 3.将一骰子连续抛掷两次,至少有一次向上的点数为 1 的概率是 ▲ ▲ . .

4.如图所示,一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布 直方图.若 一个月以 30 天计算, 估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150 个的天数为________ ▲ .
开始 k←1 S←1 S←S+3k-1 k←k+1 (第 4 题图) S>16 Y 输出 k 结束 N

5.执行如图所示的流程图,则输出的 k 的值为





(第 5 题图)

2 6.设公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S3=a2 ,且 S1,S2,S4 成等比数列,则

a10 等于





7.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=4,AA1=6.若 E,F 分别是棱 BB1,CC1 上的点, 则三棱锥 A—A1EF 的体积是________ ▲ .
A1 F E C1 B1

C A (第 7 题图) B

π π 8.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的最小正周期为 π,且它的图象过点(-12, - 2),则 φ 的值为________ ▲ .

?1x+1,x≤0, ? 9.已知函数 f(x)=?2 则不等式 f(x)≥-1 的解集是________ ▲ . ? ?-(x-1)2,x>0,
x2 y2 10.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点为 F,双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)的两条渐近线分别与抛物线交于 A,B 两点(A,B 异于坐标原点 O).若直线 AB 恰好 过点 F,则双曲线的渐近线方程是________ ▲ . 2 7 → → 11.在△ABC 中,A=120°,AB=4.若点 D 在边 BC 上,且 BD =2 DC ,AD= ,则 3 AC 的长为________ ▲ . 12.已知圆 O:x2+y2=1,圆 M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆 M 上存在点 P,过点 P 作 圆 O 的两条切线,切点为 A,B,使得∠APB=60°,则实数 a 的取值范围为________ ▲ . 13.已知函数 f(x)=ax2+x-b(a,b 均为正数),不等式 f(x)>0 的解集记为 P,集合 Q= 1 1 {x|-2-t<x<-2+t}.若对于任意正数 t,P∩Q≠?,则a-b的最大值是________ ▲ . 14.若存在两个正实数 x、y,使得等式 x+a(y-2ex)(lny-lnx)=0 成立,其中 e 为自然对数 的底数,则实数 a 的取值范围为________ ▲ .

二、 解答题 (本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) π 5 已知 α 为锐角,cos(α+4)= 5 . π (1)求 tan(α+4)的值; π (2)求 sin(2α+3)的值.

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P—ABC 中,平面 PAB⊥平面 ABC,PA⊥PB,M,N 分别为 AB,PA 的中 点.
P

(1)求证:PB∥平面 MNC; (2)若 AC=BC,求证:PA⊥平面 MNC.
A N M

B

C

(第 16 题图)

17.(本小题满分 14 分) 如图,某城市有一块半径为 1(单位:百米)的圆形景观,圆心为 C,有两条与圆形景 观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地,后来 有众多市民建议在绿化地上建一条小路, 便于市民快捷地往返两条道路. 规划部门采纳 了此建议,决定在绿化地中增建一条与圆 C 相切的小道 AB.问:A,B 两点应选在何处 可使得小道 AB 最短?

道路2
C B

A

道路1

(第 17 题图)

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 C 在椭圆 M: 若点 A(-a, 0), B(0, a2+b2=1(a>b>0)上. a → 3→ 3),且 AB =2 BC . (1)求椭圆 M 的离心率; (2)设椭圆 M 的焦距为 4,P,Q 是椭圆 M 上不同的两点,线段 PQ 的垂直平分线为直 线 l,且直线 l 不与 y 轴重合. 6 ①若点 P(-3,0),直线 l 过点(0,-7),求直线 l 的方程; ②若直线 l 过点(0,-1) ,且与 x 轴的交点为 D,求 D 点横坐标的取值范围.

19.(本小题满分 16 分) 对于函数 f(x),在给定区间[a,b]内任取 n+1(n≥2,n∈N*)个数 x0,x1,x2,…,xn,使 得
n-1

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b,记 S= ∑ |f(xi+1)-f(xi)|.若存在与 n 及 xi(i≤n,i∈N)
i=0

均无关的正数 A,使得 S≤A 恒成立,则称 f(x)在区间[a,b]上具有性质 V. (1)若函数 f(x)=-2x+1,给定区间为[-1,1],求 S 的值; x (2)若函数 f(x)=ex,给定区间为[0,2],求 S 的最大值; 1 (3)对于给定的实数 k,求证:函数 f(x)=klnx-2x2 在区间[1,e]上具有性质 V.

