高三文科数学练习2012-11-20

高三文科数学练习(五) 2012-9-20
一. 填空题
1.已知 A={1,2},B={x|x∈ A},则集合 A 与 B 的关系为________. 2.计算:

3?i ? 1? i

( i 为虚数单位) 3 ,则 a 的值为________. 4

3.若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα· cosα= 4.若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ?

1 2 ,则 a1a3 a5 ? ________. 2

5.设函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1,则函数 y=f(x)与 y=x 图象交点的个数可能是________个. 6.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________. π 7.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为________. 12 8.满足约束条件 x ? 2 y ? 2 的目标函数 z ? y ? x 的最小值是________. 9. 函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调 减区间是________. 10. 已 知 向 量 OB ? (2,0), OC ? (2,2), CA ? ( 2 c o ? , 2 s i ? ) , 则 向 量 s n

OA, OB 的夹角范围是________.
11.已知数列 ?a n ? 中, a1 ? ?60, a n ?1 ? a n ? 3 ,那么 | a1 | ? | a2 | ? ?? | a30 | 的值为________. 12.设 a , b 为正实数,现有下列命题: ①若 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 ;
2 2

②若

1 1 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 ; b a
3 3

③若 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? 1 ; ④若 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? 1 。 其中的真命题有________. (写出所有真命题的编号) 13.在矩形 ABCD 中,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点,且

???? ? ??? ? BM CN ???? ???? ? 满足 ??? ? ??? ,则 AM ? AN 的取值范围是________. ? ? BC CD
14. 设 函 数 f ( x) ? ( x ? 3) ? x ? 1 , 数 列 {an } 是 公 差 不 为
3

0

的 等 差 数 列 ,

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? ________.

二.填空题

15.设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx-

3 . 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和.

16.已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围.

17.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16
3

(1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最大值.

18.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg

1 } 的前 n 项和最大? an

19. 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业.其用氧量包含 3 个方面: ①下潜时,平均速度为 v (米/单位时间),单位时间内用氧量为 cv ( c 为正常数);②在水底作业需 5 个单 位时间,每个单位时间用氧量为 0.4;③返回水面时,平均速度为 0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为 y . (1)将 y 表示为 v 的函数; (2)设 0< v ≤5,试确定下潜速度 v ,使总的用氧量最少.
2

v (米/单位时间), 单位时间用氧量为 2

20. 已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

3 ? ?3 ? ?? (a ? R ), 且在 , ?0, ? 上的最大值为 , 2 2 ? 2?

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,π )内的零点个数,并加以证明。

高三文科数学练习(五)
二.填空题 1.已知 A={1,2},B={x|x∈ A},则集合 A 与 B 的关系为________. 解析:由集合 B={x|x∈ A}知,B={1,2}.答案:A=B 2.计算:

3?i ? 1? i

( i 为虚数单位)

【解析】复数

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i 。 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

3 ,则 a 的值为________. 4 3 解析:依题意可知 α 角的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终边上且 sinα· cosα= ,易得 tanα= 4 3 4 4 3或 ,则 a=-4 3或- 3.答案:-4 3或- 3 3 3 3 3.若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a),且 sinα· cosα=

1 2 ,则 a1a3 a5 ? ________. 2 1 1 2 2 4 【解析】因为 a2 a4 ? a3 ? ,所以 a1a3 a5 ? a3 ? 2 4
4.若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? 5.设函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x)+1,则函数 y=f(x)与 y=x 图象交点的个数可能是________个. 解析:由 f(x+1)=f(x)+1 可得 f(1)=f(0)+1,f(2)=f(0)+2,f(3)=f(0)+3,…本题中如果 f(0)=0, 那么 y=f(x)和 y=x 有无数个交点;若 f(0)≠0,则 y=f(x)和 y=x 有零个交点.答案:0 或无数 6.向量 a=(cos10° ,sin10° ),b=(cos70° ,sin70° ),|a-2b|=________________. 解析:|a-2b|2 =(cos10° -2cos70°2 +(sin10° ) -2sin70°2 =5-4cos10° ) cos70° -4sin10° sin70° =5- 4cos60° =3,∴|a-2b|= 3. π 6.已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为________. 12 π π π π 3 解析:∵x= 是对称轴,∴f(0)=f( ),即 cos0=asin +cos ,∴a= . 12 6 3 3 3 7.满足约束条件 x ? 2 y ? 2 的目标函数 z ? y ? x 的最小值是 作出约束条件表示的平面区域可知,当 x ? 2 , y ? 0 时,目标函数取最小值,为-2. 8. 函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示,则函数 g(x)=f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________. 1 解析:∵0<a<1,y=logax 为减函数,∴logax∈[0, ]时,g(x)为减函数. 2 1 由 0≤logax≤ ? a≤x≤1.答案:[ a,1](或( a,1)) 2 9. 已 知 向 量 OB ? (2,0), OC ? (2,2), CA ? ( 2 cos ? , 2 sin? ) , 则 向 量

