贵州省册亨县民族中学2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案

册亨县民族中学 2013—2014 学年第一学期期末考试 高二数学试卷(理)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.某单位有老年人 27 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况,现 采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 36 的样本,则中年人应抽取的人数是 A.6 B.12 C.15 D.18 2.右边的程序运行时输出的结果是 A.12,5 B.12,21 C.12,3 D.21,12 表 示 的 直 线 必 经 过 D.( x, y )

3. 线 性 回 归 方 程 A. (0,0) B.( x,0 )

?x ? a ? ?b ? y

C.( y,0 )

4. “至多有三个”的否定为 A.至少有三个 B.至少有四个 C.有三个 D.有四个 5.数据 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12 的平均数为 a 、中位数为 b 、众数为 c , 则 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? a ? b D. c ? b ? a
6.对于常数 m,n,“mn<0”是方程“mx?+ny?=1 的图像是双曲线”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A=3 B=A*A A=A+B B=B+A PRINT A,B (第 2 题)

7.对于向量 a=(2,-2,3),b=(-4,x,2),且 a⊥b,则 X 等于
A. -1 B. 1 C.-2 D. 2

8.把红、蓝 黑 白 4 张纸牌随机分给甲乙丙丁 4 人,每人分得一张,事件甲分锝 红牌与事件乙分锝红牌是
A. 对立事件 C.不可能事件 B.互斥但不对立事件 D.以上都不对

9. 椭圆

x2 y2 F2 的连线互相垂直, ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 则△ PF1 F2 49 24

的面积为 A. 20

B. 22

C. 28

D. 24

-1-

10.在△ABC 内任取一点 P 则△ABP 与△ABC 的面积之比大于 A.
1 4

B.

2 3

C.

1 9

2 的概率是 3 1 D. 16

11.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 F 是侧面 CDD′C′的中心,若→ AF=→ AD →+yAA′ → ,则 x-y 等于 +xAB A.0 C. 1 2 B.1 D.- 1 2

12.如图已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为 A. 10 10 B. 1 5 C. 3 10 10 D. 3 5

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.记事件 A 的对立事件为 A 14.把 89 化为五进制数是 15.已知 AB 是过椭圆
2 若 P(A) ? ,则P(A) ? 3 。



x2
25



y2
16

=1 左焦点 F1 的弦,且|AF2|+|BF2|=12,其中 F2 是

椭圆的右焦点,则弦 AB 的长是________。 16.已知 O、A、B 三点共线, 且 OP ? mOA ? nOB (m、n ? R且mn ? 0) , 则 最小值为 。
1 4 ? 的 m n

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应有证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)某校从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学

-2-

生,将其数学成绩(均为整数)分成六段 ?40,50 ? , ?50,60 ? ? ?90,100? 后得到如下部 分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在 ? 70,80 ? 内的频率,并补全这个频率分布直方图; (5 分) (2)用分层抽样的方法在分数段为

?60,80? 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,
.求 ?60,70 ? 和 ?70,80? 分数段各有多少人?(5 分)

18. (本小题满分 12 分) 在一次商贸会上,甲、乙两人相约同一天上午前去洽谈,若甲计划在 9:00-9:40 之间赶到,乙计划在 9:20-10:00 之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.

19.(本小题满分 12 分)
x2 y2 3 设命题 p: x ? 1 是方程 2ax 2 ? a 2 x ? 3 ? 0 的一个根 ,命题 q:点 B(a, ) 是椭 ? ? 1 4 3 2

上的一点,若 p ? q 是真命题, p ? q 是假命题,求 a 的值。

20. (本小题满分 12 分) 某种饮料每箱装有 6 听,其中有 2 听不合格,问质检人员从中随机抽出 2 听,检 测出不合格产品的概率是多大。

-3-

21.(本小题满分 12 分)

x2 y2 2 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),离心率为 , a b 2
过点 B(0,-2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积.

22.(本小题满分 12 分) 如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC =CD=2,AA1=2,E,E1,F 分别是棱 AD,AA1, AB 的中点. (1)证明:直线 EE1∥平面 FCC1; (2)求二面角 B-FC1-C 的余弦值.

