【小初高学习]2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 3 弧度制教学案 北师大版必修4

教育精品学习资源 3 弧度制 [核心必知] 1.度量角的单位制 (1)角度制 规定周角的3160为 1 度的角,用度作为单位度量角的单位制叫角度制. (2)弧度制 在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角,它的单位符号是 rad, 读作弧度.这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制. 2.角度与弧度的互化 (1)角度制与弧度制的互化(换算) 180°=π _rad; 1°=1π80 rad=0.017 45 rad; 180° 1 rad= π =57°18′=57.30° (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 30 45 60 90 120 135 150 180 225 270 315 360 度 0° °°°°°°°°°°°° 弧 度 0 π 6 π 4 π 3 π 2π 3π 5π 2346 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π (3)任意角的弧度数与实数的对应关系 任一正角的弧度数都是一个正数;任一负角的弧度数都是一个负数;零角的弧度数是 0. 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为 r,弧长为 l,α 为其圆心角,则 度量单位 α 为角的度数 α 为角的弧度数 教育精品学习资源 教育精品学习资源 类别 扇形的弧长 l=|α18|0π r l=|α |r 扇形的面积 S=|α3|6π0 r2 S=12lr=12|α |r2 [问题思考] 1.半径不同的圆中,相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同? l 提示:相同.在公式|α |=r中,角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关,只与圆心 角的大小有关. 2.2°与 2 弧度的角是否表示同一个角? 提示:不是同一个角.2°是角度制,2 是弧度制,2 rad 约为 115°. 3.390°可以写成 360°+π6 吗? 提示:不可以,在同一表达式中角度与弧度不能混用. 讲一讲 1.(1)把 112°30′化为弧度;(2)-51π2 rad 化为度. [尝试解答] (1)∵1°=1π80 rad, ∴112°30′=112.5°=112.5×1π80 rad=5π8 rad. (2)∵1 rad=???1π80???°, ∴-51π2 rad=-51π2 ×???1π80???°=-75°. 教育精品学习资源 教育精品学习资源 1.将角度制化为弧度制,当角度制中含有“分”“秒”单位时,应先将它们统一转化为“度”, 再利用 1°=1π80 rad 化为弧度便可. 2.以弧度为单位表示角时,常把弧度写成多少π 的形式,如无特殊要求,不必把π 写成小 数. 练一练 1.将下列角度与弧度互化. (1)20°; (2)1112π ; (3)8 rad 解:(1)20°=20×1π80=π9 , (2)1112π =1112×180°=165°. (3)8 rad=8×???1π80???°≈8×57.30°=458.40°. 讲一讲 2.把下列角化成 2kπ +α (0≤α <2π ,k∈Z)的形式,指出它是第几象限角并写出与 α 终 边相同的角的集合. (1)-463π ; (2)-1 485°. [尝试解答] (1)-463π =-8×2π +23π ,它是第二象限角,与23π 终边相同的角的集合为 ? ?α ? ???α =2kπ +23π ,k∈Z??. ? (2)-1 485°=-5×360°+315°=-10π +74π ,它是第四象限角,与74π 终边相同的角 的集合为 ? ?α ? ???α =2kπ +74π ,k∈Z??. ? 用弧度制表示角的集合时应注意: 教育精品学习资源 教育精品学习资源 (1)利用弧度制与角度制之间的关系将有关角化为弧度数; (2)π 的倍数是偶数,α 的范围是[0,2π ) (3)在表示角的集合时要使用统一的度量单位. 练一练 2.(1)用弧度表示终边落在 x 轴的非正、非负半轴上,y 轴的非正、非负半轴上,x 轴上,y 轴上的角的集合; (2)用弧度表示第一、二、三、四象限角的集合. 解:(1)终边落在 x 轴的非正半轴上的角的集合为 {β |β =2kπ +π ,k∈Z}; 终边落在 x 轴的非负半轴上的角的集合为 {β |β =2kπ ,k∈Z}; 终边落在 y 轴的非正半轴上的角的集合为 ? ?β ? ???β =2kπ +32π ,k∈Z??; ? 终边落在 y 轴的非负半轴上的角的集合为 {β |β =2kπ +π2 ,k∈Z}; 所以,终边落在 x 轴上的角的集合为{β |β =kπ ,k∈Z}; 终边落在 y 轴上的角的集合为 ? ?β ? ???β =kπ +π2 ,k∈Z??. ? (2)第一象限角为??β ? ???2kπ <β <2kπ +π2 ,k∈Z??; ? 第二象限角为??β ? ???2kπ +π2 <β <2kπ +π ,k∈Z??; ? 第三象限角为??β ? ???2kπ +π <β <2kπ +32π ,k∈Z??; ? 第四象限角为??β ? ???2kπ +32π <β <2kπ +2π ,k∈Z??. ? 讲一讲 3.(1)已知扇形的半径为 1 cm,圆心角为 30°,求扇形的弧长和面积. (2)已知扇形的周长为 6 cm,面积为 2 cm2,求扇形圆心角的弧度数. [尝试解答] (1)∵α =30°=π6 , 教育精品学习资源 教育精品学习资源 ∴l=|α |×r=π6 ×1=π6 (cm) S=12|α |×r2=12×π6 ×12=1π2(cm2) 故扇形的弧长为π6 cm,面积为1π2 cm2. (2)设扇形的弧长为 l,所在圆的半径为 r,由题意得 ??l+2r=6, ???12lr=2, 消去 l 并整理

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