湖北省部分重点中学2012—2013学年度第二次联考理科数学试卷

湖北省部分重点中学 2012—2013 学年度第二次联考理科数学试卷
一、选择题: 1. 已知 x, y ? R, i 为虚数单位,且 ( x ? 2)i ? y ? 1 ? i ,则 (1 ? i ) 的值为 A.4 B. ?4 C. 4 ? 4i D. 2i 2. 不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的解集非空的一个必要而不充分条件是
2
x? y

A. a ? 1

B. a ? 1

C. 0 ? a ? 1

D. a ? 0

3. 现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动.若每个社区至少一名义工,则甲、乙两 人被分到不同社区的概率为 A. B. C. D.

4. 下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

? a 5. 已知数列 ?a n ?为等差数列,bn ? 为等比数列, 且满足: 1000 ? a1012 ? ? , 1b14 ? ?2 , tan 则 b
A.1 6. 已知 M ? A. C. B. -1 C.
?

a1 ? a 2011 ? 1 ? b7 b8

3 3

D.

3

开始 输入 M,N

?

1

0

1 ? x dx, N ? ? 2 cosxdx , 由如右程序框图输出的 S ?
2 0

1

B.

? 4

? 2
?1

M ?N




D.

S?N
输出 S 结束

S?M

?x ? 1 ? 7. 已知点 ( x, y )是不等式组 ? x ? y ? 4 表示的平面区域内的一个动点,且 ?ax ? by ? c ? 0 ?
目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 7,最小值为 1,则 A.2 B.

a?b?c 的值为 a

1 C. - 2 D.-1 2 x 8.设函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x) ,若 0 ? x ? 2012 ,则函数 f (x) 的各极大值之和为 ?
A.

e? (1 ? e1006? ) 1 ? e?

B.

e ? (1 ? e 2012? ) C. 1 ? e 2?

e? (1 ? e1006? ) 1 ? e 2?

D.

9.已知 O 是锐角三角形 ?ABC 的外接圆的圆心,且 ?A ? ? ,若

? ???? cos B ??? cos C ???? AB ? AC =2mAO ,则 m = sin C sin B
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e? (1 ? e 2012? ) 1 ? e?

B. cos ? C. tan ? D.不能确定 1 2 10.设抛物线 y = x 的焦点为 F , M 为抛物线上异于顶点的一点,且 M 在准线上的射影为点 M / ,则在 4 A. sin ?

?MM / F 的重心、外心和垂心中,有可能仍在此抛物线上的有
A.0 个 二、填空题: 11. 某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为 200 的样本.已知女 生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是 12. 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 R. , 为 . 人. B.1 个 C.2 个 D.3 个

, f (-1)=2 , 对 任 意 的 x ? R, f/ ( x) > 2 则 f ( x) > 2 + 的 解 集 x 4

x2 y 2 13.已知点 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点, F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点. I 为 a b

1 ?PF1 F2 内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? S?IF1F2 ,则双曲线的离心率为 2

. .

14. 设f:N*→N*, f (x) 是定义在正整数集上的增函数,且f(f(k))=3k,则f(2012)= 15. 在极坐标系中,直线 被圆 所截得的弦长是____

16. 如图所示,⊙O 的直径 AB=6cm,P 是 AB 的延长线上的一点,过 P 点 作⊙O 的切线,切点为 C,连接 AC,若 ?CPA ? 30? ,则 PC= 三、解答题: 17.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?



?

) ? sin(2 x ? ) ? 3 cos 2 x ? m ,若 f ( x) 的最大值为1 3 3

?

(1)求 m 的值,并求 f (x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边 a 、 b 、 c ,若 f ( B ) ? 3 ? 1 ,且 3a ? b ? c ,试判断三角形 的形状.

