高中数学必修5第一章_解三角形复习课课件人教版A

C

b
一、正弦定理及其变形:
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

2R A B’

c

a
B

( R为三角形外接圆半径)

() 1 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (边化角公式)

a b c (2) sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R ( 3 )a : b : c ? sin A : sin B : sin C

(角化边公式)

(4)a sin B ? b sin A, a sin C ? c sin A, b sin C ? c sin B

二、余弦定理及其推论:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 推论 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

三、三角形的面积公式:
S?ABC 1 1 1 ? aha ? bhb ? chc 2 2 2

b2 ? c2 ? a 2 cos A ? 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? 2ac a 2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab
A

c
B

S?ABC

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

ha
a

b

C

一. 解三角形
正弦定理:解两类三角形的问题: (1)已知两角及任一边 (2)已知两边和一边的对角
C C C

b

b

a
B

A

BA

c

B A

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

( R为三角形外接圆半径)

余弦定理:解两类三角形的问题:
(1)已知两边及夹角。 (2)已知三边
C C

A

B

A

B

解三角形时常用结论
(1)a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b

A? B ? C (2) A ? B ? C ? ? , A ? B ? ? ? C , ? ? 2 2 2 (3)sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C

(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)

A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2 (4)在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B
(即大边对大角,大角对大边)
(5)正弦定理和余弦定理

?A ? 90 ? a ? b ? c 0 2 2 2 ?A ? 90 ? a ? b ? c
0 2 2

2

?A ? 90 ? a ? b ? c
0 2 2

2

反思提高 已知?ABC中边长a、b和角A,求其它角和边.

若A为锐角时:

解的情况讨 论

无解 ? a ? b sin A ? a ? b sin A 一解?直角? ? ? ?b sin A ? a ? b 二解?一锐、一钝? ? a?b 一解?锐角? ?

若A为直角或钝角时:

?a ? b 无解 ? ?a ? b 一解?锐角?

已知 a,b和角A, 求解三角形 1. 若A为锐角 1)a=bsinA C b A a B (只有一解) A 2)bsinA<a<b C b a a B1

B2 (有两解)

1.

若A为锐角 3) a ≥b C b A (只有一解)

a
B

2. 若A为直角或钝角 1)a>b 2)a>b

C b A
(只有一解)

C

a
B

b A

a B

(只有一解)

求解的个数
A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4 ,B=45° C.a=6,b=6 ,B=60° D.a=20,b=30,A=30°

二. 判断三角形形状
一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件 转化为边与边之间的关系,通过因式分解 等方法化简得到边与边关系式,从而判断 出三角形的形状;(角化边) 判断三角形的形状的途径有两条: 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件 转化为角与角之间三角函数的关系,通过 三角恒等变形以及三角形内角和定理得到 内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。 (边化角)


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