2012年西城高三毕业班一模文数试题及答案

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

北京市西城区 2012 年高三一模试卷



学(文科)
共 40 分)

2012.4

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.已知集合 A ? { x | x ? 1} , B ? { x | x ? 4} ,那么 A ? B ? (
2

) (D) (1, 4 )

(A) ( ? 2 , 2 )

(B) ( ? 1, 2 )

(C) (1, 2 )

2.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 3 ,则输出 y 的 值为( (A) 5 (B) 7 (C) 1 5 (D) 3 1
1 3



3.若 a ? lo g 2 3 , b ? lo g 3 2 , c ? lo g 4 (A) a ? c ? b (C) b ? c ? a

,则下列结论正确的是( (B) c ? a ? b (D) c ? b ? a



4.如图,在复平面内,复数 z 1 , z 2 对应的向量分别是
??? ? ??? ? z O A , O B ,则复数 1 对应的点位于( z2



(A)第一象限 (C)第三象限

(B)第二象限 (D)第四象限

1

龙文教研室

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

5.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 2 c m ,其三视图 中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是( (A) 4 3 cm
2

) (C) 8 c m
2

(B) 2 3 cm

2

(D) 4 cm

2

? x ? y ? 0, ? 6.若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 | x ? 3 y | 的最大值为( ? 0 ? x ? 1, ?



(A) 6

(B) 5

(C) 4

(D) 3

7.设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .则“ a 1 ? 0 ”是“ S 3 ? S 2 ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件



(D)既不充分又不必要条件

8.已知集合 A ? { x | x ? a 0 ? a 1 ? 2 ? a 2 ? 2 ? a 3 ? 2 } ,其中 a k ? {0,1} ( k ? 0 ,1, 2 , 3) ,且
2 3

a 3 ? 0 .则 A 中所有元素之和是(

) (C) 9 2 (D) 8 4

(A) 1 2 0

(B) 1 1 2

2

龙文教研室

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

共 110 分)

9. 已知向量 a ? (1, 2 ) , b ? ( ? , ? 2 ) .若 ? a ? b , a ? ? 9 0 ,则实数 ? ? _____.

?

10. 某年级 1 2 0 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 1 3 秒 与 1 8 秒之间.将测试结果分成 5 组: [ 1 3 ,1 4 ) , [ 1 4 ,1 5 ) ,
[ 1 5 ,1 6 ) , [ 1 6 ,1 7 ) , [ 1 7 ,1 8 ] ,得到如图所示的频率分

布直方图.如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为
1 : 3 : 7 : 6 : 3 ,那么成绩在 [1 6 ,1 8 ] 的学生人数是_____.

11. 函数 y ? sin x ? 3 co s x 的最小正周期为_____.
2 2

12. 圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 的圆心到直线 x ?
2 2

3 y ? 0 的距离是_____.

?x2, 0 ? x ? 9, ? 13. 已知函数 f ( x ) ? ? 则 f ( x ) 的零点是_____; f ( x ) 的值域是_____. 2 ? x ? x, ? 2 ? x ? 0. ?
1

14. 如图,已知抛物线 y ? x 及两点 A1 (0 , y 1 ) 和 A 2 (0 , y 2 ) ,其中 y 1 ? y 2 ? 0 .过 A1 , A 2 分
2

别作
B 交抛物线于 B 1 , 2 两点, 直线 B 1 B 2 与 y 轴交于点 A3 (0, y 3 ) , 此时就称 A1 , y 轴的垂线, A 2 确定了 A 3 .依此类推,可由 A 2 , A 3 确定 A 4 , ? .记 A n (0 , y n ) , n ? 1, 2 , 3, ? .

给出下列三个结论: ① 数列 { y n } 是递减数列; ② 对? n ? N , yn ? 0 ;
*

③ 若 y 1 ? 4 , y 2 ? 3 ,则 y 5 ?

2 3

.

其中,所有正确结论的序号是_____.

3

龙文教研室

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 在△ A B C 中,已知 2 sin B cos A ? sin( A ? C ) . (Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 B C ? 2 ,△ A B C 的面积是 3 ,求 A B .

16.(本小题满分 13 分) 某校高一年级开设研究性学习课程, 1 )班和( 2 )班报名参加的人数分别是 1 8 和 (
2 7 .现用分层抽样的方法,从中抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知从( 2 )班

抽取了 3 名同学. (Ⅰ)求研究性学习小组的人数; (Ⅱ)规划在研究性学习的中、后期各安排 1 次交流活动,每次随机抽取小组中 1 名同 学发 言.求 2 次发言的学生恰好来自不同班级的概率.

17. (本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 中, A B ? 3 , BC ? 4 . E , F 分别在线段 BC 和 AD 上, E F ∥
A B ,将矩形 ABEF 沿 EF 折起.记折起后的矩形为 MNEF
ECDF .