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且对任意正整数 n 都有 an=(-1)nSn +pn(p 为常数, p≠0). (1)求 p 的值; (2)求数列{an}的通项公式;

(3)设集合 An={a2n-1,a2n},且 bn,cn∈An,记数列{nbn},{ncn}的前 n 项和分别为 Pn, Qn. 若 b1≠c1,求证:对任意 n∈N*,Pn≠Qn.

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数学附加题
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟.

2016.03

3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题 的答案写在答题纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. ... 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 . 卷纸 指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. ..... A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,在 Rt△ABC 中,AB=BC.以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,过 D 作 DE?BC,垂足 为 E,连接 AE 交⊙O 于点 F.求证:BE?CE=EF?EA. C E F D B.选修 4—2:矩阵与变换 O B

? 3 a ? 已知 a,b 是实数,如果矩阵 A=? ? 所对应的变换 T 把点(2,3)变成点(3,4). ? b -2?
(1)求 a,b 的值. (2)若矩阵 A 的逆矩阵为 B,求 B2.

A

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线

?x=2cos t, π 3 l 的极坐标方程为 ρsin(3-θ)= 2 ,椭圆 C 的参数方程为? (t 为参数) . ?y= 3sin t

(1)求直线 l 的直角坐标方程与椭圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

D.选修 4—5:不等式选讲 解不等式:|x-2|+x|x+2|>2

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解 . ....... 答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 2 1 甲、乙两人投篮命中的概率分别为3与2,各自相互独立.现两人做投篮游戏,共比赛 3 局, 每局每人各投一球. (1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率; (2)设 ξ 表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值,求 ξ 的概率分布和数学期 望 E(ξ).

23. (本小题满分 10 分) 设(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n∈N*,n≥2. (1)设 n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值; k+1 (2)设 bk= a + (k∈N,k≤n-1),Sm=b0+b1+b2+…+bm(m∈N,m≤n-1),求 n-k k 1 | Sm m | Cn- 1 的值.

南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上) 1. {x|-2<x<1} 7. 8 3 π 8.-12 1 13. 2 9. [-4,2] 1 14.a<0 或 a≥e 10.y=±2x 11.3 2 2 12. [2- 2 ,2+ 2 ] 2.-2 11 3.36 4. 9 5. 5 6. 19

二、 解答题 (本大题共 6 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) π π π 3π 解: (1)因为 α∈(0,2) ,所以 α+4∈(4, 4 ), 所 以 sin(α + π 4 ) = π 1-cos2(α+4) =

2 5 5 ,……………………………………………………………3 分 π 4 π sin(α+4) π cos(α+4)





tan(α



)





2.………………………………………………………………………6 分 π π π π ( 2 ) 因 为 sin(2α + 2 ) = sin[2(α + 4 )] = 2 sin(α + 4 ) cos(α + 4 ) =

4 5,…………………………………9 分 π π cos(2α + 2 ) = cos[2(α + 4 )] = 2 3 5,………………………………………………12 分 π π π π π π π 所 以 sin(2α + 3 ) = sin[(2α + 2 ) - 6 ] = sin(2α + 2 )cos 6 - cos(2α + 2 )sin 6 = 4 3+3 10 .………………14 分 π cos2(α + 4 ) - 1 = -

16.(本小题满分 14 分) 证: (1)因为 M,N 分别为 AB,PA 的中点, 所以 MN∥PB. …………………………………2 分
A N M P

因为 MN?平面 MNC,PB?平面 MNC, 所以 PB∥平面 MNC. ……………………………………4 分
C

B

(2)因为 PA⊥PB,MN∥PB,所以 PA⊥MN. ……………6 分 因为 AC=BC,AM=BM,所以 CM⊥AB. ……………8 分

因为平面 PAB⊥平面 ABC,CM?平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB, 所以 CM⊥平面 PAB. …………………………………12 分

