【创新设计】2015-2016学年高中数学 2.3.2双曲线的简单几何性质课时作业 新人教A版选修2-1

2.3.2

双曲线的简单几何性质

课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3. 掌握直线与双曲线的位置关系.

1.双曲线的几何性质 x y 2- 2=1 a b (a>0,b>0)
2 2

标准方程

y x 2- 2=1 a b (a>0,b>0)

2

2

图形

焦点 焦距 范围 性 对称性 质 顶点 轴长 实轴长=____,虚轴长=____ 离心率 渐近线 2.直线与双曲线 一般地,设直线 l:y=kx+m (m≠0)① 2 2 x y 双曲线 C: 2- 2=1 (a>0,b>0)② a b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 把①代入②得(b -a k )x -2a mkx-a m -a b =0. b 2 2 2 (1)当 b -a k =0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线 C 相交 a 于________. b 2 2 2 (2)当 b -a k ≠0,即 k≠± 时, a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Δ =(-2a mk) -4(b -a k )(-a m -a b ). Δ >0? 直线与双曲线有________公共点,此时称直线与双曲线相交; Δ =0? 直线与双曲线有________公共点,此时称直线与双曲线相切; Δ <0? 直线与双曲线________公共点,此时称直线与双曲线相离.

一、选择题 1.下列曲线中离心率为 x y 2 4 2 2 x y C. - =1 4 6
2 2

6 的是( 2

) x y 4 2 2 2 x y D. - = 1 4 10
2 2

A. - =1

B. - =1

1

x y 2.双曲线 - =1 的渐近线方程是( ) 25 4 2 5 A.y=± x B.y=± x 5 2 4 25 C.y=± x D.y=± x 25 4 3.双曲线与椭圆 4x +y =1 有相同的焦点,它的一条渐近线方程为 y= 2x,则双曲线 的方程为( ) 2 2 A.2x -4y =1 B.2x2-4y2=2 C.2y2-4x2=1 D.2y2-4x2=3 2 2 x y 4.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为 a b ( ) A.y=± 2x B.y=±2x 2 1 C.y=± x D.y=± x 2 2 5.直线 l 过点( 2,0)且与双曲线 x -y =2 仅有一个公共点,则这样的直线有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2 2 x y 6.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支 a b 上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为( ) 4 5 7 A . B C. 2 D . 3 3 3 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 2 2 5 x y 7.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线 2- 2=1 的 2 a b 离心率 e=______. 8.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,且 a=10,c-b=6,则顶点 A 运动的轨迹方程是________________. 2 2 x y 9 .与双曲线 - = 1 有共同的渐近线,并且经过点 ( - 3 , 2 3) 的双曲线方程为 9 16 __________. 三、解答题 10.根据下列条件,求双曲线的标准方程. ?15 ? (1)经过点? ,3?,且一条渐近线为 4x+3y=0; ?4 ? π (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为 . 3
2 2 2 2

2

2

2

y 11.设双曲线 x - =1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2),求直线 AB 的方程. 2
2

2

能力提升 12.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐 近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 3+1 5+1 C. D. 2 2 2 x 2 13.设双曲线 C: 2-y =1 (a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A、B. a (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围;

3

x y 1. 双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)既关于坐标轴对称, 又关于坐标原点对称; 其顶点为(±a, a b 0),实轴长为 2a,虚轴长为 2b;其上任一点 P(x,y)的横坐标均满足|x|≥a. c b 2 2 2 2 2.双曲线的离心率 e= 的取值范围是(1,+∞),其中 c =a +b ,且 = e -1,离心 a a 率 e 越大,双曲线的开口越大.可以通过 a、b、c 的关系,列方程或不等式求离心率的 值或范围. 2 2 2 2 x y b x y 3.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,也可记为 2- 2=0;与双曲 a b a a b 2 2 2 2 x y x y 线 2- 2=1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 2- 2=λ (λ ≠0). a b a b 2.3.2 知识梳理 1. 标准方程 双曲线的简单几何性质

2

2

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

性 质

焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 离心率 渐近线

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c)

|F1F2|=2c x≥a 或 x≤-a,y∈R y≥a 或 y≤-a,x∈R 关于 x 轴、y 轴和原点对称 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 实轴长=2a,虚轴长=2b c e= (e>1) a b a y=± x y=± x a b

2.(1)一点 (2)两个 一个 没有 作业设计 6 c2 3 b2 1 2 1.B [∵e= ,∴e = 2= ,∴ 2= ,故选 B.] 2 a 2 a 2 2.A

4

3.C [由于椭圆 4x +y =1 的焦点坐标为?0,±
2 2

? ?