18.如图,所有棱长都为 2 的正三棱柱 BCD ? B C D ,四边形 ABCD 是菱形,其中 E 为 BD 的中点。
' ' '

(1) 求证: C E // 面AB D ;
' ' '

D'

C'

(2) 求面 AB' D' 与面ABD 所成锐二面角的余弦值; (3)求四棱锥 B'? ABCD 与 D'? ABCD 的公共部分体积。

B'

D
D

C
C

E A
E

B
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B

19.某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查,以计算每户 的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.若小区内有至少 75% 的 住户属于“低碳族”,则称这个小区为“低碳小区”,否则称为“非低碳小区” .已知备选的 5 个居民小区中有 三个非低碳小区,两个低碳小区. (Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率;

1 ,数据如图 1 所示,经过同学 2 们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低碳小区”的标
(Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A ,调查显示其“低碳族”的比例为 准?
频率 组距 0.30 0.25 0.20 0.15 0.05 频率 组距 0.46

0.23 0.14 0.10 0.07 1 2 3 4 5 6 月排放量 (百千克/户 户)

O

O

1

2

3

4

5

图1

图2

月排放量 (百千克/户 户)

20.有 n 个首项都是 1 的等差数列, 设第 m 个数列的第 k 项为 a mk( m, k ? 1,2,3,?, n, n ? 3 ) 公差为 d m , , 并且 a1n , a 2 n , a3n ,?, a nn 成等差数列. (1)证明 d m ? p1d1 ? p2 d 2 (3 ? m ? n, p1 , p2 是m的多项式) ,并求 p1 ? p 2 的值;

?d ? ( d , d , d ) (d , d , d , d , d ) (2)当 d1 ? 1, d 2 ? 3 时,将数列 m 分组如下: ( d 1 ) , 2 3 4 , 5 6 7 8 9 ,…(每组数
的个数构成等差数列).设前 m 组中所有数之和为
(c m ) 4



cm ? 0

c S ) ,求数列 ?2 d m ?的前 n 项和 n .
m

S (3)设 N 是不超过 20 的正整数,当 n ? N 时,对于(1)中的 n ,求使得不等式 50
的值.

1

( S n ? 6) ? d n

成立的所有 N

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21.若椭圆 E1 : 似比.

x2 y 2 x2 y 2 a b ? 2 ? 1 和椭圆 E2 : 2 ? 2 ? 1 满足 2 ? 2 ? m(m ? 0) ,则称这两个椭圆相似,m 是相 2 a1 b1 a2 b2 a1 b1

(Ⅰ)求过( 2, 6) 且与椭圆

x2 y2 ? ? 1 相似的椭圆的方程; 4 2

(Ⅱ)设过原点的一条射线 l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于 A, B 两点(点 A 在线段 OB 上). ①若 P 是线段 AB 上的一点,若 OA , OP , OB 成等比数列,求 P 点的轨迹方程; ②求 OA ? OB 的最 大值和最小值.

22.设函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数), g n ( x) ? 1 ? x ?
x

x 2 x3 xn ? ? ? ? ( n ?N* ) . 2! 3! n!

(1)证明: f ( x) ? g1 ( x ) ; (2)当 x ? 0 时,比较 f ( x) 与 g n ( x) 的大小,并说明理由; (3)证明: 1 ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? (
1 2 3

2 2

2 3

2 4

2 n . ) ? g n (1) ? e ( n ? N* ) n ?1

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湖北省部分重点中学 2012—2013 学年度第二次联考理科数学答案 一、 二、 DBBDD CCBAB11.760 17. 12. 1, ) 13.2 ( +? 14.3849 15. 4 3 16. 3 3

18. 解:(1)证明如图取 B' D' 的中点为 F ,连 AF,C’F,易得 AFC’F 为 平行四边形。 ? AF // C' E ,又 AF ? 面AB D ? C E // 面AB D
‘ ’ ' '
0

'

..4 分

(2)解:因 ABCD 为菱形,且 ?DCB ? 60 ,取 BC 中点为 G 易得 AD, DG,DD’ 相互垂直,故分别 以之为 x,y,z 轴建立坐标系如图。由棱长为 2 得 A(2,0,0), B' (1, 3 ,2), D' (0,0,2) 进而得面 ADD' 的一个法 向量为 (1,?

