高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.3导数在研究函数中的作用推理案例赏析教学案苏

2.1.3 推理案例赏析
[对应学生用书P23]

[例 1]

观察如图所示的“三角数阵”:

归纳推理的应用
拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。 如果你希 望成功 ,以恒 心为良 友,以 经验为 参谋, 以小心 为兄弟 ,以希 望为哨 兵。

记第 n 行的第 2 个数为 an(n≥2,n∈N ),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成 下列各题: (1)第 6 行的 6 个数依次为__________、 __________、 ______________、 ______________、 ______________、______________; (2)依次写出 a2、a3、a4、a5; (3)归纳出 an+1 与 an 的关系式. [思路点拨] (1)观察数阵,总结规律:除首末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上 的两数之和,得出(1)的结果. (2)由数阵可直接写出答案. (3)写出 a3-a2,a4-a3,a5-a4,从而归纳出(3)的结论. [精解详析] (1)由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行肩膀上的 两数之和,且每一行的首末两数都等于行数. [答案] 6,16,25,25,16,6 (2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11 (3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4, ∴由此归纳:an+1=an+n. [一点通] 对于数阵问题的解决方法, 既要清楚每行、 每列数的特征, 又要对上、 下行, 左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解了.

*

1.设[x]表示不超过 x 的最大整数,如[ 5]=2,[π ]=3,[k]=k (k∈N ).

*

1

我的发现:[ 1]+[ 2]+[ 3]=3; [ 4]+[ 5]+[ 6]+[ 7]+[ 8]=10; [ 9]+[ 10]+[ 11]+[ 12]+[ 13]+[ 14]+[ 15]=21; … 通过归纳推理,写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________( 用含 n 的式子表 示). 解析:第 n 行右边第一个数是[ n ],往后是[ n +1],[ n +2],…,最后一个是 [ n +2n].等号右边是 n(2n+1). 答案:[ n ]+[ n +1]+[ n +2]+ … +[ n +2n]=n(2n+1) 2.(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少 个顶点?多少条边?它们将平面围成了多少个区域?
2 2 2 2 2 2 2 2

顶点数 (a) (b) (c) (d)

边数

区域数

(2)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系? (3)现已知某个平面图形有 999 个顶点,且围成了 999 个区域,试根据以上关系确定这 个平面图形有多少条边? 解:(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为 顶点数 (a) (b) (c) (d) 3 8 6 10 边数 3 12 9 15 区域数 2 6 5 7

2

(2)观察:3+2-3=2;8+6-12=2;6+5-9=2;10+7-15=2, 通过观察发现,它们的顶点数 V,边数 E,区域数 F 之间的关系为 V+F-E=2. (3)由已知 V=999,F=999,代入上述关系式得 E=1 996,故这个平面图形有 1 996 条边. 类比推理的应用

[例 2] 通过计算可得下列等式: 2 -1 =3×1 +3×1+1; 3 -2 =3×2 +3×2+1; 4 -3 =3×3 +3×3+1; … (n+1) -n =3×n +3×n+1. 将以上各等式两边分别相加,得 (n+1) -1 =3(1 +2 +…+n )+3(1+2+3+…+n)+n, 1 2 2 2 2 即 1 +2 +3 +…+n = n(n+1)(2n+1). 6 类比上述求法,请你求出 1 +2 +3 +…+n 的值. [思路点拨] 类比上面的求法;可分别求出 2 -1 ,3 -2 4 -3 ,…(n+1) -n ,然
4 4 4 4, 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2

后将各式相加求解. [精解详析] ∵2 -1 =4×1 +6×1 +4×1+1, 3 -2 =4×2 +6×2 +4×2+1, 4 -3 =4×3 +6×3 +4×3+1, … (n+1) -n =4×n +6×n +4×n+1. 将以上各式两边分别相加, 得(n+1) -1 =4×(1 +2 +…+n )+6×(1 +2 +…+n )+4×(1+2+…+n)+n ∴ 1
4 3 4 4 3 3 3 2 2 2 4 4 3 2 4 4 3 2 4 4 3 2 4 4 3 2



2

3



… -4×



n3



1 4

? n+ ? ?

1 4 -1 -6× n 6

n+

·

n+

n n+
2

1 -n? ?=4n2(n+1)2. ?

[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比,从而产生解题方法 的迁移,这是数学学习中很高的境界,需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.

3

(2)类比推理的步骤与方法 第一步:弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别. 第二步: 把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来, 也就是要把相关对 象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.