3? ?, 2?

a 3? 2 2 ?,又由渐近线方程为 y= 2x,得b= 2,即 a =2b , 2? 1 2 1 ? 3?2 2 2 2 2 又由? ? =a +b ,得 a = ,b = ,又由于焦点在 y 轴上,因此双曲线的方程为 2y 2 4 ?2? 2 -4x =1.故选 C.] 4.C [由题意知,2b=2,2c=2 3,则 b=1,c= 3,a= 2;双曲线的渐近线方程为 2 y =± x.] 2
则双曲线的焦点坐标为?0,± 5.C [点( 2,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双 曲线仅有一个公共点,另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点.] 6.B [||PF1|-|PF2||=2a,即 3|PF2|=2a, 2a 所以|PF2|= ≥c-a,即 2a≥3c-3a,即 5a≥3c, 3 c 5 则 ≤ .] a 3 13 3 解析 a+b=5,ab=6,解得 a,b 的值为 2 或 3. c 13 又 a>b,∴a=3,b=2.∴c= 13,从而 e= = . a 3 7. 8. - =1(x>3) 9 16 解析 以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点为原点建立直角坐标系,则 B(-5,0),C(5,0), 而|AB|-|AC|=6<10.故 A 点的轨迹是双曲线的右支,其方程为 - =1(x>3). 9 16 9. - =1 9 4 4 解析 ∵所求双曲线与双曲线 - =1 有相同的渐近线, ∴可设所求双曲线的方程为 9 16 9 - =λ (λ ≠0).∵点(-3,2 3)在双曲线上, 16
2 2

? ?

x2

y2

x2

y2

x2 y2

x2

y2

x2

y2

?-3? ?2 3? 1 ∴λ = - = . 9 16 4 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 9 4 4 15 ?15 ? 10.解 (1)因直线 x= 与渐近线 4x+3y=0 的交点坐标为? ,-5?,而 3<|-5|,故 4 ?4 ?

x2 y2

x2 y2 双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为 2- 2=1,由 a b

? - =1, ?b a 4 b ?a =???3??? ,
2 2 2 2 2

?15?2 ?4? ? ? 32

5

?a =9, ? 解得? 2 ?b =16. ?

2

故所求的双曲线方程为 - =1. 9 16

x2

y2

(2)设 F1、F2 为双曲线的两个焦点.依题意,它的焦点在 x 轴上. 因为 PF1⊥PF2,且|OP|=6, 所以 2c=|F1F2|=2|OP|=12,所以 c=6. π 又 P 与两顶点连线夹角为 , 3 π 2 2 2 所以 a=|OP|·tan =2 3,所以 b =c -a =24. 6 故所求的双曲线方程为 - =1. 12 24 11.解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB 的方程为 y-2=k(x-1),

x2

y2

y=kx+2-k ? ? 即 y=kx+2-k,由? 2 y2 x - =1 ? 2 ?
得(2-k )x -2k(2-k)x-k +4k-6=0, 当 Δ >0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2 k?2-k? 则 1= = , 2 2 2-k ∴k=1,满足 Δ >0,∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 方法二 (用点差法解决)
2 2 2

? ?x - 2 =1 设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? y ? ?x - 2 =1
2 1 1 1 2 2 2 2 2 2

y2 1



1 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2). 2 y1-y2 2?x1+x2? ∵x1≠x2,∴ = , x1-x2 y1+y2 2×1×2 ∴kAB= =1,∴直线 AB 的方程为 y=x+1, 2×2 代入 x - =1 满足 Δ >0. 2 ∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 12.
2

y2

D

[设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线方程为 y=

x2 y2 a b b c

b a

x,
而 kBF=- ,∴ ·(- )=-1,整理得 b =ac.
6

b c

b a

2

∴c -a -ac=0,两边同除以 a ,得 e -e-1=0, 1+ 5 1- 5 解得 e= 或 e= (舍去),故选 D.] 2 2

2

2

2

2

x ? ? 2-y2=1, 13. 解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得?a ? ?x+y=1
解, 2 2 2 2 消去 y 并整理得(1-a )x +2a x-2a =0,①
? ?1-a ≠0, ∴? 4 2 2 ?Δ =4a +8a ?1-a ?>0, ?
2

2

有两个不同的

解得- 2<a< 2且 a≠±1. 又∵a>0,∴0<a< 2且 a≠1. 2 1+a ∵双曲线的离心率 e= =

1

a

a2

+1,

6 且 e≠ 2. 2 ∴双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ? 6 ? ? , 2?∪( 2,+∞). ?2 ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1). ∴0<a< 2,且 a≠1,∴e> 5 ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1), 12 5 由此可得 x1= x2.∵x1,x2 都是方程①的根, 12 2 17 2a 2 且 1-a ≠0,∴x1+x2= x2=- 2, 12 1-a 2 2 5 2a 2a 289 x1x2= x2 , 2=- 2,消去 x2 得- 2= 12 1- a 1-a 60 289 17 2 即 a = .又∵a>0,∴a= . 169 13

7


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