3 ,1) ,又面 ABD 的法向量为(0,0,1)所以面 AB' D' 与面ABD 所成锐二面角的余弦值 3

cos? ?

(1,?

3 ,1) ? (0,0,1) 21 3 ? 7 21 3

另:不建系证得 ?C' EC 即为二面角的平面角,再由线段长算得值亦可给分。……9 分 (3)设 B’D 与 BD 的交点为 O ,由图得四棱锥 B'? ABCD 与 D'? ABCD 的公共部分为四棱 锥 O-ABCD,且 O 到下底面的距离为 1, S ABCD ? 2 ? 所以公共部分的体积为 ? 2 3 ? 1 ?

1 ? 2 ? 2 sin 60 0 ? 2 3 2
……………12 分 …2 分

1 3

2 3 。 3

19. 解: (Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为 m, n,

用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ? ? A, B, C , m, n? ,则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是 ( A, B) , ( A, C ) , ( A, m) , ( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n) 5分
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, (C, m) , (C , n) , (m, n) .

用 D 表示:“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果有 6 个,它们,是: ( A, m) ,

( A, n) , ( B, m) , ( B, n) , (C, m) , (C , n) .
故所求概率为 P( D) ?

…7 分 ……8 分 ……10 分

6 3 ? . 10 5

(II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”.

由图 2 可知, 三个月后的低碳族的比例为 0.07 ? 0.23 ? 0.46 ? 0.76 ? 0.75 , 所以三个月后小区 A 达到了“低 碳小区”标准. 20. 解:(1)由题意知 a mn ? 1 ? (n ? 1)d m . …… 12 分

a2 n ? a1n ? ?1 ? (n ? 1)d 2 ? ? ?1 ? (n ? 1)d1 ? ? (n ? 1)( d 2 ? d1 ) ,
同理, a3n ? a 2 n ? (n ? 1)( d 3 ? d 2 ) , a 4 n ? a3n ? (n ? 1)( d 4 ? d 3 ) ,…,

a nn ? a( n ?1) n ? (n ? 1)( d n ? d n ?1 ) .
又因为 a1n , a 2 n , a3n ,?, a nn 成等差数列,所以 a2 n ? a1n = a3n ? a2 n =…= ann ? a( n ?1) n 故 d 2 ? d1 ? d 3 ? d 2 ? ? ? d n ? d n ?1 , 即 ?d n ?是公差为 d 2 ? d1 的等差数列. 所以 d m ? d1 ? (m ? 1)( d 2 ? d1 ) ? (2 ? m)d1 ? (m ? 1)d 2 . 令 p1 ? 2 ? m, p2 ? m ? 1, 则 d m ? p1 d1 ? p 2 d 2 此时 p1 ? p 2 =1.
* (2) 当 d1 ? 1, d 2 ? 3 时, d m ? 2m ? 1(m ? N )

数列 ?d m ?分组如下: ( d 1 ) , (d 2 , d 3 , d 4 ) , (d 5 , d 6 , d 7 , d 8 , d 9 ) ,… 按分组规律,第 m 组中有 2m ? 1 个奇数, 所以第 1 组到第 m 组共有 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2m ? 1) ? m 个奇数.
2

注意到前 k 个奇数的和为 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2k ? 1) ? k ,
2

所以前 m 2 个奇数的和为 (m ) ? m .
2 2 4
4 4 即前 m 组中所有数之和为 m 4 ,所以 (c m ) ? m . m * 因为 c m ? 0, 所以 c m ? m ,从而 2 m d m ? (2m ? 1) ? 2 (m ? N ). c 2 3 4 n ?1 n 所以 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? 7 ? 2 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 .