因为 PA?平面 PAB,所以 CM⊥PA. 因为 PA⊥MN,MN?平面 MNC,CM?平面 MNC,MN∩CM=M, 所以 PA⊥平面 MNC. ……………………………………………………………………14 分 17.(本小题满分 14 分) 解法一:如图,分别由两条道路所在直线建立直角坐标系 xOy. 设 A(a,0),B(0,b)(0<a<1,0<b<1), x y 则直线 AB 方程为a+b=1,即 bx+ay-ab=0. |b+a-ab| 因为 AB 与圆 C 相切,所以 =1.……………4 分 b2+a2 化简得 ab-2(a+b)+2=0,即 ab=2(a+b)-2. ……………6 分
B O x y

道路2

C

A

道路1

因此 AB= =

a2+b2=

(a+b)2-2ab=

(a+b)2-4(a+b)+4

(a+b-2)2. ………………8 分

因为 0<a<1,0<b<1,所以 0<a+b<2, 于是 AB=2-(a+b). a+b 又 ab=2(a+b)-2≤( 2 )2, 解得 0<a+b≤4-2 2,或 a+b≥4+2 2. 因为 0<a+b<2,所以 0<a+b≤4-2 2,………………………………………12 分 所以 AB=2-(a+b) ≥2-(4-2 2)=2 2-2, 当且仅当 a=b=2- 2时取等号, 所以 AB 最小值为 2 2-2,此时 a=b=2- 2. 答:当 A,B 两点离道路的交点都为 2- 2(百米)时,小道 AB 最短.……………14 分 解法二:如图,连接 CE,CA,CD,CB,CF. π π 设∠DCE=θ,θ∈(0,2),则∠DCF=2-θ. θ 在直角三角形 CDA 中,AD=tan2.………………4 分 π θ 在直角三角形 CDB 中,BD=tan(4-2),………6 分 θ π θ 所以 AB=AD+BD=tan2+tan(4-2) θ 1-tan2 θ =tan2+ θ.………………………8 分 1+tan2 θ 令 t=tan2,0<t<1, 1-t 2 则 AB=f(t)=t+ ==t+1+ -2≥2 2-2, 1+t 1+t 当且仅当 t= 2-1 时取等号.………………………12 分 所以 AB 最小值为 2 2-2, 此时 A,B 两点离两条道路交点的距离是 1-( 2-1)=2- 2. 答:当 A,B 两点离道路的的交点都为 2- 2(百米)时,小道 AB 最短.……………14 分 18.(本小题满分 16 分)
道路2

F B D A E

C

道路1

a → a → 解: (1)设 C (x0,y0),则 AB =(a,3), BC =(x0,y0-3). a 3 a 3 3 a → 3→ 因为 AB =2 BC ,所以(a,3)=2(x0,y0-3)=(2x0,2y0-2), 得

?x =3a, ? 5 ?y =9a,
2
0 0

……………………………………………………

…2 分 9 代入椭圆方程得 a2=5b2. c 2 因为 a2-b2=c2,所以 e=a=3.………………………………………4 分 x2 y2 (2)①因为 c=2,所以 a2=9,b2=5,所以椭圆的方程为 9 + 5 =1, x02 y02 设 Q (x0,y0),则 9 + 5 =1.……① 分 x0-3 y0 因为点 P(-3,0),所以 PQ 中点为( 2 , 2 ), 6 因为直线 l 过点(0,-7),直线 l 不与 y 轴重合,所以 x0≠3, y0 6 2 +7 y0 所以 · =-1, x0-3 x0+3 2 分 12 化简得 x02=9-y02- 7 y0.……② 15 15 将②代入①化简得 y02- 7 y0=0,解得 y0=0(舍),或 y0= 7 . 15 6 6 15 将 y0= 7 代入①得 x0=±7,所以 Q 为(±7, 7 ), 5 9 所以 PQ 斜率为 1 或9,直线 l 的斜率为-1 或-5, 6 9 6 所以直线 l 的方程为 y=-x+7或 y=-5x+7.…………………………………………… 10 分 1 ②设 PQ:y=kx+m,则直线 l 的方程为:y=-k x-1,所以 xD=-k. 将直线 PQ 的方程代入椭圆的方程, 消去 y 得(5+9k2)x2+18kmx+9m2-45=0. ………… ………………………………………………6

………………………………………………8

①, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),中点为 N, xN= x1+x2 9km 5m =- 代入直线 PQ 的方程得 y …………………………………… 2, N= 2 5+9k 5+9k2,

12 分 代入直线 l 的方程得 9k2=4m-5. ……② 又因为△=(18km)2-4(5+9k2) (9m2-45)>0, 化 得 m2 - 9k2 - 5 0. ………………………………………………14 分 2 将②代入上式得 m -4m<0,解得 0<m<4, 11 11 11 11 所以- 3 <k< 3 ,且 k≠0,所以 xD=-k∈(- 3 ,0)∪(0, 3 ).



