004专题四 解决利用导数研究函数问题(2)

江苏省包场高级中学 2015 届高三数学二轮复习资料

主备人:柏松盛

004

专题四
【真题感悟】

解决利用导数研究函数问题(2)

1. (2013 江苏)抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三 角形内部和边界) 。若点 P( x, y) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是 .

2. (2011 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e x ( x ? 0) 的图象上的 动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大值是_________. 3. (2008 江苏) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x ? 1 对于 x ? ?? 1,1? 总有 f ( x) ? 0 成立, 则a= .

4. (2011 江苏改编)设 f ?( x) 和 g ?( x) 分别是 f ( x) 和 g ( x) 的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在 区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上单调性相反 . 若函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2ax 与 3

,则 b ? a 的最大值为___. g ( x) ? x 2 ? 2bx 在开区间 (a, b) 上单调性相反( a ? 0 ) 【考点展示】 1.若函数 f ( x) ? kx ? ln x 在区间 (1,??) 上单调递增,则实数 k 的取值范围是 .

2.若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ( x) ? 4x3 ? ax2 ? 2bx ? 2 在 x ? 1 处有极值,则 ab 的最大值为__. 3.若函数 f ( x) ? 4ln x ,点 P(x, y) 在曲线 y ? f '( x) 上运动,作 PM ? x 轴,垂足为 M , 则△ POM ( O 为坐标原点)的周长的最小值为 4.设函数 f ( x) ? x3 ? 2ex 2 ? mx ? ln x ,记 g ( x) ? 实数 m 的取值范围是 . .
f ( x) ,若函数 g ( x) 至少存在一个零点,则 x

5.已知函数 f ( x) ? 1 ? a (a ? R) ,若存在实数 m, n ,使得 f ( x) ? 0 的解集恰为 ?m, n? ,则实 x x e 数 a 的取值范围是 . 6.若函数 f ( x) ? x 2 ? e x ? ax 在 R 上存在单调递增区间,则实数 a 的取值范围是 【典例导引】 例 1 已知函数 f ( x) ? ax sin x ? 3 (a ? 0) ,且 f ( x) 在区间 ?0, ? ? 上的最大值为 ? ? 3 . ? 2 2 ? 2? ? (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)判断函数 f ( x) 在 ?0, ? ? 内零点个数,并加以证明. 例 2 设函数 f ( x) ? ax2 ? e x (a ? R) 有且仅有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) . (1)求实数 a 的取值范围 (2)是否存在实数 a 满足 f ( x1 ) ? e 3 x1 ?如存在,求 f ( x) 的极大值;如不存在,请说明理由.
2

.

例 3 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? 3x ? 3)e x , x ? [?2, a], a ? ?2 ,其中 e 是自然对数的底数. (1)若 a ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 的单调区间;
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13 ; e2 ※(3)对于定义域为 D 的函数 y ? g ( x) ,如果存在区间 [m, n] ? D ,使得 x ? [m, n] 时,

(2)求证: f (a) ?

y ? g ( x) 的值域是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数 y ? g ( x) 的“保值区间”.

设 h( x) ? f ( x) ? ( x ? 2)e x , x ? (1, ??) ,问函数 y ? h( x) 是否存在“保值区间”?若存在,请 求出一个“保值区间”; 若不存在,请说明理由. 例 3.解: (1) f ?( x) ? ( x 2 ? x)e x ? x( x ? 1)e x , x ? [?2, a], a ? ?2 , x (??, 0) (0,1) (1, ??)
f ?( x)
?
?

?

………2 分 由表知道:① ?2 ? a ? 0 时, x ? (?2, a) 时, f ?( x) ? 0 , ………3 分 ? 函数 y ? f ( x) 的单调增区间为 (?2, a) ; ② 0 ? a ? 1 时, x ? (?2,0) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , ? 函数 y ? f ( x) 的单调增区间为 (?2,0) ,单调减区间为 (0, a) ;………4 分
[]

(2)证明: f (a) ? (a 2 ? 3a ? 3)e a , a ? ?2

f ?(a) ? (a 2 ? a)e a ? a(a ? 1)e a , a ? ?2 , a (?2,0) (0,1)
f ?(a)
?
?

(1, ??)
?