2S n ? 1 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? 5 ? 2 4 ? 7 ? 2 5 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

第 - 6 - 页 共 10 页

故 ? S n ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? 2 ? 2 4 ? ? ? 2 ? 2 n ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

? 2(2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ) ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 n?1

? 2?

2(2 n ? 1) ? 2 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? (3 ? 2n)2 n ?1 ? 6 . 2 ?1

所以 S n ? (2n ? 3)2 n ?1 ? 6 . (3)由(2)得 d n ? 2n ? 1(n ? N * ) , S n ? (2n ? 3)2 n ?1 ? 6 (n ? N ) .
*

故不等式

1 ( S n ? 6) ? d n 就是 (2n ? 3)2 n?1 ? 50(2n ? 1) . 50
n ?1

考虑函数 f ( x) ? (2n ? 3)2

? 50(2n ? 1) ? (2n ? 3)( 2 n?1 ? 50) ? 100 .
n ?1

当 n ? 1,2,3,4,5 时,都有 f (n) ? 0 ,即 (2n ? 3)2 而 f (6) ? 9(128 ? 50) ? 100 ? 602 ? 0 ,

? 50(2n ? 1) .

注意到当 n ? 6 时, f (n) 单调递增,故有 f (n) ? 0 . 因此,当 n ? 6 时, (2n ? 3)2
n ?1

? 50(2n ? 1) 成立,即

1 ( S n ? 6) ? d n 成立. 50

所以,满足条件的所有正整数 N= 5,6,7,?,20 .

21. 解:(Ⅰ)设与

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 相似的椭圆的方程 2 ? 2 ? 1 . a b 4 2

?2 2 ? ? x2 y2 ? 2 2 b ? ? 1. 则有 ? a 解得 a ? 16, b ? 8 ,所求方程是 16 8 4 6 ? ? ?1 ? a 2 b2 ?
(Ⅱ) ① 当射线 l 的斜率不存在时 A(0, ? 2), B(0, ?2 2) ,设点 P 坐标 P(0, y0 ) ,则 y0 ? 4 , y0 ? ?2 .即
2

P(0, ?2 ).

? y1 ? kx1 ? 当 射 线 l 的 斜 率 存 在 时 , 设 其 方 程 y ? kx ,P( x, y ) , 由 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 ? x 2 y 2 1 1 ?1 ? ? ?4 2



4 ? 2 ? x1 ? 1 ? 2k 2 ? ? 2 ? y 2 ? 4k ? 1 1 ? 2k 2 ?

?| OA |?

2 1? k 2 1 ? 2k 2

同理 | OB |?

4 1? k 2 1 ? 2k 2

第 - 7 - 页 共 10 页

y2 ) 2 2 8(1 ? k ) y 2 2 x 2 ? 8( x ? y ) , 又点 P 在 l 上,则 k ? ,且由 x ? y ? ? y2 x 1 ? 2k 2 x2 ? 2 y 2 1? 2 2 x
2

8(1 ?

即所求方程是

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 .又? (0, ?2 )适合方程,故所求椭圆的方程是 ? ? 1. 8 4 8 4
2 ?2 2 ? 4 , 当 l 的 斜 率 存 在 时 ,

② 由 ① 可 知 , 当 l 的 斜 率 不 存 在 时 , OA ? OB ?

OA ? OB ?

8 1 ? b2 4 , ∴ 4 ? OA ? OB ? 8 ? 4? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?

?