11 11 综上所述, 点 D 横坐标的取值范围为(- 3 , 0)∪(0, 3 ). ……………………………… 16 分 19.(本小题满分 16 分) (1)解:因为函数 f(x)=-2x+1 在区间[-1,1]为减函数, 所以 f(xi+1)<f(xi),所以|f(xi+1)-f(xi)|= f(xi)-f(xi+1).
n-1

S= ∑ |f(xi+1)-f(xi)|=[ f(x0)-f(x1)]+[ f(x1)-f(x2)]+…+[ f(xn-1)-f(xn)]
i=0

= 4.

f(x0)



f(xn)



f(



1)



f(1)



…………………………………………2 分 1-x (2) 解:由 f′(x)= ex =0,得 x=1. 当 x<1 时,f′(x)>0,所以 f (x)在(-∞,1)为增函数; 当 x>1 时,f′(x)<0,所以 f (x)在(1,+∞)为减函数; 所 以 f (x) 在 x = 1 时 取 极 大 值

1 e.

…………………………………………4 分 设 xm≤1<xm+1,m∈N,m≤n-1,
n-1

则 S= ∑ |f(xi+1)-f(xi)|
i=0

=|f(x1)-f(0)|+…+|f(xm)-f(x -f(x n-1)| =[f(x1)-f(0)]+…+[f(xm)-f(x

m-1)|+|f(xm+1)-f(x m)|+|f(xm+2)-f(x m+1)|+…+|f(2)

m-1)]+|f(xm+1)-f(x m)|+[f(xm+1)-f(x m+2)]+…+[f(xn-1)

-f(2)] = f(2)]. [f(xm) - f(0)] + |f(xm


1)



f( x

m)|



[f(xm



1)



…………………………………………6 分

因为|f(xm+1)-f(x m)|≤[f(1)-f(xm)]+[f(1)-f(xm+1)],当 x m=1 时取等号, 所以 S≤f(xm)-f(0)+f(1)-f(xm)+f(1)-f(xm+1)+f(xm+1)-f(2) 2(e-1) =2 f(1)-f(0)-f(2)= e2 . 2(e-1) 所以 S 的最大值为 e2 . 分 k-x2 k (3)证明:f′(x)=x-x= x ,x∈[1,e]. ①当 k≥e2 时,k-x2≥0 恒成立,即 f′(x)≥0 恒成立,所以 f(x)在[1,e]上为增函数,
n-1

…………………………………………8

所以 S= ∑ |f(xi+1)-f(xi)|=[ f(x1)-f(x0)]+[ f(x2)-f(x1)]+…+[ f(x n)-f(xn-1)]
i=0

1 1 =f(x n)-f(x0)=f(e)-f(1)=k+2-2e2. 1 1 因此, 存在正数 A=k+2-2e2, 都有 S≤A, 因此 f(x)在[1, e]上具有性质 V. ………………… 10 分 ②当 k≤1 时,k-x2≤0 恒成立,即 f′(x)≤0 恒成立,所以 f(x)在[1,e]上为减函数,
n-1

所以 S= ∑ |f(xi+1)-f(xi)|=[ f(x0)-f(x1)]+[ f(x1)-f(x2)]+…+[ f(xn-1)-f(xn)]
i=0

1 1 =f(x0)-f(xn)= f(1)-f(e)= 2e2-k-2. 1 1 因此, 存在正数 A=2e2-k-2, 都有 S≤A, 因此 f(x)在[1, e]上具有性质 V. ………………… 12 分 ③当 1<k<e2 时,由 f′(x)=0,得 x= k;当 f′(x)>0,得 1≤x< k; 当 f′(x)<0,得 k<x≤e,因此 f(x)在[1, k)上为增函数,在( k,e]上为减函数. 设 xm≤ k<xm+1,m∈N,m≤n-1
n-1

