河南省沁阳市2013年高三一模考试训练文科数学试卷(一)


沁阳市 2013 年高三一模考前训练 文科数学(一)
说明:本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.
2 1.集合 M ? { x | lg x ? 0} , N ? { x | x ? 4} ,则 M ? N ? (

) D. [1, 2 ] )

A. (1, 2 )

B. [1, 2 )

C. (1, 2 ]

2.若复数 (1 ? b i )( 2 ? i ) 是纯虚数(是虚数单位, b 是实数)则 b ? ( A.2 B.
1 2

C. ?

1 2

D. ? 2 )

3.设 x 0 是方程 ln x ? x ? 4 的解,则 x 0 属于区间( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3)

D. (3,4)

?x ? 0 ? 4.若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ?2x ? y ? 3 ?

则 z ? x ? y 的最小值是(



A. -3

B.0

C.
?
6

3 2

D.3 )

5.为了得到函数 y ? s in ( 2 x ? A .向右平移 C .向左平移
?
6

) 的图像,可以将函数 y ? c o s 2 x 的图像(

个单位 个单位

B. 向左平移 D.向右平移

?
3

个单位 个单位

?
6

?
3

6.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的 表面积为( A. ( 5 ? C. (10 ? )
5 )? 10 ) ?

B. ( 20 ? 2 5 ) ? D. ( 5 ? 2 5 )?

7.已知 a ? 0, b ? 0 , 如果不等式 A.10 B.7

2 a

?

1 b

?

m 2a ? b

恒成立,那么

m 的最大值等于

( )

C.8

D.9

8.设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ? ( x ) ,且函数 f ( x ) 在 x ? ? 2 处取得极小值,则函数
y ? x f ? ( x ) 的图象可能是

9.抛掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a 率为( A.
5 12

? ( m , n ), b ? (1 , ? 1 )

的夹角为 ? ,则 ?

? (0,

?
2

] 的概

) B.
1 2

C.

5 6

D.

7 12

10. 给出下列四个命题: ①若集合 A .B 满足 A ? 为真,则“ 直线 l 2
p? q

B ? A

, A 则

? B

; ②给定命题 p
2

, q

, 若“ p ?

q

” 与

”为真;③设 a 垂直,则 a B.2
x a
2 2

, b , m?R

,若 a

? b

,则 a m 2

? bm

; ④若直线 l1 : a x )

? y ?1? 0

:x ? y ?1? 0

? 1.

其中正确命题的个数是( D.4

A.1

C.3
y b
2 2

11.已知双曲线 C 1 :

?

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的离心率为 2 .若抛物线 C 2

:x

2

? 2 p y ( p ? 0 ) 的焦点到双

曲线 C 1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C 2 的方程为 A. x 2
? 8 3 3 y

B. x 2

?

16 3

3

y

C. x 2

? 8y

D. x 2

? 16 y

12. 已知 a n ? ( )
3

1

n ?1

, 把数列 ? a n ? 的

各项排列成如下的三角形状,
a1

a2 a5 a6

a3 a7

a4 a8 a9

?????????????? 记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,11)= ( ) A. ( )
3 1
90

B. ( )
3

1

91

C. ( )
3

1

92

D. ( )
3

1

110

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.给出右面的程序框图,则输出的结果为_________. ? 3x+2 x<1 14.已知函数 f(x)=? 2 ,若 f(f(0))=4a, x≥1 ?x +ax 则实数 a=__ __. 15.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点 ,则 D E ? D C 的最大
???? ????

.

16.若四面体 A B C D 的三组对棱分别相等,即 A B ? C D , A C ? B D , A D ? B C ,则________. (写出所有正确结论编号) ①四面体 A B C D 每组对棱相互垂直 ②四面体 A B C D 每个面的面积相等 ③从四面体 A B C D 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 9 0 而小于 1 8 0 ④连接四面体 A B C D 每组对棱中点的线段互垂直平分 ⑤从四面体 A B C D 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 s in B (ta n (Ⅰ)求证: a , b , c 成等比数列; (Ⅱ)若 a
? 1, c ? 2
A ? ta n C ) ? ta n A ta n C
。 。

.

,求 ? A B C 的面积 S .

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,
? A D C ? 9 0 ?, B C ? 1 2 A D , P A ? P D , Q 为 AD 的中点。

(1)求证: A D ? 平面 PBQ; (2)已知点 M 为线段 PC 的中点,证明:PA//平面 BMQ。

19. (本小题满分 12 分) 有甲.乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩后,得到 如下的 2 ? 2 列联表. 优秀 甲班 乙班 合计 105 2 已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 . 7 (1)请完成上面的 2 ? 2 列联表; (2)根据 2 ? 2 列联表,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先 后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 6 号或 10 号的概率. 10 30 非优秀 总计

n? ad-bc? 2 附 K= , ? a+b? ? c+d? ? a+c? ? b+d?
2

20. (本小题满分 12 分) . 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为

2 2

,直线 y ? k ( x ? 1) 与

椭圆 C 交于不同的两点 M,N。 (1) 求椭圆 C 的方程 (2) 当 ? A M N 的面积为
10 3

时,求 k 的值。

21.本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? x ? e x ? 1 ? ? a x 2 (Ⅰ)若 a=
1 2

,求 f ( x ) 的单调区间;

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ( x ) ≥0,求 a 的取值范围

请考生在第 22.23.24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如右图所示,AB 为圆 O 的直径,BC,CD 为圆 O 的切线,B.D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2)若圆 O 的半径为 1,求 AD·OC 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1:?
? ?x=1+tcos α , ? ?y=tsin α

(t 为参数),圆 C2:?

