江西省南昌二中2014-2015学年高一上学期第一次考试数学试卷 Word版含解析

江西省南昌二中 2014-2015 学年高一上学期第一次考试数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)定义集合运算:A?B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设 A={0,1},B={2,3},则集合 A?B 的所有元素之和为() A.0 B. 4 C. 5 D.6 2. (5 分)若 f(x+2)=2x+3,则 f(x)等于() A.2x+1 B.2x﹣1 C.2x﹣3 3. (5 分)设集合 ,

D.2x+7 ,则下列关系中正确的是()

A. A=B B. A?B C. B?A D. A∩B= C. (﹣1,+∞) D. B. (﹣∞,0] C. D. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)学校运动会上,某班所有的同学都参加了篮球或排球比赛.已知该班共有 22 人 参加了排球赛,共有 26 人参加了篮球赛,既参加篮球赛又参加排球赛的有 4 人,则该班的 学生数是 .

12. (5 分)函数 y=﹣

的定义域是,则其值域是.

13. (5 分)集合 A={富强,民主,文明,和谐},B={自由,平等,公正,法治},C={爱国, 敬业,诚信,友善},则集合(A∪B)∩C 的真子集的个数是.

14. (5 分)函数 f(x)=

的单调递增区间是.

15. (5 分)已知函数 f(x)= 取值集合是.

,则满足不等式 f(1﹣x )>f(2x)的 x 的

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知全集 U={不大于 10 的非负偶数},A={0,2,4,6},B={x|x∈A,且 x<4}, 求集合?UA 及 A∩(?UB) .

17. (12 分)若集合 A={x|x +ax+1=0},集合 B={x|x ﹣3x+2=0},且 A?B,求实数 a 的取值 范围.

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18. (12 分)函数 f(x)=



(I)若 f(a)=1,求 a 的值; (Ⅱ)确定函数 f(x)在区间(﹣∞,0)上的单调性,并用定义证明. 19. (12 分)如图所示,直线 l⊥x 轴,从原点开始向右平行移动到 x=8 处停止,它截△ AOB 所得左侧图形的面积为 S,它与 x 轴的交点为(x,0) . (I)求函数 S=f(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 f(x)<14.

20. (13 分) 已知集合 A={x|2x ﹣5x﹣3≤0}, 函数 f (x) = 的定义域为集合 B. (I)若 A∪B=(﹣1,3],求实数 a 的值; (Ⅱ)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 21. (14 分)对于函数 f(x) ,若 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的“不动点”,若 f=x,则称 x 为 f(x)的“稳定点”,函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B,即 A={x|f (x)=x},B={x|f=x}. (I)设 f(x)=3x+4,求集合 A 和 B; (Ⅱ)若 f(x)=
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,??A?B,求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ)若 f(x)=ax ,求证:A=B.

江西省南昌二中 2014-2015 学年高一上学期第一次考试 数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)定义集合运算:A?B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设 A={0,1},B={2,3},则集合 A?B 的所有元素之和为() A.0 B. 4 C. 5 D.6 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题;集合. 分析: 先计算集合 A?B,再计算其元素之和. 解答: 解:∵A?B={z|z=xy,x∈A,y∈B}. 又 A={0,1},B={2,3}, ∴A?B={0,2,3} 所以集合 A*B 的所有元素之和为 0+2+3=5 故选:C. 点评: 本题主要考查了元素与集合关系的判断,只需理解好集合 A?B 的定义即可,较简 单. 2. (5 分)若 f(x+2)=2x+3,则 f(x)等于() A.2x+1 B.2x﹣1 C.2x﹣3

D.2x+7

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用换元法求函数的解析式. 解答: 解:令 x+2=t,则 x=t﹣2, 则 f(t)=2(t﹣2)+3 =2t﹣1. 故选 B. 点评: 本题考查了函数解析式的求法,常用换元法,属于基础题. 3. (5 分)设集合 , ,则下列关系中正确的是()

A. A=B B. A?B C. B?A D. A∩B=∪ C. (﹣1,+∞) D. ∴M?P. 故选:A. 点评: 熟练掌握正整数的性质、集合间的关系是解题的关键. 10. (5 分)若函数 f(x)=x +a|x﹣1|在 B. (﹣∞,0] C. D. . 故选 A. 点评: 考查含绝对值函数的单调性,二次函数的单调性及单调区间. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)学校运动会上,某班所有的同学都参加了篮球或排球比赛.已知该班共有 22 人 参加了排球赛,共有 26 人参加了篮球赛,既参加篮球赛又参加排球赛的有 4 人,则该班的
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学生数是 44. 考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 此类问题只进行空洞的分析, 很难找到解决问题的切入点, 但若能直观地将个部分 人数用韦恩图展示出来,则问题将迎刃而解. 解答: 解:由条件知,每名同学至少参加两个比赛中的一个, 故不可能出现一名同学不参加篮球或排球比赛, 设参加篮球或排球比赛的人数构成的集合分别为 A,B, 则 card(A∩B)=4. card(A)=26,card(B)=22, 由公式 card(A∪B)=card(A)+card(B)﹣card(A∩B) 知 card(A∪B)=22+26﹣4=44 则该班的 学生数是 44 人. 故答案为:44.