则 S= ∑ |f(xi+1)-f(xi)|
i=1

=|f(x1)-f(x0)|+…+|f(xm)-f(x m-1)|+ |f(xm+1)-f(x m)|+ |f(xm+2)-f(x m+1)|+…+|f(xn)-f(x n-

1)|

=f(x1)-f(x0)+…+f(xm)-f(x m-1) + |f(xm+1)-f(x m)|+ f(xm+1)-f(x m+2) +…+f(xn-1)-f(x n) =f(xm)-f(x0) + |f(xm+1)-f(x m)| + f(xm+1)-f(x n) ≤f(xm)-f(x0) + f(xm+1)-f(x n)+ f( k)-f(xm+1)+ f( k)-f(xm) 1 1 1 1 =2 f( k)-f(x0)-f(x n)=klnk-k-[-2+k-2e2]=klnk-2k+2+2e2. 1 1 因此,存在正数 A=klnk-2k+2+2e2,都有 S≤A,因此 f(x)在[1,e]上具有性质 V. 1 综上,对于给定的实数 k,函数 f(x)=klnx-2x2 在区间[1,e]上具有性质 V.…………… 16 分

20.(本小题满分 16 分) p 解: (1)由 a1=-S1+p,得 a1=2.………………………………………………………2 分 p 由 a2=S2+p2,得 a1=-p2,所以2=-p2. 1 又 p≠0, 所以 p=-2. 分 1 (2)由 an=(-1)nSn+(-2)n,得 …………………………………………………………3

?a =(-1) S +(-2) , ? 1 a =- ( - 1) S + ( - ? 2)
n n n

1n

……①
n+1

n+1

n

n+1

, ……②
1)

① + ② 得 1n 2) .

an + an



1

= ( - 1)n( - an



1 + 2 × ( -

…………………………………………5 分

1 1 当 n 为奇数时,an+an+1=an+1-2×(2)n, 所
1



an





(

1 2

)n





………………………………………………………………7 分 1 1 当 n 为偶数时,an+an+1=-an+1+2×(2)n, 1 1 1 + 1 1 1 所以 an=-2an+1+2×(2)n=2×(2)n 2+2×(2)n=(2)n, 所 以 an =

?-2 ,n为奇数, n∈N*, ?1 ? 2 , n为偶数,n∈N*.
1
n+1 n

………………………………………………9 分

1 1 (3)An={-4n,4n},由于 b1≠c1,则 b1 与 c1 一正一负, 1 1 不妨设 b1>0,则 b1=4,c1=-4. 则 1 2 3 Pn = b1 + 2b2 + 3b3 + … + nbn≥ 4 - ( 42 + 43 + … +

n 4n).……………………………………………12 分 n-1 n 2 3 n 1 2 设 S=42+43+…+4n,则4S=43+…+ 4n + n+1, 4 3 2 1 1 n 1 1 两式相减得4S=42+43+…+4n- n+1=16 +16× 4 7 <48. 7 4 7 1 2 1 1 1 7 1 所以 S<48×3=36, 所以 Pn≥4-(42+43+…+4n)>4-36=18>0. ……………………… 14 分 1 1 7 1 因为 Qn= c1+2 c 2+3 c 3+…+n c n≤-4+S<-4+36 =-18<0, 所以 Pn≠Qn. 分 ………………………………………………………………16 1 - 1-(4)n 1 n 7 1 1 n 1 -4n+1=48-12×4n-1 -4n+1 1-4

南京市、盐城市 2016 届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准
2016.03
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 . 卷卡指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ....... A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连接 BD.因为 AB 为直径,所以 BD⊥AC. 因为 AB=BC,所以 AD=DC.……………………4 分 因为 DE?BC,AB?BC,所以 DE∥AB,…………6 分 A 所以 CE=EB.………………………………………8 分 因为 AB 是直径,AB?BC,所以 BC 是圆 O 的切线, 所以 BE2=EF?EA,即 BE?CE=EF?EA.………………………………………………………… 10 分 B.选修 4—2:矩阵与变换 解 :( 1 ) 由 题 意 , 得 ? 4,……………………………4 分 所 以 a = - 1 , b = D C E F O B

? 3 a ? ? ? b -2?

