高中数学平面解析几何初步经典例题

直线和圆的方程
一、知识导学 1.两点间的距离公式:不论 A( x 1, y 1),B( x 2, y 2)在坐标平面上什么位置,都有
2 2 d=|AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ,特别地,与坐标轴平行的线段的长 |AB|=| x 2- x 1|或

|AB|=| y 2- y 1|. 2.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点 A( x 1, y 1),B( x 2, y 2),P( x , y ) 之间数量关系的一个公式,其中λ 的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比. 这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的,一旦选定后λ 的值也就随之确定了.若以

? x? ? ? A 为起点,B 为终点,P 为分点,则定比分点公式是 ? ?y ? ? ? x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 λ =1,此时中点坐标公式是 ? . ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?

x1 ? ?x2 1? ? .当 P 点为 AB 的中点时, y1 ? ?y 2 1? ?

3.直线的倾斜角和斜率的关系 (1)每一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率. (2)斜率存在的直线,其斜率 k 与倾斜角α 之间的关系是 k =tanα . 4.确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多,但必须注意各种 形式的直线方程的适用范围. 名称 斜截式 方程 说明 适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 与两坐标轴平行的直线 不能用此式 过(0,0)及与两坐标 轴平行的直线不能用此 式 A、B 不全为零

y ? kx ? b

k 为直线的斜率
b 为直线的纵截距 ( x0 , y0 ) 为直线上的

点斜式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x2 ? x1
x y + =1 a b

已知点, k 为直线的斜率 两点式 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 )是直 线上两个已知点

截距式

a 为直线的横截距
b 为直线的纵截距

一般式

Ax ? By ? C ? 0

?

A C C , ? , ? 分别 B A B

为斜率、横截距和纵截距

k 2 ≠ -1 时, 5. 两条直线的夹角。 当两直线的斜率 k 1 , k 2 都存在且 k 1 · tanθ =

k 2 ? k1 , 1 ? k1 k 2

当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.另外还应注意到: “到角”公式与“夹角”公式的
1

区别. 6.怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时,若两直线的斜率 都存在,可以用斜率的关系来判断;若直线的斜率不存在,则必须用一般式的平行垂直条件 来判断. (1) 斜率存在且不重合的两条直线 l 1∶ y ? k1 x ? b1 , l 2∶ y ? k 2 x ? b2 , 有以下结论: ① l 1∥ l 2 ? k 1 = k 2 ,且b1=b2 ② l 1⊥ l 2 ? k 1 · k 2 = -1 (2)对于直线 l 1∶ A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l 2


A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,当 A 1, A 2, B 1,

B 2 都不为零时,有以下结论:
① l 1∥ l 2 ?

A1 B1 C = ≠ 1 A2 B 2 C 2
2

② l 1⊥ l 2 ? A 1 A 2+ B 1 B ③ l 1 与 l 2 相交 ?

= 0

A1 B ≠ 1 A2 B2 A1 B1 C1 = = A2 B 2 C 2

④ l 1 与 l 2 重合 ?

7.点到直线的距离公式. (1)已知一点 P( x0 , y0 )及一条直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则点 P 到直线 l 的距离

d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



( 2 ) 两 平 行 直 线 l 1: Ax ? By ? C1 ? 0 , d=

l 2: Ax ? By ? C2 ? 0 之 间 的 距 离

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2

.

8.确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式,要知道两种形式之 间的相互转化及相互联系 (1)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,其中( a ,b)是圆心坐标, r 是圆 的半径;
2 2 (2)圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F >0) ,圆心坐标

D E D 2 ? E 2 ? 4F 为(- ,- ) ,半径为 r = . 2 2 2

2

二、疑难知识导析 1.直线与圆的位置关系的判定方法. (1)方法一 直线: Ax ? By ? C ? 0 ;圆: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .

? Ax ? By ? C ? 0 ? ?? ?消元 ?? ? 一元二次方程 ?判别式 ? 2 2 △?b 2 ? 4 ac ? x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0

?△? 0 ? 相交 ? ?△? 0 ? 相切 ?△? 0 ? 相离 ?

(2)方法二 直线: Ax ? By ? C ? 0 ;圆: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ,圆心( a ,b)到 直线的距离为 d=

| Aa ? Bb ? C | A2 ? B 2

?d ? r ? 相离 ? ?? ? ?d ? r ? 相切 ?d ? r ? 相交 ?