OA, OB 的夹角范围是
。[

, ] 12 12

? 5?

10.如图,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正 南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75° ,与 A 相距 3 2 海里的 D 处; 乙船位于灯塔 B 的北偏西 60° 方向, B 相距 5 海里的 C 处. 与 则

两艘轮船之间的距离为________海里. 解析:连结 AC.则 AC=5,在△ACD 中,AD=3 2,AC=5,∠DAC=45° ,由余弦定理得 CD = 13.答案: 13 11.已知数列 ?a n ? 中, a1 ? ?60, a n ?1 ? a n ? 3 ,那么 | a1 | ? | a2 | ? ?? | a30 | 的值为 12.设 a , b 为正实数,现有下列命题: ①若 a ? b ? 1,则 a ? b ? 1 ;
2 2

。765

②若

1 1 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 ; b a

③若 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? 1 ; ④若 | a3 ? b3 |? 1 ,则 | a ? b |? 1 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 【答案】①④

? a 【解析】 a ? b ? 1 ? (a ? b)(a ? b) ? 1 , a ? b ? a ? b , ? b ? 1 所以是真命题; ① ②
2 2

1 1 ? ?1 b a

时无法确定 a ? b ? 1 ,是假命题;③ a ? 9, b ? 4 时 | a ? b |? 1 , | a ? b |? 5 ? 1 ,是假命题;④ 同①可证,为真命题.故选①④. 13.在矩形 ABCD 中,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点,且

???? ? ??? ? BM CN ???? ???? ? 满足 ??? ? ??? ,则 AM ? AN 的取值范围是 ? ? BC CD
BM
【解析】设

?

CN CD

= ? (0≤ ? ≤1) ,

BC

则 BM ? ? BC = ? AD , DN ? (1 ? ?) DC = (1 ? ? ) AB , 则 AM ? AN = ( AB ? BM )( AD ? DN ) = ( AB ? ? AD)[ AD ? (1 ? ? ) AB] = AB? AD + (1 ? ? ) AB + ? AD + (1 ? ?) AD? AB , 又∵ AB? AD =0, ∴ AM ? AN = 4 ? 3? , ∵0≤ ? ≤1,∴1≤ AM ? AN ≤4,即 AM ? AN 的取值范围是[1,4]. 14. 设 函 数 f ( x) ? ( x ? 3) ? x ? 1 , 数 列 {an } 是 公 差 不 为
3
2

2

0

的 等 差 数 列 ,

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? ________.
【解析】 f (a1 ) ? f (a2 ) ??? f (a7 ) ? (a1 ? 3)3 ? a1 ?1 ? (a2 ? 3)3 ? a2 ?1 ? ?(a7 ? 3)3

? a7 ?1 ? 14,即 (a1 ? 3)3 ? a1 ? 3 ? (a2 ? 3)3 ? a2 ? 3 ??(a7 ? 3)3 ? a7 ? 3 ? 0 ,根据等差数列的
性质得 (a4 ? 3 ? 3d )3 ? (a4 ? 3 ? 2d )3 ? ? ? (a4 ? 3 ? 3d )3 ? 7(a4 ? 3) ? 0 ,即