?2? = ?3? , 得 6 + 3a = 3 , 2b - 6 = ?3? ?4?

5.…………………………………………………………………………………6 分 (2) 由 (1) , 得 A=? 8分

? 3 -1? ? 2 -1? 由矩阵的逆矩阵公式得 B=? …………………… ?. ?. ? 5 -2? ? 5 -3?





B2



? -1 1? ? ?. ? -5 4?

……………………………………………………………10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 3 3 1 3 3 1 3 解: (1)由 ρsin(3-θ)= 2 ,得 ρ( 2 cosθ-2sinθ)= 2 ,即 2 x-2y= 2 , 化 简 得 y= 3 x - 3 , 所 以 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 是 y= 3 x - 3.………………………………2 分 x y x2 y2 由(2)2+( )2=cos2t+sin2t=1,得椭圆 C 的普通方程为 4 + 3 =1.……………………………4 3 分

? ?y= 3x- 3, x2 (2)联立直线方程与椭圆方程,得? x2 y2 消去 y,得 4 +(x-1)2=1, + =1, ? ? 4 3
8 化简得 5x2-8x=0,解得 x1=0,x2=5, 8 3 所以 A(0,- 3),B(5,5 3), 则 AB= 8 3 16 (0-5)2+(- 3-5 3)2= 5 . ………………………………10 分 ………………………………8 分

D.选修 4—5:不等式选讲 解:当 x≤-2 时,不等式化为(2-x)+x(-x-2)>2, 解得-3<x≤-2; ………………………………………………3 分

当-2<x<2 时,不等式化为(2-x)+x(x+2)>2, 解得-2<x<-1 或 0<x<2; …………………………………………………6 分

当 x≥2 时,不等式化为(x-2)+x(x+2)>2, 解得 x≥2; ………………………………………………………9 分

所以原不等式的解集为{x|-3<x<-1 或 x>0}. ……………………………………………………10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 解: (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况: 甲进 1 球,乙进 0 球;甲进 2 球,乙进 1 球;甲进 3 球,乙进 2 球. 所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率

P = C

3

1

2 1 2 1 3 3 ( 3 )( 2 ) + C

3

2

2 1 ( 3 )2( 3 )C

3

1

1 ( 2 )3 + C

3

3

2 ( 3 )3C

3

2

1 ( 2 )3 =

11 36.……………………………………………4 分 (2)ξ 的取值为 0,1,2,3,所以 ξ 的概率分布列为 ξ P 0 7 24 1 11 24 2 5 24 3 1 24

……………………………………………………………………………… ………8 分 所 以 数 学 期 望 7 11 5 1 E(ξ) = 0× 24 + 1× 24 + 2× 24 + 3× 24 =

1.…………………………………………10 分 23. (本小题满分 10 分)
k 解: (1)因为 ak=(-1)k Cn , 6 7 8 9 10 11 当 n=11 时,|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|=C11 +C11 +C11 +C11 +C11 +C11

1 0 1 10 11 =2( C11 +C11 +…+C11 +C11 )=210=1024.………………………………………………3 分 k+1 k+1 k+1 + + k (2)bk= a =(-1)k 1 C =(-1)k 1 Cn ,……………………………………5 n-k k+1 n-k n 分
k 当 1≤k≤n-1 时, bk=(-1)k 1 Cn = (-1)k - -1 k k =(-1)k 1 Ck n-1-(-1) Cn-1.
+ +1

k k-1 k 1 k-1 k (Cn- Cn-1+(-1)k 1 Cn- 1+Cn-1)=(-1) 1 ……………………………………7
+ +

分 当 m=0 时,| 8分 当 1≤m≤n-1 时, Sm=-1+ ∑[(-1)k
k=1 m
-1

Sm b0 |=1. m |=| 0 Cn-1 Cn- 1

……………………………………

-1 k k m m m m Ck n-1-(-1) Cn-1]=-1+1-(-1) Cn-1=-(-1) Cn-1,

所以|

Sm m |=1. Cn- 1 Sm m |=1. Cn- 1 ……………………………………

综上,| 10 分


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