2.两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为 O1、O2,半径分别为 r 1, r 2,|O1O2|为圆心距,则两圆位置关系如下: |O1O2|> r 1+ r 2 ? 两圆外离; |O1O2|= r 1+ r 2 ? 两圆外切; | r 1- r 2|<|O1O2|< r 1+ r 2 ? 两圆相交; | O1O2 |=| r 1- r 2| ? 两圆内切; 0<| O1O2|<| r 1- r 2| ? 两圆内含. 三、经典例题导讲 [例 1]直线 l 经过 P(2,3),且在 x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解:设直线方程为:

x y 2 3 ? ? 1 ,又过 P(2,3),∴ ? ? 1 ,求得 a=5 a b a b x y ? ? 1 的条件是: a ≠0 且 b≠0,本题忽略了 a ? b ? 0 这一情 a b 3?0 3 ? , 2?0 2

∴直线方程为 x+y-5=0. 错因: 直线方程的截距式: 形. 正解:在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为: k ? ∴直线方程为 y=

3 x 2 3 x . 2

综上可得:所求直线方程为 x+y-5=0 或 y=

[例 2]已知动点 P 到 y 轴的距离的 3 倍等于它到点 A(1,3)的距离的平方,求动点 P 的轨迹 方程. 错解:设动点 P 坐标为(x,y).由已知 3 x ? ( x ? 1) ? ( y ? 3) ,
2 2

化简 3 x =x -2x+1+y -6y+9 .
2 2

当 x≥0 时得 x -5x+y -6y+10=0 . ①

2

2

3

当 x<0 时得 x + x+y -6y+10=0 . ② 错因:上述过程清楚点到 y 轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方 程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 5 2 21 2 (x- ) +(y-3) = ① 2 4 和 1 2 3 2 (x+ ) +(y-3) = 2 4 ②

2

2

两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现. 5 2 21 1 2 2 2 正解: 接前面的过程,∵方程①化为(x- ) +(y-3) = ,方程②化为(x+ ) +(y-3) = 2 4 2 3 5 2 21 2 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点 P 的轨迹方程为: (x- ) +(y-3) = 4 2 4 (x≥0) 2 2 2 2 [例 3]m 是什么数时,关于 x,y 的方程(2m +m-1)x +(m -m+2)y +m+2=0 的图象表示一个 圆? 2 2 错解:欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要 A=C≠0, 2 2 2 得 2m +m-1=m -m+2,即 m +2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3, 2 2 ∴当 m=1 或 m=-3 时,x 和 y 项的系数相等,这时,原方程的图象表示一个圆 2 2 错因:A=C,是 Ax +Cy +F=0 表示圆的必要条件,而非充要条件,其充要条件是: F A=C≠0 且 <0. A 正解:欲使方程 Ax +Cy +F=0 表示一个圆,只要 A=C≠0, 2 2 2 得 2m +m-1=m -m+2,即 m +2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3, 2 2 (1) 当 m=1 时,方程为 2x +2y =-3 不合题意,舍去.
2 2 2 2 1 (2) 当 m=-3 时,方程为 14x +14y =1,即 x +y = ,原方程的图形表示圆. 14 2 2

[例 4]自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 2 2 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在的直线方程. 错解:设反射光线为 L′,由于 L 和 L′关于 x 轴对称,L 过点 A(-3,3),点 A 关于 x 轴的对 称点 A′(-3,-3),于是 L′过 A(-3,-3). 设 L′的斜率为 k,则 L′的方程为 y-(-3)=k[x-(-3)] ,即 kx-y+3k-3=0, 2 2 已知圆方程即(x-2) +(y-2) =1,圆心 O 的坐标为(2,2),半径 r=1 因 L′和已知圆相切,则 O 到 L′的距离等于半径 r=1

2k ? 2 ? 3k ? 3 k2 ?1

?

5k ? 5 k2 ?1

?1

即 2 整理得 12k -25k+12=0 解得 k=

4 3

L′的方程为 y+3=

4 (x+3) 3

即 4x-3y+3=0 因 L 和 L′关于 x 轴对称 故 L 的方程为 4x+3y+3=0. 错因:漏解 正解:设反射光线为 L′,由于 L 和 L′关于 x 轴对称,L 过点 A(-3,3),点 A 关于 x 轴的对 称点 A′(-3,-3), 于是 L′过 A(-3,-3). 设 L′的斜率为 k,则 L′的方程为 y-(-3)=k[x-(-3)] ,即 kx-y+3k-3=0, 2 2 已知圆方程即(x-2) +(y-2) =1,圆心 O 的坐标为(2,2),半径 r=1 因 L′和已知圆相切,则 O 到 L′的距离等于半径 r=1

4

2k ? 2 ? 3k ? 3
2

k ?1 k2 ?1 即 2 整理得 12k -25k+12=0
解得 k=

?