,且平面 MNEF ? 平面

(Ⅰ)求证: N C ∥平面 M F D ; (Ⅱ)若 E C ? 3 ,求证: ND ? FC ; (Ⅲ)求四面体 NFEC 体积的最大值.

A

F

D

B

E

C

4

龙文教研室

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

18.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为

6 3

,一个焦点为 F ( 2 2 , 0 ) .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? k x ? 圆心 的圆上,求 k 的值.
5 2

交椭圆 C 于 A , B 两点,若点 A , B 都在以点 M (0, 3) 为

19.(本小题满分 13 分) 如图,抛物线 y ? ? x ? 9 与 x 轴交于两点 A , B ,点 C , D 在抛物线上(点 C 在第一象
2

限) C D ∥ A B .记 | C D | ? 2 x ,梯形 A B C D 面积为 S . , (Ⅰ)求面积 S 以 x 为自变量的函数式; (Ⅱ)若
| CD | | AB | ? k ,其中 k 为常数,且 0 ? k ? 1 ,求 S 的最大值.

20.(本小题满分 13 分) 对于数列 A : a1 , a 2 , a 3 ( a i ? N , i ? 1, 2 , 3) ,定义“ T 变换” T 将数列 A 变换成数 : 列 B : b1 , b 2 , b 3 ,其中 bi ? | a i ? a i? 1 | ( i ? 1, 2 ) ,且 b 3 ? | a 3 ? a 1 | .这种“ T 变换”记作
B ? T ( A ) .继续对数列 B 进行“ T 变换” ,得到数列 C : c1 , c 2 , c 3 ,依此类推,当得到的

数列各项均为 0 时变换结束. (Ⅰ)试问 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变 换”得到的各数列;若不能,说明理由;

5

龙文教研室

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

(Ⅱ)设 A : a 1 , a 2 , a 3 , B ? T ( A ) .若 B : b , 2, a ( a ? b ) ,且 B 的各项之和为 2 0 1 2 . (ⅰ)求 a , b ; (ⅱ)若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最小值, 并 说明理由.

北京市西城区 2012 年高三一模试卷

数学(文科)参考答案及评分标准
2012.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. C; 2. D ; 3. D; 4. B; 5. A; 6. B; 7. C; 8. C .

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 9 ; 10. 5 4 ; 12. 1 ; 13. ? 1 和 0 , [ ?
1 4 , 3] ;

11. π ; 14. ① ② ③.

注:13 题第一问 2 分,第二问 3 分; 14 题少选 1 个序号给 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分 标准给分. 15.(本小题满分 13 分)
) sin( (Ⅰ)解:由 A ? B ? C ? π ,得 sin( A ? C ? π ? B )? sin B .

??????

3分 所以原式化为 2 sin B cos A ? sin B . 4分 因为 B ? (0, π ) ,所以 sin B ? 0 , 所以 cos A ? 6分 因为 A ? (0, π ) , 所以 A ? 7分 (Ⅱ)解:由余弦定理, 得 B C ? A B ? A C ? 2 A B ? A C ? co s A ? A B ? A C ? A B ? A C . ??????
2 2 2 2 2

??????
1 2



??????

π 3



??????

9分 因为 B C ? 2 ,
1 2 A B ? A C ? s in π 3
6 龙文教研室

?

3,

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

所以 A B ? A C ? 8 .
2 2

??????

11 分 因为 A B ? A C ? 4 , 13 分 所以 A B ? 2 . ??????

16.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设从( 1 )班抽取的人数为 m , 依题意得 研
m ?3? 5.

m 18

?

3 27

,所以 m ? 2 , 学 习 小 组 的 ??????5 分 人 数 为





(Ⅱ)设研究性学习小组中( 1 )班的 2 人为 a 1 , a 2 , 2 )班的 3 人为 b1 , b 2 , b 3 . (
2 次交流活动中,每次随机抽取 1 名同学发言的基本事件为:

( a 1 , a 1 ) , ( a 1 , a 2 ) , ( a 1 , b1 ) , ( a 1 , b 2 ) , ( a 1 , b 3 ) ,

( a 2 , a 1 ) , ( a 2 , a 2 ) , ( a 2 , b1 ) , ( a 2 , b 2 ) , ( a 2 , b 3 ) , ( b1 , a 1 ) , ( b1 , a 2 ) , ( b1 , b1 ) , ( b1 , b 2 ) , ( b1 , b 3 ) , ( b 2 , a 1 ) , ( b 2 , a 2 ) , ( b 2 , b1 ) , ( b 2 , b 2 ) , ( b 2 , b 3 ) ,
( b 3 , a 1 ) , ( b 3 , a 2 ) , ( b3 , b1 ) , ( b 3 , b 2 ) , ( b 3 , b 3 ) ,共 2 5 种.

