江苏省宿迁市宿豫中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文 苏教版

宿豫中学 2014-2015 学年度下学期高二期中调研测试 数 学(文科)

1.考试时间:120 分钟; 2.请用 0.5 毫米黑色签字水笔将答案填写在答卷纸上. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . ) . 1. 命题“ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 ”的否定是____▲________.
3, 4, 5} ,集合 A ? {1, 3, 4},B ? {2, 3} ,则 ? ? 2. 已知全集 U ? {1,2, U A? ? B ?



.

3. 复数 z ?

1 的共轭复数是____▲____ 1 ? 2i
▲ .

4. 函数 f ( x) ? e x sin x 的导数 f ?( x) ?

5. “ x ? 2 ”是“ x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的 ▲ 条件. ( 在“充分不必要”、“必要不充分”、 “既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空) 6. 曲线 y ? sin x 在点 ( π , 3 ) 处的切线方程为

3 2





7. 若 ? ? 是 ▲

?
4

,则 tan ? ? 1 ”.在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中,真命题个数 个.

8. 已知集 合 A ? ?( x, y)

? ?

y ?3 ? ? 1, x ? R, y ? R ? , B ? ?( x, y) y ? ax ? 2, x ? R, y ? R? , 若 x?4 ?
▲ . ▲ .

A ? B ? ? ,则实数 a 的值为

9. 奇函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在 x ? ?1 处有极值,则 3a ? b ? c 的值为 10. 观察下列等式:

1 1 1 1? 2 ? ? 1? 2 ? 3 , 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? 2 ? 3 ? 4 , 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? 3 ? 4 ? 5 ,?, 3 3 3
照此规律,计算 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? ▲ ( n ?N ).
*

3 11. 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax(a ? R) ,若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的

m ? R 都 不 是 曲 线 y ? f ( x) 的 切 线 , 则 a 的 取 值 范 围 是
▲ . 12. 已知复数 z ? x ? yi?x, y ? R, x ? 0?且 z ? 2 ? 3 ,则

y

y 的范围 x
? 3O 3

x-1

(第 13 题)

为______▲______. 13.如图为函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象, f ?( x) 为 函数 f ( x) 的导函数,则不等式 x ? f ?( x) ? 0 的解集为 ▲ .

14. 已 知 可 导 函 数 f ( x) ( x ? R ) 的 导 函 数 f ?( x) 满 足 f ?( x) > f ( x) , 则 不 等 式

ef ( x) ? f (1)e x 的解集是 ▲ .
二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算 步骤. ) 15. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 全 集 是 实 数 集 R,

A={x 2 x 2 ? 7 x ? 3 ? 0},

B ? {x x 2 ? a ? 0}
(1) 当 a ? ?4 时,求 A ? B ; (2) 若 (?rR A) ? B ? B ,求负数 a 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分)若函数 f ( x) ? x ? px ? (m ? 1) x ? 2m ? m ? 1在区间 (?2,0) 内 单调递减,且在 (??,?2) 及 (0,??) 内单调递增,求实数 p 、 m 的值。
3 2 2

2 17. (本小题满分 14 分) 已知命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不相等的实负根, 命题 q :

2 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根;若 p 或 q 为真, p 且 q 为假, 求实数 m 的取值范围.

-2-

18. (本小题满分 16 分)已知 z∈C , z + 2i 和 (1)求复数 z ;

z 都是实数. 2- i

(2)若复数 ( z + ai)2 在复平面上对应的点在第四象限,求实数 a 的 取值范围.

19. (本小题满分 16 分)如图,在半径为 30cm 的半圆形(O 为圆 心)铝皮上截取一块矩形材 料 ABCD,其中点 C、D 在圆弧上,点 A、B 在两半径上,现将此矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 BC 3 为母线的圆柱形罐子的侧面 (不计剪裁和拼接损耗) , 设矩形的边长 BC=xcm 圆柱的体积为 Vcm . (1)写出体积 V 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大?

-3-

1-x 20. (本小题满分 16 分)已知函数 f( x)=lnx+ ,其中 a 为大于零的常数.

ax

(1)若函数 f(x)在区间[1,+∞)内不是单调函数,求 a 的取值范围; (2)求函数 f(x)在区间[e,e ]上的最小值.
2

-4-

宿豫中学 20 14-2015 学年度下学期高二期中调研测试 数 学(文科)参考答案 一、填空题: 1. $ x ? R, x2
x x

2x +5 = 0

2. {2} 5. 必要不充分 8.

4. e sin x ? e cos x 7.1 10.

1 2 + i 5 5 p =0 6. x - 2 y + 3 3
3. 9.0

1 4 1 3

1 n(n +1)(n + 2) 3

11. ( - ? , ) 14. (1, ??)

12. ? 3, 3

?

?

