【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习课件:1-7-1第1讲 函数与方程思想、数形结合思想


第1讲 函数与方程思想、数形结合思想

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1.函数与方程思想
函数与方程是中学数学的重要概念,它们之间有着密切的联 系.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,主要体现在 依据题意,构造恰当的函数,或建立相应的方程来解决问 题,是历年高考的重点和热点. 方程的思想与函数的思想密切相关:方程 f(x)=0的解就是函 数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看

作二元方程 f(x) - y = 0 ,通过方程进行研究;方程 f(x) = a 有
解,当且仅当a属于函数f(x)的值域;函数与方程的这种相互 转化关系十分重要.
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函数与方程的思想在解题中的应用可从以下几个方面思考:
(1) 函数与不等式的相互转化,对函数 y =f(x) ,当 y> 0 时,就转 化为不等式 f(x) > 0 ,借助于函数的图象和性质可解决有关问 题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和公式是自变量为正整数的函数,用函数

的观点去处理数列问题十分重要,数列也可用方程思想求解.
(3)①解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解 决,这都涉及二次方程与二次函数的有关理论; ②立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运 用列方程或建立函数表达式的方法加以解决,建立空间直角坐 标系后,立体几何与函数的关系更加密切.
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2.数形结合思想 数形结合思想的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言

有机结合,达到抽象思维和形象思维的和谐统一.通过对规
范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精 确,从而使问题得到解决. 数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应 用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来

阐明数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如
应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的 精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手 段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几 何性质.
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在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:
(1)要彻底明白一些概念和运算法则的几何意义以及曲线的代数 特征,对题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数 意义; (2) 选择好突破口,恰当设参、合理用参,建立关系,由数思 形,以形想数,做好数形转化; (3)挖掘隐含条件,准确界定参数的取值范围,参数的范围决定

图形的范围.

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数形结合思想是重要的思维方式,在高考中占有非常重要的地 位.近几年的高考题中的曲线方程问题、函数与不等式问题、 参数范围问题、可行域与目标函数最值、向量两重性等,都用

到了数形结合的思想方法,它不仅是我们解题的一种思想方
法,还是我们进一步学习、研究数学的有力武器.

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热点一

函数与方程思想在解题中的应用 运用函数与方程思想解决函数、方程、不等

[微题型 1] 式问题

π 【例 1-1】 如果方程 cos x-sin x+a=0 在(0,2]上有解,求 a
2

的取值范围.

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法一

π 设 f(x)=-cos x+sin x(x∈(0,2]).
2

显然当且仅当 a 属于 f(x)的值域时,a=f(x)有解. 12 5 ∵f(x)=-(1-sin x)+sin x=(sin x+2) -4,
2

π 且由 x∈(0,2]知 sin x∈(0,1]. 易求得 f(x)的值域为(-1,1]. 故 a 的取值范围是(-1,1].

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法二

π 令 t=sin x,由 x∈(0,2],

可知 t∈(0,1]. 将方程变为 t2+t-1-a=0. 依题意,该方程在(0,1]上有解. 设 f(t)=t2+t-1-a. 1 其图象是开口向上的抛物线,对称轴 t=-2,如图所示.

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因此 f(t)=0

? ?f?0?<0, 在(0,1]上有解等价于? ? ? f?1?≥0.

? ?-1-a<0, 即? ? ?1-a≥0,

∴-1<a≤1.

故 a 的取值范围是(-1,1].

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探究提高 研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解
的问题,通常有两种处理思路:一是分离参数构建函数,将方 程有解转化为求函数的值域;二是换元,将复杂方程问题转化 为熟悉的二次方程,进而利用二次方程解的分布情况构建不等 式或构造函数加以解决.

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[微题型 2]

函数与方程思想在数列中的应用
?1? f(x)=?3?x, 等比数列{an}的前 ? ?

【例 1-2】 已知函数

n 项和为 f(n)

-c,则 an 的最小值为________.
解析 1 由题设,得 a1=f(1)-c=3-c;

2 a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-9; 2 a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-27,

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又数列{an}是等比数列,
?-2? 1 ? ? 2? ? ?2 ? ∴? =?3-c?×?-27?, ? ? ? ? ? ? 9 ?

∴c=1. a3 1 又∵公比 q=a =3, 2
?1? 2?1?n-1 所以 an=-3?3? =-2?3?n,n∈N*. ? ? ? ?

因此,数列{an}是递增数列, 2 ∴n=1 时,an 有最小值 a1=-3. 2 答案 -3
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规律方法

(1)等差、等比数列中,通项公式、前n项和公式,可

以看成n的函数,可以用函数方法解决. (2)数列求值问题的实质是解方程,所以,方程思想在数列问题

中也有着重要的应用.