5k ? 5

?1

4 3 或 k= 3 4

L′的方程为 y+3=

4 3 (x+3);或 y+3= (x+3)。 3 4

即 4x-3y+3=0 或 3x-4y-3=0 因 L 和 L′关于 x 轴对称 故 L 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0. [例 5] 求过直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的交点, 且满足下列条件之 一的圆的方程: (1) 过原点; (2)有最小面积. 解:设所求圆的方程是: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? ? ?x ? 2 y ? 4? ? 0
2 2

即: x ? y ? ?2 ? ? ?x ? 2?2 ? ? ?y ? 1 ? 4? ? 0
2 2

(1)因为圆过原点,所以 1 ? 4? ? 0 ,即 ? ? ? 故所求圆的方程为: x ? y ?
2 2

1 4

7 7 x ? y ? 0. 4 2
2

(2) 将圆系方程化为标准式,有:

2??? 5? 2? 4 ? 2 ?x ? ? ? ?y ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? 4? 5? 5 ?
当其半径最小时,圆的面积最小,此时 ? ? ?
2

2

2 为所求. 5
2

4? ? 8? 4 ? 故满足条件的圆的方程是 ? x ? ? ? ? y ? ? ? . 5? ? 5? 5 ?
点评: (1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以待 定系数法。 (2)面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面 积最小. [例 6] (06 年辽宁理科) 已知点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ≠0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0)
2

上的两个动点,O 是坐标原点,向量 OA, OB 满足| OA ? OB |=| OA ? OB |.设圆 C 的 方程为 x ? y ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
2 2

(1)证明线段 AB 是圆 C 的直径; (2)当圆 C 的圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离的最小值为

2 5 时,求 p 的值. 5

5

解: (1)证明 ∵| OA ? OB |=| OA ? OB |,∴( OA ? OB ) =( OA ? OB ) ,
2 2

整理得: OA ? OB =0

∴ x1 x2 + y1 y 2 =0

设 M( x , y )是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB =0 即

( x ? x1 )(x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) =0

整理得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径. (2)设圆 C 的圆心为 C( x , y ) ,则

x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
∵ y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ( p ? 0) ∴ x1 x 2 ?
2 2

y1 y 2 4 p2

2

2

又∵ x1 x2 + y1 y 2 =0 , x1 x2 =- y1 y 2

y y2 ∴- y1 y 2 ? 1 2 4p

2

2

∵ x1 x2 ≠0,∴ y1 y 2 ≠0 ∴ y1 y 2 =-4 p
2

x?

x1 ? x2 1 1 1 2 2 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? ( y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 ) ? y1 y 2 2 4p 4p 4p



1 (y2 ? 2 p2 ) p
2 2

所以圆心的轨迹方程为 y ? px ? 2 p

设圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为d,则



| x ? 2y | 5

| ?

1 2 (y ? 2 p2 ) ? 2y | p 5

?

| ( y ? p) 2 ? p 2 | 5p
6

当 y = p 时,d有最小值 ∴ p =2. 四、典型习题导练

p 5

,由题设得

p 5



2 5 5

y y=2x+b

1. 直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的 圆心角为 A. π 6 ( π B. 4 ) π C. 3
2 2

A

π D. 2

O B

1

x

2.已知直线 x=a(a>0)和圆(x-1) +y =4 相切 ,那么 a 的值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 3. 如果实数 x 、y 满足等式 (x-2) +y =3,则
2 2

y 的最大值 x

为: . 2 2 4.设正方形 ABCD(A、B、C、D 顺时针排列)的外接圆方程为 x +y -6x+a=0(a<9) ,C、D 点 所在直线 l 的斜率为

1 . 3

(1)求外接圆圆心 M 点的坐标及正方形对角线 AC、BD 的斜率; (2)如果在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以原点为顶点,以 x 轴为对称轴的抛物线上, 求此抛物线的方程及直线 l 的方程; (3)如果 ABCD 的外接圆半径为 2 5 ,在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以 x 轴为对称轴 的抛物线上,求此抛物线的方程及直线 l 的方程.

7

5.如图,已知圆 C: (x+4) +y =4。圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切。圆 D 与 y 轴交于 A、B 两点,点 P 为(-3,0). (1)若点 D 坐标为(0,3) ,求∠APB 的正切值; (2)当点 D 在 y 轴上运动时,求∠APB 的正切值的最大值; (3)在 x 轴上是否存在定点 Q,当圆 D 在 y 轴上运动时,∠AQB 是定值?如果存在,求 出点 Q 坐标;如果不存在,说明理由.

2

2

8


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