北师大版高中必修四第一章《三角函数》同步测试题(含答案)


第一章同步测试题
班别: 姓名: 成绩: 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.集合 M={x|x=sin A.{-1,0,1} C.{0}


3

,n∈Z},N={x|x=cos


2

,n∈Z},则 M∩N 等于(

)

B.{0,1} D.?

2.若点 A(x,y)是 600°角终边上异于原点的一点,则 的值是( A. 3 3 B.- 3 3

y x

)

C. 3

D.- 3 )

3.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cosα =( 4 A. 5 3 C.- 5 4.下列说法中错误的是( ) 3 B. 5 4 D.- 5

π? ? A.y=cosx 在?2kπ ,2kπ + ?(k∈Z)上是减函数 2? ? B.y=cosx 在[-π ,0]上是增函数 C.y=cosx 在第一象限是减函数

?π ? D.y=sinx 和 y=cosx 在? ,π ?上都是减函数 ?2 ?
2π 2π 5.已知角 α 的终边上一点的坐标为(sin ,cos ),则角 α 的最小正值为( 3 3 5π A. 6 5π C. 3 2π B. 3 11π D. 6 )

π 6.已知函数 y=Asin(ω x+φ )+m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 2

x= 是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是(
π A.y=4sin(4x+ ) 6

π 3

)

π B.y=2sin(2x+ )+2 3

π C.y=2sin(4x+ )+2 3

π D.y=2sin(4x+ )+2 6 )

2 ?π ? 7.已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )的图像如图所示,f? ?=- ,则 f(0)=( 2 3 ? ?

2 A.- 3 1 C.- 2

2 B. 3 1 D. 2 )

π π 8. 将函数 y=3sin(2x+ )的图像向右平移 个单位长度, 所得图像对应的函数( 3 2 π 7π A.在区间[ , ]上单调递减 12 12 π π C.在区间[- , ]上单调递减 6 3 π 7π B.在区间[ , ]上单调递增 12 12 π π D.在区间[- , ]上单调递增 6 3 )

sinx+1 9.对于函数 y=f(x)= (0<x<π ),下列结论正确的是( sinx A.有最大值无最小值 C.有最大值且有最小值 B.有最小值无最大值

D.既无最大值又无最小值

π 10.已知函数 f(x)=sin(2x+φ ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f( )|对 x∈R 恒成立, 6 π 且 f( )>f(π ),则 f(x)的单调递增区间是( 2 π π A.[kπ - ,kπ + ](k∈Z) 3 6 π 2π C.[kπ + ,kπ + ](k∈Z) 6 3 ) π B.[kπ ,kπ + ](k∈Z) 2 π D.[kπ - ,kπ ](k∈Z) 2

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 2sinα -3cosα 2sin α -3cos α 11.若 tanα =2,则 =________; =________. 2 2 4sinα -9cosα 4sin α -9cos α
2 2

12.已知函数 f(x)=asin3x+btanx+1 满足 f(5)=7,则 f(-5)=________. 5 2π 13 .函数 y =- sin(4x + ) 的图像与 x 轴的各个交点中,离原点最近的一点是 2 3

________. 14.函数 f(x)=lg(2cosx- 3)的单调增区间为____________. π? ? 15.关于函数 f(x)=4sin?2x- ?(x∈R),有下列命题: 3? ?

? 4 ? (1)y=f?x+ π ?为偶函数; ? 3 ?
π (2)要得到函数 g(x)=-4sin2x 的图像,只需将 f(x)的图像向右平移 个单位长度; 3 π (3)y=f(x)的图像关于直线 x=- 对称; 12 5 ? ?11 ? ? (4)y= f(x) 在[0,2π ]内的增区间为?0, π ?和? π ,2π ? . 其中正确命题的序号为 12 12 ? ? ? ? ________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 16.(本小题满分 12 分)

?π ? 3 2 2cos θ -cos ?2π -θ ?+sin? +θ ?-2 ?2 ? 设 f(θ )= , 2 2+2cos ?π +θ ?+cos?-θ ? ?π ? 求 f? ?的值. ?3?
π 17.(本小题满分 12 分)设 f(x)=2 3cos(2x+ )+3. 6 (1)求 f(x)的最大值及单调递减区间. 4 (2)若锐角 α 满足 f(α )=3-2 3,求 tan α 的值. 5 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,x∈R)在一个周期 内的图像如图所示,求直线 y= 3与函数 f(x)图像的所有交点的坐标.