3.二维空间中圆的一维侧度(周长)l=2π r,二维测度(面积)S=π r ,观察发现 S′=

2

l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4π r2,三维测度(体积)V= π r3,观察发现 V′= S.则四维空间中“超球”的三维测度 V=8π r3,猜想其四维测度 W=________.
解析:(2π r )′=8π r . 答案:2π r
4 4 3

4 3

4.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下一个直角三角形, 按图所标边长, 由勾股定理有: c =a +b .设想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面的面 积,S4 表示截面的面积,那么你类比得到的结论是________.
2 2 2

解析:由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比,因此所得到的结论为:S4 =S1+S2+S3. 答案:S4=S1+S2+S3
2 2 2 2 2 2 2

2

演绎推理的应用 [例 3] 已知{an}为等差数列,首项 a1>1,公差 d>0,n>1 且 n∈N . 求证:lg an+1lg an-1<(lg an) . [思路点拨] 对数之积不能直接运算,可由基本不等式转化为对数之和进行运算. [精解详析] ∵{an}为等差数列, ∴an+1+an-1=2an. ∵d>0, ∴an-1an+1=(an-d)(an+d)=an-d <an. ∵a1>1,d>0,∴an=a1+(n-1)d>1. ∴lg an>0.
2 2 2 2 *

4

∴lg an+1·lg an-1≤?

?lg an+1+lg an-1?2 ? 2 ? ? ?

?1 =? lg ?2

2? ?1 an-1an+1 ? ?2<?2lg an?2=(lg an)2,

? ?

即 lg an+1·lg an-1<(lg an) . [一点通] 三段论推理的根据,从集合的观点来讲,就是:若集合 M 的所有元素都具有 性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中所有元素都具有性质 P.

2

5.如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形,B1C⊥A1B.

(1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D∶DC1 的值. 要求:写出每一个三段论的大前提、小前提、结论. 解:(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提),侧面 BCC1B1 是菱形(小前提), 所以 B1C⊥BC1(结论). 又线面垂直的判定定理(大前提),

B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B(小前提),
所以 B1C⊥平面 A1BC1(结论). 又面面垂直的判定定理(大前提),

B1C? 平面 AB1C,B1C⊥平面 A1BC(小前提),
所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1(结论). (2)设 BC1 交 B1C 于点 E,连接 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线. 根据线面平行的性质定理(大前提), 因为 A1B∥平面 B1CD(小前提), 所以 A1B∥DE(结论). 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点,即 A1D∶DC1=1∶1. 2 -1 6.求证:函数 y= x 是奇函数,且在定义域上是增函数. 2 +1
x x

证明:y=f(x)=

+ -2 2 =1- x , x 2 +1 2 +1

5

所以 f(x)的定义域为 x∈R.

f(-x)+f(x)=?1-
=2-? =2-? =2-

? ?

2 ? ? 2 ? +?1- x ? -x 2 +1? ? ? 2 +1?

? x 2 + -x2 ? ? ?2 +1 2 +1? ? x 2 +2·2 ? x ? ?2 +1 2 +1?
+ 2 +1
x x x

=2-2=0, 即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 2 ? ? 2 ? ? 则 f(x1)-f(x2)=?1- -?1- ? ? ? 2x1+1? ? 2x2+1? =2?

? 1 - 1 ? ? ?2x2+1 2x1+1?
2x1-2x2

=2·

x2+

x1+

.

因为 x1<x2,所以 2x1<2x2,2x1-2x2<0, 所以 f(x1)<f(x2).故 f(x)为增函数.

1.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理,数学研究中,得到一个新结论之前, 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论; 证明一个数学结论之前, 合情推理常为我们提供 证明的思路和方向. 2.在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论,再想办法去证明或否定发现的 结论.

[对应学生用书P25]

一、填空题 1. 设 k 棱柱有 f(k)个对角面, 则 k+1 棱柱对角面的个数为 f(k+1)=f(k)+________. 解析:k 棱柱增加一条侧棱时,则这条侧棱和与之不相邻的 k-2 条侧棱可构成 k-2 个

6

对角面,而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面. 所以 f(k+1)=f(k)+k-2+1=f(k)+k-1. 答案:k-1 2.如果一个凸多面体是 n 棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____ 条.这些直线中共有 f(n)对异面直线,则 f(4)=______;f(n)=______.(答案用数字或含

n 的式子表示)
解析:所有顶点确定的直线共有:棱数+底边数+对角线数,即 n+n+

n n-
2



n2+n
2

. 4×1 ×2=12, 2 2 ×(n-2)=

f(4)=4×2+

n n- f(n)=n(n-2)+
答案:

n n-
2

n-

.

n2+n
2

12

n n-
2

n- x

3. (陕西高考)已知 f(x)=

, x≥0, 若 f1(x)=f(x), fn+1(x)=f(fn(x)), n∈N 1+x

*,



f2 014(x)的表达式为________. x 1 + x x x x ? ?= 解析:由 f1(x)= ? f2(x)=f? = ;又可得 f3(x)=f(f2(x))= ? 1+x x 1+2x ?1+x? 1+ 1+x x
1+2x 1+ 1+2x 答案:

x



,故可猜想 f2 014(x)= . 1+3x 1+2 014x

x

x

x
1+2 014x

4.对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: 7, ? ? 3 3 =?9, ? ?11,
3

? ?3, 3 2 =? ?5, ?