??????

9分
2 次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为:

( a 1 , b1 ) ,( a 1 , b 2 ) ,( a 1 , b 3 ) ,( a 2 , b1 ) ,( a 2 , b 2 ) ,( a 2 , b 3 ) ,( b1 , a 1 ) ,( b1 , a 2 ) ,( b 2 , a 1 ) , ( b 2 , a 2 ) , ( b 3 , a 1 ) , ( b 3 , a 2 ) ,共 1 2 种.

??????

12 分 所以 2 次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 P ? 13 分 17.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 M N E F , E F D C 都是矩形, 所以 M N ∥ E F ∥ C D , M N ? E F ? C D .
龙文教研室

12 25



??????

7

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

所以 四边形 M N C D 是平行四边形,?????2 分 所以 N C ∥ M D , 因为 N C ? 平面 M F D , 所以 N C ∥平面 M F D . ??????4 分 ??????3 分

(Ⅱ)证明:连接 ED ,设 E D ? F C ? O . 因为平面 MNEF
? 平面 E C D F ,且 NE ? EF ,

所以 NE ? 平面 E C D F , 5分 所以 F C ? N E . 6分 又 E C ? C D , 所以四边形 E C D F 为正方形,所以 F C ? E D . 7分 所以 FC ? 平面 NED , 8分 所以 ND ? FC . 9分 (Ⅲ)解:设 NE ? x ,则 EC ? 4 ? x ,其中 0 ? x ? 4 . 由(Ⅰ)得 NE ? 平面 F E C , 所以四面体 NFEC 的体积为 V N F E C ? 11 分 所以 V N F E C ? 13 分 当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ? 2 时,四面体 NFEC 的体积最大. 14 分 18.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为 c ,则 c ? 2 2 . 1分
1 x ? (4 ? x) 2 [ ] ? 2. 2 2 1 3 S ?EFC ? N E ? 1 2 x(4 ? x) .

??????

??????

??????

??????

??????

??????

??????

??????

??????

8

龙文教研室

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

由e ? 4分

c a

?

6 3

, 得 a ? 2 3 , 从而 b ? a ? c ? 4 .
2 2 2

??????

所以,椭圆 C 的方程为 5分

x

2

?

y

2

? 1.

??????

12

4

(Ⅱ)解:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) . 将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程, 消去 y 得 4 (1 ? 3 k ) x ? 6 0 kx ? 2 7 ? 0 .
2 2

??????

7分 由 ? ? 3 6 0 0 k ? 1 6 (1 ? 3 k ) ? 2 7 ? 0 ,得 k ?
2 2

2

3 16

,且 x1 ? x 2 ?

15k 1 ? 3k
2

. ????

9分
15k 2 ? 6k
2

设线段 A B 的中点为 D ,则 x D ? 10 分 由 点 A , B

, y D ? kxD ?

5 2

?

?5 2 ? 6k
2

. ?????

3 都 在 以 点 ( 0 , 为 )圆 心 的 圆 上 , 得

kMD ? k ? ?1 ,
3? 5 2 ? 6k ?15k
2 2

??????11 分



? k ? ? 1 , 解得 k

2

?

2 9

,符合题意.

??????

2 ? 6k

13 分 所以 k ? ? 14 分 19.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:依题意,点 C 的横坐标为 x ,点 C 的纵坐标为 y C ? ? x ? 9 .
2

2 3



??????

??????

1分 点 B 的横坐标 x B 满足方程 ? x B ? 9 ? 0 ,解得 x B ? 3 ,舍去 x B ? ? 3 . ?????
2

2分 所以 S ?
1 2 (| C D | ? | A B |) ? y C ? 1 2
9 龙文教研室

( 2 x ? 2 ? 3)( ? x ? 9 ) ? ( x ? 3)( ? x ? 9 ) .???
2 2

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

4分 由点 C 在第一象限,得 0 ? x ? 3 . 所以 S 关于 x 的函数式为 S ? ( x ? 3)( ? x ? 9 ) ,0 ? x ? 3 .
2

??????

5分
? 0 ? x ? 3, ? (Ⅱ)解:由 ? x ? ? k, ?3

及 0 ? k ? 1 ,得 0 ? x ? 3 k .

??????

6分 记 f ( x ) ? ( x ? 3)( ? x ? 9 ), 0 ? x ? 3 k ,
2 2 则 f ? ( x ) ? ? 3 x ? 6 x ? 9 ? ? 3( x ? 1)( x ? 3) .

??????

8分 令 f ?( x ) ? 0 , x ? 1 . 得 9分 ① 若 1 ? 3 k ,即
x
f ?( x ) f (x)

??????

1 3

? k ? 1 时, f ? ( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下:
(0 ,1)

1

(1, 3 k )

?