点评: 集合中图形语言具有直观形象的特点, 将集合问题图形化, 利用 Venn 图的直观性, 可以深刻理解集合有关概念、运算公式,而且有助于显示集合间的关系.

12. (5 分)函数 y=﹣

的定义域是,则其值域是.

考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由观察法求函数的值域即可. 解答: 解:∵0≤x≤2, ∴1≤x+1≤3, ∴ ≤ ≤ 2, 的值域是.

∴函数 y=﹣

故答案为: . 点评: 本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配方法,3、 反函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法,8、分离常数法,9、 单调性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、构造法,13、比例法.要根据题 意选择. 13. (5 分)集合 A={富强,民主,文明,和谐},B={自由,平等,公正,法治},C={爱国, 敬业,诚信,友善},则集合(A∪B)∩C 的真子集的个数是 0.

考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 由 A,B,以及 C 求出(A∪B)∩C,确定出其真子集的个数即可. 解答: 解:∵A={富强,民主,文明,和谐},B={自由,平等,公正,法治},C={爱国, 敬业,诚信,友善}, ∴A∪B={富强,民主,文明,和谐,自由,平等,公正,法治}, ∴(A∪B)∩C=?, 则集合(A∪B)∩C 的真子集的个数是 0, 故答案为:0 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

14. (5 分)函数 f(x)=

的单调递增区间是(﹣2,0)和(1,3) .

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 作图函数的图象观察图象可得. 解答: 解:做出函数的图象如图: 故函数的增区间为(﹣2,0)和(1,3) . 故答案为(﹣2,0)和(1,3) .

点评: 本题主要考查函数的单调性,求 单调区间,可以用定义求解也可以作图观察.

15. (5 分)已知函数 f(x)= 取值集合是(﹣1﹣ ,0) .

,则满足不等式 f(1﹣x )>f(2x)的 x 的

2

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的表达式,得出函数的单调性,从而得出不等式组,解出即可. 解答: 解:由题意得: ,

解得:﹣1﹣ <x<0, 故答案为: (﹣1﹣ ,0) . 点评: 本题考查了函数的单调性问题,分段函数问题,二次函数的性质,是一道基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知全集 U={不大于 10 的非负偶数},A={0,2,4,6},B={x|x∈A,且 x<4}, 求集合?UA 及 A∩(?UB) . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 列举出全集 U 中的元素,找出 A 中小于 4 的元素确定出 B,求出 A 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:∵全集 U={不大于 10 的非负偶数}={0,2,4,6,8,10},A={0,2,4,6}, B={x|x∈A,且 x<4}={0,2}, ∴?UA={8,10},?UB={4,6,8,10}, 则 A∩(?UB)={4,6}. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 17. (12 分)若集合 A={x|x +ax+1=0},集合 B={x|x ﹣3x+2=0},且 A?B,求实数 a 的取值 范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用. 专题: 计算题;集合. 2 分析: 根据题意,集合 B={1,2},且 A?B,A 是 x +ax+1=0 的解集,分 A 为空集和不是 空集讨论,A 为空集时,只要二次方程的判别式小于 0 即可,不是空集时,分别把 1 和 2 代入二次方程求解 a 的范围,注意求出 a 后需要验证. 2 解答: 解:根据题意,B={x|x ﹣3x+2=0}={1,2},A?B,分 3 种情况讨论: 2 (1)若 A=?,则△ =a ﹣4<0,解得﹣2<a<2; 2 (2)若 1∈A,则 1 +a+1=0,解得 a=﹣2,此时 A={1},适合题意; 2 (3)若 2∈A,则 2 +2a+1=0,解得 a=﹣2.5,此时 A={2,0.5},不合题意; 综上所述,实数 a 的取值范围为
2 2

18. (12 分)函数 f(x)=



(I)若 f(a)=1,求 a 的值; (Ⅱ)确定函数 f(x)在区间(﹣∞,0)上的单调性,并用定义证明. 考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)在各段上分别求 a 的值; (2)利用函数的单调性的定义进行判断和证明. 解答: 解: (1)有题意可得: 或 解得:a=﹣或 a=1 (2)假设 x1<x2<0,则 f(x1)﹣f(x2) = =2( =(x2﹣x1) ( 因为 x1<x2<0, ∴x2﹣x1>0, >0, ) ﹣(x1﹣x2) ,

∴f(x1)﹣f(x2)>0, ∴f(x1)>f(x2) ∴函数 f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减. 点评: 本题主要考查函数的单调性的定义和已知函数值求自变量,属于基础题. 19. (12 分)如图所示,直线 l⊥x 轴,从原点开始向右平行移动到 x=8 处停止,它截△ AOB 所得左侧图形的面积为 S,它与 x 轴的交点为(x,0) . (I)求函数 S=f(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式 f(x)<14.