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[微题型 3]

函数与方程思想在解析几何中的应用

x2 y2 【例 1-3】 已知椭圆 C 的方程是a2+b2=1(a>b>0),离心率 3 6 为 3 ,且经过点( 2 ,1). (1)求椭圆 C 的方程; (2)圆 O 的方程是 x2+y2=a2+b2,过圆 O 上任一点 P 作椭圆 C 的两条切线,若切线的斜率都存在,分别记为 k1,k2,求 k1· k2 的值.

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3 b2 1 2 2 2 (1)由 e= 3 ,得 1-a2=3,即 b =3a ,



6 x2 y2 将 x= 2 ,y=1 代入方程a2+b2=1 中, 3 1 得2a2+b2=1, 由①②解得 a2=3,b2=2, x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 3 + 2 =1. ②

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(2)设 P(x0,y0),过点 P 的切线方程为 y-y0=k(x-x0),
? ?y-y0=k?x-x0? 由? 2 2 ? 2 x + 3 y =6 ?

得,(2+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(kx0-y0)2-6

=0. ∵直线与椭圆相切,∴Δ=0, 即[6k(y0-kx0)]2-4(2+3k2)[3(kx0-y0)2-6]=0,
2 2 整理得(3-x2 0)k +2x0y0k+2-y0=0,

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∵椭圆 C 的两条切线的斜率分别为 k1,k2,
2 2-y0 ∴k1· k2 = 2, 3-x0

∵点 P 在圆 O 上,
2 2 2 ∴x2 + y = 5 ,即 y = 5 - x 0 0 0 0, 2 2 2-y0 2-?5-x2 x0 -3 0? ∴k1· k2 = = 2= 2=-1. 3-x0 3-x2 3 - x 0 0

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探究提高 考查直线与圆锥曲线相交时,往往要把直线方程与

圆锥曲线方程联立,经过消参等过程求解相关问题,充分体现
了函数与方程思想的应用.

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【训练1】 若a,b是正数,且满足ab=a+b+3,则ab的取值范

围为________.
解析 法一 (看成函数的值域) a+3 ∵ab=a+b+3,a≠1,∴b= . a-1 a+3 而 b>0,∴ >0. a-1 即 a>1 或 a<-3, 又 a>0,∴a>1,故 a-1>0.

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a+3 ?a-1?2+5?a-1?+4 ∴ab=a· = a-1 a-1 4 =(a-1)+ +5≥9. a-1 4 当且仅当 a-1= ,即 a=3 时取等号. a-1 ∴ab 的取值范围是[9,+∞).

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法二

若设 ab=t,则 a+b=t-3,

所以 a,b 可看成方程 x2-(t-3)x+t=0 的两个正根. ?Δ=?t-3?2-4t≥0, ? 从而有?a+b=t-3>0, ?ab=t>0, ? ?t≤1或t≥9, ? 即?t>3, ?t>0, ? 解得 t≥9,即 ab≥9. 所以 ab 的取值范围是[9,+∞).

答案 [9,+∞)
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热点二 数形结合思想在解题中的应用
[微题型1] 利用数形结合思想解决与函数性质有关的问题 【例2-1】 已知:函数f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1); ② x∈[ - 1,1] 时 , f(x) = x2 , 则 方 程 f(x) = lg x 解 的 个 数 是 ________.

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解析 由题意可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数,又
f(x)=lg x,则x∈(0,10],画出两函数图象,则交点个数即为解的 个数,由图象可知共9个交点.

答案 9

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探究提高 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对
数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方 法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数 的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数), 然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即 为方程解的个数.

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[微题型 2]

利用数形结合解决不等式或求参数范围

|lg x|?0<x≤10?, ? ? 【例 2-2】 已知函数 f(x)=? 1 - x+6?x>10?, ? ? 2 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围 是________.

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解析 a,b,c 互不相等,不妨设 a<b<c, ∵f(a)=f(b)=f(c), 如图所示,由图象可知,0<a<1, 1<b<10,10<c<12.

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∵f(a)=f(b), ∴|lg a|=|lg b|. 1 1 即 lg a=lgb,a=b. 则 ab=1. 所以 abc=c∈(10,12).

答案 (10,12)

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探究提高 求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象, 根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两 个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往往

可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.