π 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lgsin( -2x). 3 (1)求 f(x)的定义域及值域; (2)求 f(x)的单调增区间. π 20.(本小题满分 13 分)函数 f1(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的一段图像 2

过点(0,1),如图所示.

(1)求函数 f1(x)的表达式; π (2)将函数 y=f1(x)的图像向右平移 个单位,得函数 y=f2(x)的图像,求 y=f2(x)的 4 最大值,并求出此时自变量 x 的集合,并写出该函数的增区间. π 21.(本小题满分 14 分)已知曲线 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )上的一个最 2 π 3 高点的坐标为( , 2),此点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点( π ,0). 8 8 (1)求出此函数的解析式并求出此函数的单调递增区间; π (2)设 g(x)=f(x+ )是偶函数,证明:g(x)是偶函数. 8

参考答案
1.C 2.C 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B 8.B 9.B. 10.C 11.[答案] -1 [解析]
2

5 7

2sinα -3cosα 2tanα -3 2×2-3 = = =-1; 4sinα -9cosα 4tanα -9 4×2-9
2 2

2sin α -3cos α 2tan α -3 2×4-3 5 = = = . 2 2 2 4sin α -9cos α 4tan α -9 4×4-9 7 12.[答案] -5

[解析] 易知 f(5)+f(-5)=2,∴f(-5)=-5. π 13.[答案] ( ,0) 12 2π kπ π [解析] 由 4x+ =kπ ,k∈Z,得 x= - ,k∈Z. 3 4 6

k=0 时,x=- ;k=1 时,x= .
π 所以离原点最近的点是( ,0). 12 π 14.[答案] (2kπ - ,2kπ ],(k∈Z) 6 [解析] 2cosx- 3>0 即 cosx> 15.[答案] (2)(3) 8 π? 7 ? 4 ? ? ? [解析] (1)f?x+ π ?=4sin?2x+ π - ?=4sin?2x+ π 3 3? 3 ? 3 ? ? ? 3 .由图像观察 2

π 6

π 12

?,所以 y=f?x+4π ?不是 ? ? 3 ? ? ? ?

π? π ? 偶函数,所以(1)不正确;(2)把函数 f(x)=4sin?2x- ?的图像向右平移 个单位长度, 3? 3 ?

? ? π? π? 得到函数 f1(x)=4sin?2?x- ?- ?=4sin(2x-π )=-4sin2x=g(x)的图像, 所以(2)正 3? 3? ? ?
π π π π 确; (3)当 x=- 时, f(x)取得最小值, 所以(3)正确; (4)由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + , 12 2 3 2 π 5 得 kπ - ≤x≤kπ + π ,k∈Z,代入 k=0,1,可知(4)错误.故选(2)(3). 12 12

kπ - <x≤2kπ ,k∈Z 时,为增函数.
2cos θ -cos θ +cosθ -2 16.[解析] f(θ )= 2 2+2cos θ +cosθ = 2?cos θ -1?-?cos θ -cosθ ? 2 2+2cos θ +cosθ
2 3 2 3 2

π 6

?cosθ -1??2cos θ +cosθ +2? = =cosθ -1. 2 2+2cos θ +cosθ π 1 1 ?π ? 所以 f? ?=cos -1= -1=- . 3 2 2 ?3? 17.[解析] (1)f(x)的最大值为 2 3+3. π π 5π 令 2kπ ≤2x+ ≤2kπ +π ,得 kπ - ≤x≤kπ + , 6 12 12 π 5π ∴函数 f(x)的单调递减区间是[kπ - ,kπ + ](k∈Z). 12 12

π π (2)由 f(α )=3-2 3,得 2 3cos(2α + )+3=3-2 3,故 cos(2α + )=-1. 6 6 π π π π 又由 0<α < ,得 <2α + <π + , 2 6 6 6 π 5 故 2α + =π .解得 α = π . 6 12 4 π 从而 tan α =tan = 3. 5 3 2π 18.[解析] 由图可知,函数 f(x)的 A=2,T= =4π , ω 1 ∴ω = , 2

?1 ? ?π ? 此时 f(x)=2sin? x+φ ?,又 f? ?=2, ?2 ? ?2?
得 sin?