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)由图分别三角形面积公式及梯形面积公式写出即可; (2)讨论 x,化简不等式 f(x)<14,从而解出 x 的范围. 解答: 解: (1)由图可知,

S=f(x)=



(2)①当 0≤x≤4 时, ②当 4<x≤8 时, ∵
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<14 显然成立;

+8x﹣16<14,

∴x ﹣16x+60>0, 解得,x<6. 综上所述,不等式的解集为,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题;集合. 分析: (I)先化简 A,B,利用 A∪B=(﹣1,3],分类讨论,即可求实数 a 的值; (Ⅱ)若 A∩B=?,分类讨论,即可求实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:A={x|2x ﹣5x﹣3≤0}=,B={x|<0}且 B≠? (I)由题意有: ①若 2a+1=﹣1?a=﹣1,则 B=(﹣2,﹣1) ,不符合题意; ②若 a﹣1=﹣1?a =0,则 B=(﹣1,1) ,符合题意;∴a=0 (Ⅱ)B≠??2a+1≠a﹣1?a≠﹣2 ①若 2a+1<a﹣1?a<﹣2 时, ②若 a﹣1<2a+1?a>﹣2 时, a≥4 或 2a+1≥3 或 a﹣1≥3 或 a≥1∴a<﹣2 或 a≥4∴ 或

综上,实数 a 的取值范围是

或 a≥4 且 a≠﹣2.

点评: 本题考查子集与交集、并集运算的转换,考查学生分析解决问题的能力,易错点忽 视 B≠?. 21. (14 分)对于 函数 f(x) ,若 f(x)=x,则称 x 为 f(x)的“不动点”,若 f=x,则称 x 为 f(x)的“稳定点”,函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B,即 A={x|f (x)=x},B={x|f=x}. (I)设 f(x)=3x+4,求集合 A 和 B; (Ⅱ)若 f(x)=
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,??A?B,求实数 a 的取值范围;

(Ⅲ)若 f(x)=ax ,求证:A=B. 考点: 函数恒成立问题;集合的包含关系判断及应用. 专题: 综合题;压轴题;函数的性质及应用. 分析: (I)直接由 f(x)=x,f=x 求解方程组得集合 A,B; (Ⅱ)分 a=0 和 a≠0 讨论,当 a≠0 时,由题意有:f(x)=x,即 然后验证 不是方程 ax ﹣x+1=0 的根求得集合 A. 由 f=x, 即
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=x,得到 ax ﹣x+1=0, , ax ﹣x+1=0. 验
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都不是方程 ax ﹣x+1=0 的根求得 B={x|ax ﹣x+1=0}. 最后根据??A?B 得到方

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程 ax ﹣x+1=0 有解.列关于 a 的不等式组得答案; 3 4 2 2 (Ⅲ)分 a=0 和 a≠0 讨论,a≠0 时由 f=x 得 a x ﹣x=0,即 x(ax﹣1) (a x +ax+1)=0. 考虑方程 a x +ax+1=0,由△ =a ﹣4a =﹣3a <0 说明该方程无解,从而求出 B={0, }.结 论成立. 解答: (Ⅰ)解:由 f(x)=x,得 3x+4=x,解得 x=﹣2; 由 f=x,得 3(3x+4)+4=x,解得 x=﹣2. ∴集合 A={﹣2},B={﹣2}; (Ⅱ)解:①若 a=0,A=B={1},符合题意; ②若 a≠0,由题意有:f(x)=x,即 注意:1﹣ax≠0, ∴x ,验证得: 不是方程 ax ﹣x+1=0 的根.
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=x,ax ﹣x+1=0.

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∴A={x|ax ﹣x+1=0}. f=x,即 ,ax ﹣x+1=0.
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注意:

,得

且x

验证得:
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都不是方程 ax ﹣x+1=0 的根.

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∴B={x|ax ﹣x+1=0}. ∴A=B. ∵??A?B, ∴A≠?. ∴方程 ax ﹣x+1=0 有解. 则 ,解得 a 且 a≠0. ;
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综上,实数 a 的取值范围是

(Ⅲ)证明:若 a=0,A=B={0},结论成立; 若 a≠0,则 A={0, }. ∵f=x, 3 4 2 2 ∴a x ﹣x=0,即 x(ax﹣1) (a x +ax+1)=0. 2 2 考虑方程 a x +ax+1=0, 2 2 2 ∵△=a ﹣4a =﹣3a <0,方程无解, ∴B={0, }. A=B,结论成立. 点评: 本题 考查了函数恒成立问题,考查了集合的包含关系的判断与应用,考查了学生 的逻辑思维能力,体现了分类讨论的数学思想方法,是压轴题.


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