13, ? ?15, 4 =? 17, ? ?19,
3

….

仿此,若 m 的“分裂数”中有一个是 2 015,则 m=________.

7

解析:根据分裂特点,设最小数为 a1, 则 ma1+

m m-
2

×2=m ,

3

∴a1=m -m+1. ∵a1 为奇数,又 45 =2 025, ∴猜想 m=45. 验证 45 =91 125= 答案:45 5.观察以下等式 1 2 2 sin 30°+cos 90°+ 3sin 30°·cos 90°= ; 4 1 2 2 sin 25°+cos 85°+ 3sin 25°·cos 85°= ; 4 1 2 2 sin 10°+cos 70°+ 3sin 10°·cos 70°= . 4 推测出反映一般规律的等式:____________________. 解析:∵90°-30°=60°,85°-25°=60°,70°-10°=60°, 1 2 2 ∴其一般规律为 sin α +cos (60°+α )+ 3sin α cos(60°+α )= . 4 1 2 2 答案:sin α +cos (60°+α )+ 3sin α cos(60°+α )= 4 二、解答题 6.试将下列演绎推理写成三段论的形式: (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中的大行星,所以海 王星以椭圆形轨道绕太阳运行; (2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热; (3)一次函数是单调函数,函数 y=2x-1 是一次函数,所以 y=2x-1 是单调函数; (4)等差数列的通项公式具有形式 an=pn+q(p,q 是常数),数列 1,2,3…,n 是等差数 列,所以数列 1,2,3,…,n 的通项具有 an=pn+q 的形式. 解:(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,(大前提) 海王星是太阳系中的大行星,(小前提) 海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.(结论)
3 2

2

+ 2

.

8

(2)所有导体通电时发热,(大前提) 铁是导体,(小前提) 铁通电时发热.(结论) (3)一次函数都是单调函数,(大前提) 函数 y=2x-1 是一次函数,(小前提)

y=2x-1 是单调函数.(结论)
(4)等差数列的通项公式具有形式 an=pn+q(p,q 是常数),(大前提) 数列 1,2,3,…,n 是等差数列,(小前提) 数列 1,2,3,…,n 的通项具有 an=pn+q 的形式.(结论) 7.平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的,如:“长方形的每一边与其对边 平行,而与其余的边垂直”;“长方体的每一面与其相对面平行,而与其余的面垂直”,请 用类比法写出更多相似的命题.(写出三种即可) 解:(1)(平面)在平行四边形中,对角线互相平分; (立体)在平行六面体中,体对角线相交于同一点,且在这一点互相平分. (2)(平面)在平行四边形中,各对角线长的平方和等于各边长的平方和; (立体)在平行六面体中,各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和. (3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的 1/2; (立体)球体积等于球表面积与半径之积的 1/3. (4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的 2 倍; (立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的 3 倍. 8.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图 案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小 正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)写出 f(5)的值; (2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f(n+1)与 f(n)之间的关系式,并根据 你得到的关系式求出 f(n)的表达式; (3)求 1

f



1

f

+ -1 f

1

+…+ -1 f

1

n -1

的值.

9

解:(1)f(5)=41. (2)因为 f(2)-f(1)=4=4×1,

f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4,
… 由以上规律,可得出 f(n+1)-f(n)=4n, 因为 f(n+1)-f(n)=4n,所以 f(n+1)=f(n)+4n, 所以当 n≥2 时,

f(n)=f(n-1)+4(n-1)
=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =… =f[n-(n-1)]+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4[n-(n-1)] =2n -2n+1.
2

f(1)=1 也适合上式,故 f(u)=2n2-2n+1(n∈N*).
(3)当 n≥2 时,

f

= n -1 2n 1

1

1 n- 1

1 1? 1 - ? = ? ?, 2?n-1 n? + -1 f 1 +…+ -1 f 1

所以

f



f

n -1

1 1 1? 1 1 1 1 1 1? 1? 3 1 - ? =1+ ?1- + - + - +…+ =1+ ?1- ?= - . ? n-1 n? 2? 2 2 3 3 4 2? n? 2 2n

10


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