[ f (a )]极小值 =f (1) ? e

………6 分

5 ( )3 ? 13 13 e3 ? 13 …7 分 ? f (1) ? f (?2) ? e ? 2 ? ? 2 2 ? 0 ? f (1) ? f (?2) e e2 e 由表知: a ? [0, ??) 时, f (a) ? f (1) ? f (?2) , a ? (?2,0) 时, f (a) ? f (?2) , 13 ………8 分 ? a ? ?2 时, f (a) ? f (?2) ,即 f (a ) ? 2 ; e (3) h( x) ? f ( x) ? ( x ? 2)e x ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x , x ? (1, ??) , h?( x) ? ( x 2 ? 1)e x , x ? (1, ??) , ? x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 ,? y ? h( x) 在 (1, ??) 上是增函数,…9 分

?n ? m ? 1 ? 函数 y ? h( x) 存在“保值区间” [m, n] ? ?h(m) ? m ? h( n) ? n ? ? 关于 x 的方程 h( x) ? x 在 (1, ??) 有两个不相等的实数根,………11 分

令 H ( x) ? h( x) ? x ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x ? x, x ? (1, ??) ,则 H ?( x) ? ( x 2 ? 1)e x ? 1, x ? (1, ??) ,

[ H ?( x)]? ? ( x 2 ? 2 x ? 1)ex , x ? (1, ?? ) ? x ? (1, ??) 时, [ H ?( x)]? ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x ? 0 , ? H ?(1) ? ?1 ? 0, H ?(2) ? 3e2 ? 1 ? 0 , 且 y ? H ?( x) 在 [1, 2] 图 ? H ?( x) 在 (1, ??) 上是增函数, 象不间断,??x0 ? (1, 2), 使得 H ?( x0 ) ? 0 , ………13 分 ? x ? (1, x0 ) 时, H ?( x) ? 0 , x ? ( x0 , ??) 时, H ?( x) ? 0 ,? 函数 y ? H ( x) 在 (1, x0 ) 上是减 函数,在 ( x0 , ??) 上是增函数,? H (1) ? ?1 ? 0 ,? x ? (1, x0 ], H ( x) ? 0 , ? 函数 y ? H ( x) 在 (1, ??) 至多有一个零点, 即关于 x 的方程 h( x) ? x 在 (1, ??) 至多有一个实 数根,? 函数 y ? h( x) 是不存在“保值区间”. ………16 分
0) , B( x2 , 例 4 设函数 f ( x) ? e x ? ax ? a(a ? R) ,其图象与 x 轴交于 A( x1 , 0) 两点,

且 x1<x2. (1)求 a 的取值范围;

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(2)证明: f ?

?

x1 x2 ? 0 ( f ?( x) 为函数 f ( x) 的导函数) ;

?

※(3)设点 C 在函数 y ? f ( x) 的图象上,且△ABC 为等腰直角三角形,记 求 (a ? 1)(t ? 1) 的值.

x2 ? 1 ?t , x1 ? 1

【解】 (1) f ?( x) ? e x ? a .若 a ≤ 0 ,则 f ?( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 是单调增函数,这与题设矛
x ? ln a x 0 ? , 盾. 所以 a ? 0 , 令 f ?() 则 x ? ln a . 当 x ? ln a 时,f ?( x) ? 0 ,f ( x) 是单调减函数;

时, f ?( x ) ? 0 , f ( x) 是单调增函数;于是当 x ? ln a 时, f ( x) 取得极小值.
0) , B( x2 , 0) (x1<x2), f ( x) ? ex ? ax ? a( a ?R )的图象与 x 轴交于两点 A( x1 ,

因为函数

所以 f (ln a) ? a(2 ? ln a) ? 0 ,即 a ? e 2 ..此时,存在 1 ? ln a ,f (1) ? e ? 0 ; 存在 3 ln a? la n, f ( 3 l an ? 3)a ?
a3 ? 3a 2 ? a ? 0 , 又 由 f ( x) 在 (??, ln a) 及 a3 a ? l n?a

(ln a ,? ?) 上的单调性及曲线在 R 上不间断,可知 a ? e 2 为所求取值范围.
x2 x1 ?e x1 ? ax1 ? a ? 0 , ? (2)因为 ? x 两式相减得 a ? e ? e . 2 x2 ? x1 ? ?e ? ax2 ? a ? 0 ,

x1 ? x2 x2 x1 2 x ?x x ?x ?2s ? (es ? e? s )? 记 2 1 ? s(s ? 0) ,则 f ? 1 2 ? e 2 ? e ? e ? e ? ,… 8 分 2 2 x2 ? x1 2s ?