高二数学(理)参 考 答 案
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-4-

答案

B

B

D

B

D

C

A

B

D

C

A

C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.
1 3

14.324(5) 15.8 16.9 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应有证明过程或演算步骤) 17. 解:(1)分数在 ? 70,80 ? 内的频率为: 1-(0.010+0.015*2+0.025+0.015)*10=0.3???????.(5 分) (2) ?60,70 ? 分数段人数:60*0.015*10=9???????.(7 分)

?70,80? 分数段人数:60*0.3=18???????.(10 分)
18. 解:

????(10 分) ????????????.(12 分) 19. 解:由命题 p: x ? 1 是方程 2ax 2 ? a 2 x ? 3 ? 0 的一个根得,命题 p: a ? 1 或 a ? ?3 。???????.(3 分) x2 y2 3 命题 q: 点 B(a, ) 是椭圆 ? ? 1 上的一点得命题 q: a ? 1 或 a ? ?1 ???????. 4 3 2
-5-

(5 分) 由 p ? q 是真命题, p ? q 是假命题得两命题一真一假,???????.(7 分) 若 p 真 q 假则 a ? ?3 符合???????.(9 分) 若 p 假 q 真则 a ? ?1 符合???????.(11 分) 综上: a ? ?3 或 a ? ?1 ???????.(12 分) 20.解:把每听饮料标号,合格的记作 1.2.3.4,不合格的记作 a , b 。只要检 测 的 2 听中有 1 听不合格则表示测出不合格产品,依次不放回从箱中取出 2 听饮料 得到的两个标记为 x,y,则(x,y)表示一次抽出的结果。用 A 表示抽出的 2 听,饮 料中有不合格产品,A1 表示仅第一次抽到不合格产品,A1 表示仅第二次抽到不合格 产品。A12 表示仅两次都抽到不合格产品。则 A1 .A1 .A12 是互斥事件。且
A ? A1 ? A2 ? A12 ?????????????(5 分)

所以 P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A12 ) ???????????.(8 分) 因为 A1 中中的基本事件的个数为 8,A2 中的基本事件的个数为 8,A12 中的基本事件 的个数为 2,全部基本事件的总数为 30. 8 8 2 所以 P( A) ? ? ? ? 0.6. ?????(12 分) 30 30 30 21. 解析:(1)易得椭圆方程为 +y2=1. ??????.(3 分) 2 (2)∵F1(-1,0), ∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2,

x2

?y=-2x-2 由?x ? 2 +y =1
2 2

得 9x2+16x+6=0. ??????.(5 分)

∵Δ =162-4×9×6=40>0,??????.(6 分) 所以直线与椭圆有两个公共点, 设为 C(x1,y1),D(x2,y2), 16 ? x +x =- ? 9 则? 2 x ·x = ? 3 ?
1 2 1 2

??????.(8 分)

∴|CD|= 1+?

-2?

2

|x1-x2|= 5· ?

x1+x2?

2

-4x1x2

-6-

= 5·

2 10 ? 16?2 ?- ? -4× = 2,??????.(9 分) 3 9 ? 9? 4 5 ,??????.(10 分) 5

又点 F2 到直线 BF1 的距离 d=

1 4 故 S△CDF2= |CD|·d= 10.?????.(12 分) 2 9 22 解:(1)证法一:取 A1B1 的中点 F1,连结 FF1,C1F1,????.(1 分)

由于 FF1∥BB1∥CC1,所以 F1∈平面 FCC1,????.(2 分) 因此平面 FCC1,即为平面 C1CFF1, 连结 A1D,F1C,由于 A1F1 // D1C1 // CD,所以四边形 A1DCF1 为 平行四边形,因此 A1D∥F1C. 又 EE1∥A1D,得 EE1∥F1C,????.(4 分) 而 EE1?平面 FCC1,F1C?平面 FCC1,?????(5 分) 故 EE1∥平面 FCC1. ?????(6 分) 证法二:因为 F 为 AB 的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,所以 CD // AF, 因此四边形 AFCD 为平行四边形,所以 AD∥FC. ?????(4 分) 又 CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC?平面 FCC1,CC1?平面 FCC1, 所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1,?????(5 分) 又 EE1?平面 ADD1A1,所以 EE1∥平面 FCC1?????(6 分). (2) 过 D 作 DR⊥CD 交于 AB 于 R,以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标 系.?????(7 分) 则 F( 3,1,0),B( 3,3,0),C(0,2,0),C1(0,2,2) 所以→ FB=(0,2,0) ?????(9 分) → =(- 3,-1,2),→ BC1 DB=( 3,3,0). 由 FB=CB=CD=DF,所以 DB⊥FC. 又 CC1⊥平面 ABCD, 所以→ DB为平面 FCC1 的一个法向量.

-7-

设平面 BFC1 的一个法向量为 n =(x,y,z),?????(10 分) ?(x,y,z)·(0,2,0)=0 则由 n ? FB,.n ? BC1 得? ?(x,y,z)·(- 3,-1,2)=0 ?2y=0 即? ?- 3x-y+2z=0.

?y=0 取 x=1 得? 3 z= ? 2
→, )= 所以 cos(DB n 3 3+9× 1+ 3 4

? 3? ,因此 n =?1,0, ?, 2? ? → DB·n →|×|n| |DB 1 7 = . 7 7





故所求二面角的余弦值为

7 .?????(12 分) 7

-8-


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