13. (??, ? 3) ? (0, 3) 二、解答题: 15. 解: (1) ? A ? {x |
1 ? x ? 3} 2 当 a ? ?4 时, B ? {x | ?2 ? x ? 2}

??????????????????4 分 ???????????????????4 分 ??????????????????? 8 分 ???????????????10 分

A ? B ? {x | ?2 ? x ? 3}

(2)

1 ?rR A ? {x | x ? 或x> 3} 2

∵ a ?0, ∴ B ? {x | ? ?a ? x ? ?a} , ???????? 12 分
1 成立, 2

当 (?rR A) ? B ? B 时,有 B ? ?rR A ,要使 B ? ?rR A ,只需 ?a ?
1 解得 ? ? a ? 0 ??????14 分 4

16. 解:由 f ( x) ? x ? px ? (m ? 1) x ? 2m ? m ? 1,得 f ?(x) ? 3x ? 2 px ? m ?1 -----3 分 因为 f ( x ) 在区间 (?2,0) 内单调递减,且在区间 (??,?2) 及 (0,??) 内单调递增,
3 2 2
2

所 所



f ?(

? x2 )

? 3x

?2 p的

? x 两 1? m个

0 根

是 以

?2, 0 -------------------------------------8 分

?m ? 1 ? ?p ? ? ---------------------------------------------------?? ? 2 ?1 ? p ? m ? ? ?m ?
---14 分

0

-5-

17. 解:由命题 p 可以得到: ?

?? ? m2 ? 4 ? 0

?m ? 0 由命题 q 可以得到: ? ? [4(m ? 2)]2 ? 16 ? 0 ∴ ?2 ? m ? 6 ---------6 分
∵ p 或 q 为真, p 且 q 为假 当 p 为真, q 为假时, ? ∴ p, q 有且仅有一个为真

∴ m ? 2 -----------------3 分

?m ? 2 ? m ? 6 -----------------9 分 ?m ? ?2, orm ? 6 ?m ? 2 当 p 为假, q 为真时, ? ? ?2 ? m ? 2 --------------12 分 ??2 ? m ? 6
所以, m 的取值范围为 {m | m ? 6 或 ?2 ? m ? 2} .---------------14 分 18. 解: (1)设 z = a + bi (a , b ? R ) ,???????????????????1 分 则 z + 2i = a + (b + 2)i ,

z a + bi (a + bi )(2 + i ) 2a - b a + 2b = = = + i ,??????4 分 2- i 2- i (2 - i)(2 + i) 5 5 z ∵ z + 2i 和 都是实数, 2- i ì b+ 2= 0 ? ì ? ?a= 4 ? ∴ í a + 2b ,解得 ? , ????????????????7 分 í ? ? b= - 2 = 0 ? ? ? ? ? 5 ∴ z = 4 - 2i . ???????????????????8 分 z = 4 2 i (2)由(1)知 , 2 2 2 ∴ ( z + ai) = [4 + (a - 2)i] = 16 - (a - 2) + 8(a - 2)i ,??????10 分
∵ ( z + ai) 在复平面上对应的点在第四象限,
2

ì ? 16 - (a - 2)2 > 0 ? ∴í , ???????????????????12 分 ? ? ? 8(a - 2) < 0 ì ì- 2< a< 6 ? a 2 - 4a - 12 < 0 ? 即? ,∴ ? , ????????????14 分 í í ? ? a < 2 a < 2 ? ? ? ? ∴ - 2 < a < 2 ,即实数 a 的取值范围是 (- 2, 2) . ?????????16 分

19. 解 :( 1 ) 连 结 OC , 因 为 B C?

x, 所 以

OB ? 900 ? x2 ,

设圆柱底面半径为 r ,则 900 ? x2 ? ? r ,即

? 2 r 2 ? 900 ? x2 ,所
-6-

以, V ? ? r ? x ? ? ?
2

900 ? x 2

?2

?x ?

900 x ? x3

?

其中 0 ? x ? 30 .??????7 分

(2)由 V ?
/

900 ? 3 x2

?
?

? 0 ,得 x ? 10 3 ,又在 (0,10 3) 上 V / ? 0 ,在 (10 3,30) 上 V / ? 0

所以, V ?

900 x ? x 3

在 (0,10 3) 上是增函数,在 (10 3,30) 上是减函数,所以,当 x ? 10 3

时, V 有最大值.. ???????16 分

20. 解: f ?(x)=

ax-1 (x>0) ?? 2 分 ax2 x

1 (1)由已知,得 f ?(x)在[1,+∞)上有解,即 a= 在(1,+∞)上有解, 1 又? 当 x∈(1,+∞)时, <1,所以 a<1.又 a>0,所以 a 的取值范围是(0,1)??6 分

x

1 2 2 (2)①当 a≥ 时,因为 f ?(x)>0 在(e,e )上恒成立,这时 f(x)在[e,e ]上为增函数, e 1-e 所以当 x=e 时,f(x)min=f(e)=1+ ????? 8 分

ae

1 2 2 ②当 0<a≤ 2时,因为 f ?(x)<0 在(e,e )上恒成立,这时 f(x)在[e,e ]上为减函数, e 1-e 2 2 所以,当 x=e 时,f(x)min=f(e )=2+ 2 ,??????10 分 ae 1 1 1 2 ③当 2<a< 时,令 f?(x)=0 得,x= ∈(e,e ), e e a 1 又因为对于 x∈(e, )有 f ?(x)<0,
2

a

1 2 对于 x∈( ,e )有 f ?(x)>0,

a

1 1 1 1 所以当 x= 时,f(x)min=f( )=ln +1- ????14 分

a

a

a

a

综上,f(x)在[e,e ]上的最小值为 1+ ,当a≥ 时, ae ? ? 1 1 1e 1 =?ln +1- ,当 <a< 时,???????16 分 a a e e 1-e 1 ? ?2- ae ,当0<a<e 时. 1-e 1
2 2 2 2

2

f(x)min

-7-


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