?

?

x1 ? x2

设 g (s) ? 2s ? (es ? e? s ) ,则 g ?(s) ? 2 ? (es ? e? s ) ? 0 ,所以 g (s) 是单调减函数, 则有 g (s) ? g (0) ? 0 ,而 e
x1 ? x2 2

2s

? 0 ,所以 f ?

x ?0. ?x ? 2 ?
1 2

又 f ?( x) ? e x ? a 是单调增函数,且

x1 ? x2 ? x1 x2 ,所以 f ? 2

?

x1 x2 ? 0 .

?

…… 11 分

1 i ? 1, 2) (3)依题意有 e xi ? axi ? a ? 0 ,则 a( xi ? 1) ? e xi ? 0 ? xi ?( .

于是 e 所以 x0 ? 可知

x1 ? x2 2

? a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ,在等腰三角形 ABC 中,显然 C = 90°,……… 13 分

x1 ? x2 ? ( x1 ,x2 ) ,即 y0 ? f ( x0 ) ? 0 ,由直角三角形斜边的中线性质, 2

x1 ? x2 x2 ? x1 x ?x x ?x ? ? y0 ,所以 y0 ? 2 1 ? 0 ,即 e 2 ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2 1 ? 0 , 2 2 2 2

所以 a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? a ( x1 ? x2 ) ? a ? 2

x2 ? x1 ? 0, 2 ( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1) ? 0. 2

即 a ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? a [( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1)] ? 2

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x2 ? 1 ?1 x2 ? 1 a x2 ? 1 x ?1 因为 x1 ? 1 ? 0 ,则 a ? 1? ? 1 ?0, x1 ? 1 2 x1 ? 1 2

?

?



x2 ? 1 ? t ,所以 at ? a (1 ? t 2 ) ? 1 (t 2 ? 1) ? 0 ,即 a ? 1 ? 2 ,所以 (a ? 1)(t ? 1) ? 2. 2 2 x1 ? 1 t ?1

【反思质疑】

专题四
【课后巩固】 1.已知函数 f ( x) ? ln x ?

解决利用导数研究函数问题(2)

a 1 , x ? (0, 4] ,若 y ? f ( x) 图像上任意一点的切线的斜率 k ? 恒 x 2

成立,则实数 a 的取值范围是_____. 2 . 已 知 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 y ? f ( x) 的 导 函 数 为 f / ( x) , 满 足 f / ( x) ? f ( x) ,

y ? f ( x ? 1) 为偶函数, f (2) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? ex 的解集为_____.
3.设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当 MN 达到 最小时 t 的值为_____________. 4.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? 1 , g ( x) ? ? ?1? ? ? m ,若 ?x1 ? ?? 1,3? , ?x2 ? ?0,2? , f ( x1 ) ? g ( x2 ) ?2? 则则实数 m 的取值范围是 5.当 0 ? x ? . .
x

1 1 3 时, ax ? 2 x ? 恒成立,则实数 a 的取值范围是 2 2
x2 的取值范围是 x1
.

6.已知 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? x3 ? x 图像上的两个不同点,且在 A, B 两 点处的切线互相平行,则

7.若不等式 bx ? c ? 9 ln x ? x 2 对任意的 x ? ?0,?? ? , b ? ?0,3? 恒成立,则实数 c 的取值范围 是 . 8.设函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f (3x) ,且当 x ? ?1,3? 时, f ( x) ? ln x .若在区间 ?1,9 ? 内,存在 3 个 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) 不同实数 x1, x2 , x3 ,使得 . ? ? ? t ,则实数 t 的取值范围是 x1 x2 x3 9.已知函数 f ( x) ? a ln x ? x .
2

1 2 (2)令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,若 y ? g ( x) 在区让 (0,3) 上不单调,求 a 的取值范围.
(1)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值;
a (a ? 0) . 10.已知关于 x 的函数 f ( x) ? ax ? ex (1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? 1 没有零点,求实数 a 的取值范围.

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1 11.设函数 f(x)=x- -aln x(a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2;记过点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为 k.问:是 否存在 a,使得 k=2-a?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 12.已知函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x 在 (1, f (1)) 处的切线为 y ? 1 . (1)求实数 a , b 的值;

(2)是否存在实数 m ,当 x ? ?0,1? 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? m( x ? 1) 的最小值为 0?若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由; x2 ? x1 (3)若 0 ? x1 ? x2 ,求证: ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

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