(a4 ? 3 ? 3d )3 ? (a4 ? 3 ? 3d )3 ? (a4 ? 3 ? 2d )3 ? (a4 ? 3 ? 2d )3 ? ? ? (a4 ? 3)3 ? 7(a4 ? 3) ? 0 ?2(a4 ? 3)((a4 ? 3) 2 ? 27d 2 ) ? 2(a4 ? 3)((a4 ? 3) 2 ? 12d 2 ) ? 2(a4 ? 3)((a4 ? 3) 2 ? 3d 2 ) ? (a4 ? 3)3 ? 7(a4 ? 3) ? 0 , 即 (a4 ? 3)(7(a4 ? 3)2 ? 84d 2 ? 7) ? 0 , ?a4 ? 3 ? 0, 即 a4 ? 3 , ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? 7a4 ? 21
二.填空题 3 . 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T,并求出函数 f(x)的单调递增区间; (2)求在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和. 3 1 3 3 1 π 解:(1)f(x)= (cos2x+1)+ sin2x- = cos2x+ sin2x=sin(2x+ ), 2 2 2 2 2 3 π π π 5 π 故 T=π.由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 kπ- π≤x≤kπ+ , 2 3 2 12 12 5 π 所以单调递增区间为[kπ- π,kπ+ ](k∈Z). 12 12 π π π π (2)令 f(x)=1,即 sin(2x+ )=1,则 2x+ =2kπ+ (k∈Z).于是 x=kπ+ (k∈Z),∵0≤x<3π, 3 3 2 12 π π π 13π 且 k∈Z,∴k=0,1,2,则 +(π+ )+(2π+ )= . 12 12 12 4 13 ∴在[0,3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为 π. 4 15.设函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- 16.已知函数 f(x)=x2,g(x)=x-1. (1)若存在 x∈R 使 f(x)<b· g(x),求实数 b 的取值范围; (2)设 F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数 m 的取值范围. 解:(1) x∈R,f(x)<b· g(x)? x∈R,x2-bx+b<0?Δ =(-b)2-4b>0? b<0 或 b>4.(2)F(x)=x2- mx+1-m2,Δ=m2-4(1-m2)=5m2-4, 2 5 2 5 ①当 Δ≤0 即- ≤m≤ 时,则必需 5 5

? 2 ≤0 ? 2 5 2 5 ?- 5 ≤m≤ 5
m

2 5 ? - ≤m≤0. 5

2 5 2 5 m ②当 Δ>0 即 m<- 或 m> 时,设方程 F(x)=0 的根为 x1,x2(x1<x2),若 ≥1,则 x1≤0. 5 5 2

?m≥1 ?2 ? ? m≥2. ?F(0)=1-m2≤0 ?

m 若 ≤0,则 x2≤0, 2

?m≤0 ?2 2 5 ? ? -1≤m<- .综上所述:-1≤m≤0 或 m≥2. 5 ?F(0)=1-m2≥0 ?

17.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 (1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最大值. 【解】 (Ⅰ)因 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax 2 ? b 故有 ? 由于 f ( x ) 在点 x ? 2 处取得极值

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12
f ( x) ? x3 ?12x ? c , f ?( x) ? 3x2 ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (??, ?2) 上为增函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (2, ??) 上为增函数。 由 此 可 知 f ( x ) 在 x1 ? ?2 处 取 得 极 大 值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x ) 在 x2 ? 2 处 取 得 极 小 值

f (2) ? c ? 16由题设条件知 16 ? c ? 28 得 c ? 12 此时 f (? 3) ? 9 ? c ? 21,f (3)? ? 9?c ? , 3 f (2) ? c ?16 ? ?4 因此 f ( x) 上 [?3,3] 的最小值为 f (2) ? ?4
18.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg 【解析】

1 } 的前 n 项和最大? an

19. 在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为 30 米的水底进行作业.其用氧量包含 3 个方面: ①下潜时,平均速度为 v (米/单位时间),单位时间内用氧量为 cv ( c 为正常数);②在水底作业需 5 个单 位时间,每个单位时间用氧量为 0.4;③返回水面时,平均速度为 0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为 y . (1)将 y 表示为 v 的函数; (2)设 0< v ≤5,试确定下潜速度 v ,使总的用氧量最少.
2

v (米/单位时间), 单位时间用氧量为 2

20. 已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

3 ? ?3 ? ?? (a ? R ), 且在 , ?0, ? 上的最大值为 , 2 2 ? 2?

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在(0,π )内的零点个数,并加以证明。


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