? ?x=cos θ , ? ?y=sin θ

π (θ 为参数).当 α = 时, 3

将直线和曲线的参数方程转化成普通方程并,求 C1 与 C2 的交点坐标;

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2(a>0). (1)当 a=1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

沁阳市 2013 年高三一模考前训练题 文科数学(一)答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 CACAD ADCDB DB 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.4 14.2 15.1 16.②④⑤

三.解答题:

18.证明:⑴△PAD 中,PA=PD,Q 为 AD 中点,∴PQ?AD, 1 底面 ABCD 中,AD//BC,BC= AD,∴DQ//BC,DQ=BC 2 ∴BCDQ 为平行四边形, 0 0 由?ADC=90 ,∴?AQB=90 ,∴AD?BQ 由 AD?PQ,AD?BQ,BQ∩PQ=Q,PQ.BQ?面 PBQ ∴AD?平面 PBQ ????????6 分 ⑵连接 CQ,AC∩BQ=N,由 AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ 为平行四边形,

∴N 为 AC 中点, 由?PAC 中,M.N 为 PC.AC 中点, ∴MN//PA 由 MN?面 BMQ,PA?面 BMQ ∴面 BMQ ????????12 分 19.解 (1) 优秀 甲班 乙班 合计 (2)根据列联表中的数据,得到 10 20 30 非优秀 45 30 75 总计 55 50 105

k=

105×? 10×30-20×45? 55×50×30×75

2

≈6.109>3.841,

因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. (3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y),则所有 的基本事件有(1,1).(1,2).(1,3).?.(6,6),共 36 个. 事件 A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共 8 个, 8 2 ∴P(A)= = . 36 9

20. 21.解: (Ⅰ) a ?
1 2

时, f ( x ) ? x ( e ? 1) ?
x

1 2

x , f '( x ) ? e ? 1 ? x e ? x ? ( e ? 1) ( x ? 1) 。
2
x x x

当 x ? ? ? ? , ? 1 ? 时 f '( x ) ? ? ;当 x ? ? ? 1, 0 ? 时, f '( x ) ? 0 ;当 x ? ? 0 , ? ? ? 时, f '( x ) ? 0 。 f ( x ) 在 故

? ? ? , ? 1 ? , ? 0 , ? ? ? 单调增加,在(-1,0)单调减少。
(Ⅱ) f ( x ) ? x ( x ? 1 ? a x ) 。令 g ( x ) ? x ? 1 ? a x ,则 g '( x ) ? e ? a 。若 a ? 1 ,
a a x

则当 x ? ? 0 , ? ? ? 时, g '( x ) ? ? , g ( x ) 为减函数,而 g ( 0 ) ? 0 ,从而当 x≥0 时
g ( x ) ≥0,即 f ( x ) ≥0.

若a ? ?, 则当 x ? ? 0 , ln a ? 时,g '( x ) ? ? ,g ( x ) 为减函数, g ( 0 ) ? 0 , 而 从而当 x ? ? 0 , ln a ? 时 g ( x ) <0,即 f ( x ) <0. 综合得 a 的取值范围为 ? ? ? ,1 ? 22.如右图所示,AB 为圆 O 的直径,BC,CD 为圆 O 的切线,B.D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2)若圆 O 的半径为 1,求 AD·OC 的值. (1)证明 如图所示,连接 OD,BD, ∵BC,CD 为⊙O 的切线,∴BD⊥OC, ∴又 AB 为圆 O 的直径,∴AD⊥DB, ∴AD∥OC.

(2)解 因为 AO=OD,则∠1=∠A=∠3,Rt△BAD∽Rt△COD,∴ = ,即 AD·OC=AB·OD=2.

AD AB OD OC

24.解 (1)当 a=1 时,不等式为|x-2|+|x-1|≥2. 5 由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点 x 到 1.2 的距离之和大于等于 2.∴x≥ 2 1 或 x≤ . 2

? ? ? 1 5 ∴不等式的解集为?x?x≤ 或x≥ 2 2 ? ? ?

? ? ?. ? ?



也可用零点分段法求解.

(2)∵|ax-2|+|ax-a|≥|a-2|,∴原不等式的解集为 R 等价于|a-2|≥2, ∴a≥4 或 a≤0,又 a>0,∴a≥4.


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