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?x-y+1≤0, ? 【例 2-3】 (1)若实数 x,y 满足?x>0, ?y≤2, ? 是________.

y 则x的最小值

(2)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c) ≤0, 则|a+b-c|的最大值为 A. 2-1 C. 2 B.1 D.2 ( ).

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解析

(1)画可行域如图阴影部分所示.

y 又x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k. 由图知,过点 A 的直线 OA 的斜率最小.
? ?x-y+1=0, 联立? ? ?y=2



A(1,2). 2-0 y ∴kOA= =2.∴x的最小值为 2. 1-0

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(2)设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), 则 x2+y2=1, a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y), 则(a-c)· (b-c)=(1-x)(-x)+(-y)(1-y)=x2+y2-x-y=1-x -y≤0,即 x+y≥1, 又 a+b-c=(1-x,1-y), ∴|a+b-c|= ?1-x?2+?1-y?2 = ?x-1?2+?y-1?2, ①

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如图 c=(x,y)对应点在 距离,其最大值为 1. 上,而①式的几何意义为 P 点到 上点的

答案 (1)2 (2)B

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探究提高 在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三
点:①要彻底弄清一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数 特征,对数学题目中的条件和结论,既分析其几何意义又分析 其代数意义.②要恰当设立参数,合理建立关系,由数思形, 以形思数,做好数形转化.③要正确确定参数的取值范围.

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【训练 2-1】 已知函数

? π? f(x)=sin?2ωx+3?的相邻两条对称轴之 ? ?

π π 间的距离为4,将函数 f(x)的图象向右平移8个单位后,再将 所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 得到 g(x)的图象, 若 g( x) +k=0,在 是
? 1? A.?-∞,2? ? ? ? 1 1? C.?-2,2? ? ? ? 1? B.?-1,-2? ? ? ? 1 1? D.?-2,2?∪{-1} ? ? ? π? x∈?0,2?有且只有一个实数根,则 ? ?

k 的取值范围 ( ).

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解析

π 因为 f(x)相邻两条对称轴之间的距离为4,

T π 结合三角函数的图象可知2 =4.
? π? 2π π 又 T=2ω=ω,所以 ω=2,f(x)=sin?4x+3?. ? ?

π 将 f(x)的图象向右平移8个单位得到
? ? ? π? π? π? f(x)=sin?4?x-8?+3?=sin?4x-6?的图象, 再将所有点的横坐标伸 ? ? ? ? ? ?

长为原来的 2 倍得到

? π? g(x)=sin?2x-6?的图象. ? ?

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所以方程为

? π? sin?2x-6?+k=0. ? ?

? π? π π 5π ? ? 令 2x-6=t,因为 x∈ 0,2 ,所以-6≤t≤ 6 . ? ?

若 g(x)+k=0 在

? π? x∈?0,2?有且只有一个实数根, ? ? ? π 5π? 在?-6, 6 ?有且只有一个交点. ? ?

即 g(t)=sin t 与 y=-k

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如图所示,由正弦函数的图象可知 1 1 1 1 -2≤-k<2或-k=1,即-2<k≤2或 k=-1.

答案 D

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【训练2-2】 已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2, -1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的

坐标为________.

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解析

定点 Q(2,-1)在抛物线内部,由抛物线的定义知,动点

P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离,问题转化为当点 P 到点 Q 的距离和点 P 到抛物线的准线距离之和最小时,求点 P 的坐标,显然点 P 是直线 y=-1 和抛物线 y2=4x 的交点时,两 1 距离之和取最小值,解得这个点的坐标是(4,-1).

1 答案 (4,-1)
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1.在高中数学的各个部分,都有一些公式和定理,这些公式和
定理本身就是一个方程,如等差数列的通项公式、余弦定 理、解析几何的弦长公式等,当题目与这些问题有关时,就 需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量. 2.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之 间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要 使用函数思想.

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3.借助有关函数的性质,一是用来解决有关求值、解(证)不等
式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题,二是在问题求 解中,可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解. 4.在许多数学问题中,一般都含有常量、变量或参数,这些参 变量中必有一个处于突出的主导地位,把这个参变量称为主 元,构造出关于主元的方程,主元思想有利于回避多元的困 扰,解方程的实质就是分离参变量.

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5.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区
域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的 途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过 图形分析这些数量关系,达到解题的目的. 6.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要 对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的. 7.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不

需要精确图象.

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8.数形结合思想是解决高考数学试题的一种常用方法与技巧,
特别是在解选择题、填空题时更方便,可以提高解题速度. 9.数形结合思想常用模型:一次、二次函数图象;斜率公式; 两点间的距离公式(或向量的模、复数的模);点到直线的距 离公式等.

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