0

?



极大值

↘ ??????

所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得最大值,且最大值为 f (1) ? 3 2 . 11 分 ② 若 1 ? 3 k ,即 0 ? k ?
1 3

时, f ? ( x ) ? 0 恒成立,
2

所以, f ( x ) 的最大值为 f (3 k ) ? 2 7 (1 ? k )(1 ? k ) . 13 分
0 S 综上, ? k ? 1 时, 的最大值为 3 2 ; ? k ? 3 1 1 3

??????

S 时, 的最大值为 2 7 (1 ? k )(1 ? k ) .
2

20.(本小题满分 13 分)
2, 2, 0, 2, (Ⅰ) 数列 A : 2, 6, 4 不能结束, 解: 各数列依次为 4, 2, 2 ; 0, 2 ; 2, 0 ; 2, 2 ; 0, 2 ; ?.

10

龙文教研室

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

以下重复出现, 所以不会出现所有项均为 0 的情形. 3分

??????

(Ⅱ)解: (ⅰ)因为 B 的各项之和为 2 0 1 2 ,且 a ? b , 所以 a 为 B 的最大项, 所以 | a 1 ? a 3 | 最大,即 a 1 ? a 2 ? a 3 ,或 a 3 ? a 2 ? a 1 . 5分
? b ? a1 ? a 2 , ? 当 a 1 ? a 2 ? a 3 时,可得 ? 2 ? a 2 ? a 3 , ? ? a ? a1 ? a 3 .

??????

由 a ? b ? 2 ? 2 0 1 2 ,得 2 ( a 1 ? a 3 ) ? 2 0 1 2 ,即 a ? 1 0 0 6 ,故 b ? 1 0 0 4 .????? 7分 当 a 3 ? a 2 ? a 1 时,同理可得 a ? 1 0 0 6 ,b ? 1 0 0 4 . 8分 (ⅱ)方法一:由 B : b , 2, b ? 2 ,则 B 经过 6 次“ T 变换”得到的数列分别为:
b ? 2 , b , 2 ;2 , b ? 2 , b ? 4 ;b ? 4 , 2 , b ? 6 ;b ? 6, b ? 8, 2 ;2 , b ? 1 0 , b ? 8 ;b ? 1 2, 2, b ? 1 0 .

??????

由此可见,经过 6 次“ T 变换”后得到的数列也是形如“ b , 2, b ? 2 ”的数列,与数 列B “结构”完全相同,但最大项减少 12. 因为 1 0 0 6 ? 1 2 ? 8 3 ? 1 0 , 所以,数列 B 经过 6 ? 8 3 ? 4 9 8 次“ T 变换”后得到的数列为 8, 2,1 0 . 接下来经过 T 变换” “ 后得到的数列分别为:6 , 8, 2 ;2, 6, 4 ;4, 2, 2 ;2, 0, 2 ;2, 2, 0 ;
0, 2, 2 ; 2, 0, 2 ,??

从以上分析可知,以后重复出现,所以数列各项和不会更小. 所以经过 4 9 8 ? 4 ? 5 0 2 次“ T 变换”得到的数列各项和最小, k 的最小值为 5 0 2 . ?????? 13 分 方法二:若一个数列有三项,且最小项为 2 ,较大两项相差 2 ,则称此数列与数列 B “结
11 龙文教研室

教育是一项良心工程

网址:www.longwenedu.com

构相同” . 若数列 B 的三项为 x ? 2, x , 2 ( x ? 2 ) ,则无论其顺序如何,经过“ T 变换”得到的数 列的 三项为 x , x ? 2, 2 (不考虑顺序) . 所以与 B 结构相同的数列经过“ T 变换”得到的数列也与 B 结构相同,除 2 外其余 各项 减少 2 ,各项和减少 4 . 因此,数列 B : 1 0 0 4, 2,1 0 0 6 经过 5 0 2 次“ T 变换”一定得到各项为 2, 0, 2 (不考虑 顺序) 的数列. 通过列举,不难发现各项为 0, 2, 2 的数列,无论顺序如何,经过“ T 变换”得到的数 列会 重复出现,各项和不再减少. 所以,至少通过 5 0 2 次“ T 变换” ,得到的数列各项和最小,故 k 的最小值为 5 0 2 . ?????? 13 分

12

龙文教研室


相关文档

2012年朝阳高三毕业班一模文数试题及答案
2012年西城高三一模数学文含答案
高三一模西城文数
北京西城区2012年高三一模数学试题及答案(文)
北京市西城区2012年高三一模试卷(文数)
2012年西城区高三二模试卷和答案(文数)
2012年西城区高三一模英语试题及答案
2012年西城区高三一模物理试题及答案
2012年北京西城高三一模物理试题及答案
西城区2012年高三一模数学文
电脑版