综上 OA ? OB 的最大值是 8,最小值是 4. 22. 【考查目的】本题考查函数与导数、数学归纳法、不等式等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证 能、运算求解能力和创新意识,考查函数与方程思想、转化与化归思想
x x 解: (1)证明:设 ?1 ( x) ? f ( x) ? g1 ( x) ? e ? x ? 1 ,所以 ?1? ( x ) ? e ? 1 …………1 分

当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 . 即函数 ?1 ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增,在 x ? 0 处取得唯一极小值,…2 分 因为 ?1 (0) ? 0 ,所以对任意实数 x 均有 ?1 ( x)≥?1 (0) ? 0 .即 f ( x) ? g1 ( x)≥0 , 所以 f ( x) ≥g1 ( x ) ………………………………………………………………3 分 (2)解:当 x ? 0 时, f ( x) ? g n ( x) .用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由(1)知 f ( x) ? g1 ( x ) 。
* ②假设当 n ? k ( k ?N )时,对任意 x ? 0 均有 f ( x) ? g k ( x) ,………………5 分

令 ?k ( x) ? f ( x) ? g k ( x) , ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? g k ?1 ( x) ,

? 因为对任意的正实数 x , ? k ?1? ( x) ? f ? ? x ? ? g k ?1 ? x ? ? f ( x ) ? g k ( x ) ,
由归纳假设知, ? k ?1? ( x ) ? f ( x ) ? g k ( x ) ? 0 .………………………………………6 分 即 ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? g k ?1 ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,亦即 ?k ?1 ( x) ? ?k ?1 (0) , 因为 ?k ?1 (0) ? 0 ,所以 ?k ?1 ( x) ? 0 .从而对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? g k ?1 ( x) ? 0 . 即对任意 x ? 0 , f ( ) ? 有 x g
k ?1

() x

. 这就是说, n ? k ? 1 时, 当 对任意 x ? 0 , 也有 f ( x) ? g k ?1 ( x ) . 由

①、②知,当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? g n ( x) .……………8 分
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(2)证明 1:先证对任意正整数 n , g n ?1? ? e . 由(2)知,当 x ? 0 时,对任意正整数 n ,都有 f ( x) ? g n ( x) .令 x ? 1 ,得 g n ?1? ? f ?1? = e .所以

g n ?1? ? e .…………………………………………………………………9 分
再证对任意正整数 n ,

1 1 1 ? 2? ? 2? ? 2? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? g n ?1? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? . 2! 3! n! ? 2? ? 3? ? 4? ? n ?1?
1 ? 2 ? 要证明上式,只需证明对任意正整数 n ,不等式 ? ? ? 成立. n! ? n ?1?
即要证明对任意正整数 n ,不等式 n ! ? ?
n

1

2

3

n

? n ?1 ? ? (*)成立……………………10 分 ? 2 ?
n

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*) : 方法 1(数学归纳法) :

? 1?1? ①当 n ? 1 时, 1! ? ? ? 成立,所以不等式(*)成立. ? 2 ?
1

? k ?1? ②假设当 n ? k ( k ?N )时,不等式(*)成立,即 k ! ? ? ? .……………11 分 ? 2 ?
k

*

则 ? k ? 1? ! ? ? k ? 1? k ! ? ? k ? 1? ?
k ?1

? k ?1 ? ? k ?1? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ?
k

k ?1



?k ?2? k ?1 k ?1 k ?1 因为 ? 2 ? 1 ? ? ? ? k ? 2 ? ? ?1 ? 1 ? ? C0 ? C1 k ? 1 ? ? ? ? C k ?1 ? k ?1 k ?1 ?1 ? ? ? ? ? ?2 k ?1 k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1 ? ? k ?1? ? k ?1 ? ? ? ? 2 ?

? k ?1? 所以 ? k ? 1? ! ? 2 ? ? ? 2 ?

k ?1

?k ?2? ?? ? ? 2 ?

k ?1

.………………………………………13 分

这说明当 n ? k ? 1 时,不等式(*)也成立.由①、②知,对任意正整数 n ,不等式(*)都成立.

?2? ? 2? ? 2? ? 2 ? 综上可知,对任意正整数 n , 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g n ?1? ? e 成立 …14 分 ?2? ? 3? ? 4? ? n ?1?

1

2

3

n

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