?π +φ ?=1,∴φ =2nπ +π ,n∈Z, ? 4 ?4 ?

π? ?1 ∴f(x)=2sin? x+2nπ + ?, 4? ?2

?1 π ? 即 f(x)=2sin? x+ ? 4? ?2 ?1 π ? 当 f(x)= 3,即 2sin? x+ ?= 3, 4? ?2
3 ?1 π ? 即 sin? x+ ?= 2 4 ? ? 2 1 π π 1 π 2π ∴ x+ =2kπ + 或 x+ =2kπ + ,k∈Z 2 4 3 2 4 3 π 5π ∴x=4kπ + 或 x=4kπ + ,k∈Z 6 6 π 5π ? ? ? ? ∴所求交点的坐标为?4kπ + , 3?或?4kπ + , 3?,其中 k∈Z. 6 6 ? ? ? ? π π 19.[解析] (1)由 sin( -2x)>0 得 sin(2x- )<0, 3 3 π ∴2kπ -π <2x- <2kπ (k∈Z), 3 2π π ∴2kπ - <2x<2kπ + (k∈Z), 3 3 π π ∴kπ - <x<kπ + (k∈Z), 3 6 π π 即 f(x)的定义域为(kπ - ,kπ + )(k∈Z). 3 6

π ∵0<sin( -2x)≤1,∴f(x)≤0, 3 即 f(x)的值域为(-∞,0]. (2)∵10>1, π π ∴求 f(x)的单调增区间即求 sin( -2x)的单调增区间, 即求 sin(2x- )的单调减区 3 3 间. π π ? ?kπ - 3 <x<kπ + 6 ?k∈Z?, 由? π π 3π 2kπ + <2x- <2kπ + ?k∈Z?, ? ? 2 3 2 2π 11π 得 kπ + <x<kπ + (k∈Z). 3 12 2π 11π ∴函数的单调增区间为(kπ + ,kπ + )(k∈Z). 3 12 2π 20.[解析] (1)由题图知,T=π ,于是 ω = =2.

T

π 将 y=Asin2x 的图像向左平移 , 12 π π 得 y=Asin(2x+φ )的图像,于是 φ =2× = . 12 6 π? ? 将(0,1)代入 y=Asin?2x+ ?,得 A=2. 6? ? π? ? 故 f1(x)=2sin?2x+ ?. 6? ?

? ? π? π? (2)依题意,f2(x)=2sin?2?x- ?+ ? 4? 6? ? ?
π? ? =-2cos?2x+ ?. 6? ? ∴y=f2(x)的最大值为 2. π 当 2x+ =2kπ +π (k∈Z), 6 5π 即 x=kπ + (k∈Z)时,ymax=2, 12

x 的取值集合为?x|x=kπ +
?

?

? 5π ,k∈Z?. 12 ?

∵y=cosx 的减区间为 x∈[2kπ ,2kπ +π ],k∈Z, π ∴f2(x)=-2cos(2x+ )的增区间为 6

π {x|2kπ ≤2x+ ≤2kπ +π ,k∈Z}, 6 π 5π 解得{x|kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z}, 12 12 π ∴f2(x)=-2cos(2x+ )的增区间为 6

x∈[kπ - ,kπ +

π 12

5π ],k∈Z. 12

T 3π π π 21.[解析] (1)由已知: = - = , 4 8 8 4
2π ∴T=π = ,∴ω =2. ω

?π ? 又由最高点坐标为? , 2?知:A= 2, ?8 ? ?π ? ?π ∴y= 2sin(2x+φ ),代入点? , 2?,得 sin? +φ ?8 ? ?4
∴ π π π +φ = +2kπ ,k∈Z,即 φ = +2kπ ,k∈Z, 4 2 4

?=1, ? ?

π? π π ? ∴|φ |< ,∴φ = ,∴y= 2sin?2x+ ?. 4? 2 4 ? π π π 由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z 得 2 4 2 - 3π π +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 8 8

π ? 3π ? ∴函数 y 的单调递增区间为?- +kπ , +kπ ?,k∈Z. 8 ? 8 ? π π π (2)g(x)=f(x+ )= 2sin[2(x+ )+ ] 8 8 4 π = 2sin(2x+ )= 2cos2x. 2 ∵g(-x)= 2cos(-2x)= 2cos2x=g(x), 定义域为 R, ∴g(x)是 R 上的偶函数.


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